波利亚“怎样解题”的思想内容及实践结果

1、 波利亚“怎样解题”的思想，内容及实践结果乔治.波利亚(George Polya) 1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理 波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所

2、得写成怎样解题一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张怎样解题表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。波利亚的怎样解题表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和提示

3、性的问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？ ”这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。问题中有一部分其对象是针对问题具体的内容的，也就是“客体水平”的，属于认知性的；问题中的还有一部分是以解题者身躯为对象，针对主

4、体内部心理抽象认知过程的，属于元认知性的。这些问题并没有直接涉及问题的具体内容，完全是针对主体自身思维，是对自身解题思维活动的反诘，是自我监察，自我意识，自我预测，自我调节，自我监控。因此在地理解题过程中我们应该：一、加强对解题过程的监控在解题过程中，自己应该对以下几个主要要素进行监控：控制、监察、预见、调节和评价。1控制，即在解题过程中，对如何入手，如何策划，如何构思，如何选择，如何组织，如何猜想，如何修正等做出基本计划和安排。对学习情境中的各种信息做出准确的知觉和分类，调动头脑中已有的相关知识，对有效信息做出迅速选择，以恰当的方式组织信息，选择解决问题的策略，安排学习步骤，控制自己的思维方

5、向。关注解题的过程性和层次性，有意识地控制自己的解题节奏，对整个解题过程做到“心中有数”，明确地意识到自己所采取的每一个解题步骤的意图。2监察，即临视和考察。在解题过程中，密切关注解题进程，保持良好的批判性，以高度的警觉审视解题每一历程问题的认识、策略的选取、前景的设想、概念的理解、定理的运用、形式的把握，用恰当的方式方法检查自己的猜想、推理、运算和结论。3预见，即在解题的整个过程，随时估计自己的处境，判断问题的性质，展望问题的前景。对问题的性质、特点和难度以及解题的基本策略和基本思维做出大致的估计、判断和选择；猜想问题的可能答案和可能采取的方法，并估计各方法的前景和成功的可能性等等，要设法使

6、自己置易于抓住问题的位置上。4调节，即根据监察的结果，根据对解题各方面的预见，及时调整解题进程，转换思考的策略，重新考虑已知条件、未知数或条件、假设和结论；对问题重新表述，以使其变得更加熟悉，更易于接近目标。如，“尽可能画一张图”，“引入适当的符号”，“回到定义中去”。5评价，即以“理解性”和“发展性”标准来认识自己解题的收获，自觉对问题的本质进行重新解剖，反思自己发现解题念头的经历，抽取解决问题的关键，总结解题过程的经验与教训，反思解题过程的成败得失及其原因；从思维策略的高度对解题过程进行总结，从中概括出一般性规律，概括出点点滴滴的新经验、新见解、新体会，以及对问题进行推广、深化，寻找新的解

7、法、更好的解法，对解题过程或表述予以简化。评价应该贯穿于解题的始终，随时进行评价，而不仅仅是在解题后。二、提高解题的自我意识意识是人对客观现实的反映，它包括自我意识和对外界事物的意识。自我意识是人的意识的最高形式，由于自我意识以主体及其内部活动为意识对象，因而它能对人的认识活动进行监控和调节，它是自我监控的最高水平。在地理解题学习中，人的自我意识是对自己在问题感知、表征、思考、记忆和体验的意识，对自己的目的、计划、行动以及行动效果的意识。提高解题能力，就是要使解题的监控上升到自我意识的水平。只在当各种监控达到不假思索，油然而生的境界，也就是上升到“意识”的层次，才能使主体的地理解题能力达到自己

8、的最高水平。地理解题的自我意识包括：问题意识、审题意识、联想意识、目标意识、接近度意识、猜想意识、反思意识、概括意识等等，也就是波利亚的提示语所要达到的期望。三、运用波利亚的“提示语”波利亚在他的解题理论著作中给出了很多的提示语。因而在解题时经常自觉地运用这些提示语，是提高解题能力的有效途径。正如波利亚指出，“表中的问题除了普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的，来自于普通常识。这些问题总是劝告你去做此时你该去做的合乎情理的事，而对你正要解决的特定问题并没有提出特定的劝告。”“如果问得是地方，是时候，就可能引出好的答案，引出正确的想法，或一个能够推动解题进程的合宜的步子。”波利亚提示语

9、的常识性、普遍性，使得这些问题对学生的帮助并非是强加于人的，学生自己也可以很自然地提出类似的问题。在各种不同的问题情境下，如果学生以各种不同的方式反复用同一个提示语诘问自己，就很容易引起同样的思维活动，从而利于形成一种思维习惯。如果表中的同一个提示语反复的对学生有所帮助，那么他就更会注意到这个提示语，从而在类似的情况下，不断地运用这个提示语。这些提示语只不过是指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。通过反复地提出这些提示语，总会获得一次诱导出正确念头的成功。通过这样的成功，就会逐渐真正领会它。在解题教学中，教师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，特别应当反复经常地提出这些提示语，促

10、使他自已想出一个好念头。这样的指导，可以使学生找到使用各种提示语的正确方法。因为这些知识超越了具体的对象而实用于任何问题，从而学生就学到比任何具体地理知识更重要的东西。四、提炼自己的“提示语”对于善于解决问题而已经拥有这些常识的人来说，这些常识性提示似乎很自然、很平凡、很不起眼，但是他们往往不注意用明确的语言来表达他们的行动，而波利亚则以自己的明确意识，清晰地表达出这些观点。因此，一方面需要学习运用波利亚的解题监控的提示语，培养良好的解题习惯，另一方面解题者还应当从自己的体验中提炼和总结自己在解题监控中的经验和体会，形成有自己风格的解题监控的提示语。 波利亚 教我们怎样解题波利亚 教我们怎样解

11、题波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。 波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成怎样解题一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张怎样解题表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不

12、考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。 波利亚的怎样解题表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？.” 波利亚解题表一、弄清题意1、 已知是什么? 2、未知是什么? 3、题目要求你干什么? 4、可否画一个图形?5、可否数学化?二、拟定方案(核心)1、你能否一眼看出结果?2、是否见过形式上稍有不同的题目?3、你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的定义,定理,公式?4、 有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它吗?5、 已知条件A,B,C可否转化?可否建立一个等式或不等式?6、