简单的三角恒等变换（教学案）

1、 简单的三角恒等变换永寿县中学 徐红博【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【教学重点、难点】 教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。【教学过程】复习引入：复习倍角公式、 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别

2、注意。既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以表示解析：我们可以通过二倍角和来做此题（二倍角公式中以a代2a，代a）解：因为，可以得到；因为，可以得到两式相除可以得到点评：以上结果还可以表示为： 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定。降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。变式训练1：求证积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：例2：求证：

3、（）；（）解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得；设，那么把的值代入式中得点评：在例证明中用到了换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式变式训练2：课本 2（2）、3（3）例、求函数的周期，最大值和最小值解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。解： ，所以，所求的周期，最大值为，最小值为点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角

4、函数式中的作用变式训练3：课本 4、（1）（2）（3）探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用作业布置：课本 习题 A组1、（1）（5） 3 、5 教学反思：在讲三角恒等变换的时候，我总是把公式简单推导出来，让学生花大量的时间去记忆，默写，做大量的题，目的就是让学生记住这些公式、并会应用。在刚学完的时候，学生对这些公式都运用的非常好，可是学完一段时间后，再去用这些公式的时候很多学生都忘了、或经常用错。通过今天的学习，反思自己的教学，应该让学生学会推导这些公式。运用cos(-)= cosc

5、os+sinsin这个给定规则去推导其他的式子，这样的一个方法是恒等变形需要交给学生的，而不是给予这些东西，这个是提高运算能力的一个很重要的载体。另外在这一部分有一个重要的方法就是构造角（用已知角表示未知角），例如：已知0/2,0/2, sin=3/5, cos（+）=-12/13,求cos。分析：关注角的变化=（+）-Cos=cos（+）-展开算出结果就可以了。在运用cos(-)= coscos+sinsin这个给定规则去推导其他的式子的过程中也体现了角的变化，比如说如何通过它推出cos（+），我们不知道这个运算规则，我们就要变成这个运算规则，于是我们就要变化这样一个东西，cos【- （-）

6、】，于是我们可以用这个规则去计算这件事情，然后再通过通常的诱导公式完成这么一个推导。推导sin（+），我们也要把它变成这个样子，sin（+）=cos【/2-（+）】=cos【（/2-）-】于是我们可以用这个运算规则推出这些东西。倍角公式中，角的变化是2=+，再用前面的公式把它推导出来。我们发现在公式的推导过程中，也体现了构造角的思想。这样学生既学到了知识又学到了方法。在以后的教学中，我要努力让学生经历公式的形成过程，而不是直接把这些东西直接给学生。 简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。二、预习内容：

7、1、回顾复习以下公式并填空：Cos(+)= Cos(-)=sin(+)= sin(-)=tan(+)= tan(-)= sin2= tan2= cos2=2、阅看课本P139-141例1、2、3。三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。 学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换

8、的特点，提高推理、运算能力。 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。二、学习过程：探究一：半角公式的推导（例1） 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、2与有什么关系？与/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。 2、半角公式中的符号如何确定？ 3、二倍角公式和半角公式有什么联系？ 4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例2） 请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？ 2、在例2证明过程中，

9、如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例3） 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。1、例3的过程中应用了哪些公式？ 2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(x+)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值 三、反思、总结、归纳： sin/2= cos/2= tan/2= sincos= cossin= coscos= sinsin= sin+sin= sin-sin= cos+cos= cos-cos=四、当堂检测： 课本 习题A组1、（3）（7）2、（1）B组2 课后练习与提高一、选择题：1已知cos（+）cos（）=，则cos2sin2的值为（ ）ABCD2在ABC中，若sinAsinB=cos2，则ABC是（ ）A等边三角形B等腰三角形C不等边三角形D直角三