同方专转本冲刺班数学习题训练十七至二十讲

1、23证明证：画出左式积分区域D右式24设为连续函数且，其中D：所围闭区域，证明：解：(1)画出积分区域D(2)二重积分是一个确定常数(3)A移项得 A 故第十七讲：数项级数的敛散性的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1若则常数项级数（ D ） A发散 B.条件收敛C绝对收敛 D .不一定收敛解：，但发散；，但收敛 选D2设收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A B.C D解：2008由性质收敛3下列级数中一定收敛的是( A )A BC D解： ，取，且收敛，由比较法收敛4下列级数条件收敛的是（ C ）A BC D解：（1）发散（）（2）为莱布尼兹级数收敛，选C5级数 （k0

2、）（ B ）A发散 B绝对收敛C条件收敛 D敛散性与K相关解：取且收敛，故选B6设正项极数则（D）A.当0p+时，级数收敛B.当p1时级数发散D.当p1时级数发散解：当P1时级数发散，当P1时失效。故选D二、填空题（每小题4分，共24分）7若则常数项级数一定是 （发散）解：若收敛，则。由逆否命题知：若则发散8当收敛时，则P4解：由p一级数的敛散性知，当P31时级数收敛，故P49级数的前9项的和解:10的和S=解：11若数项级数收敛，则r的取值范围是 1r0），则a的取值范围是 解：三、计算题（每小题8分，共64分）13判别的敛散性解： =取且收敛由比较法的极限形式知也收敛14判别的敛散性解：（

3、1）当时，(2) 1，且收敛（p=21）由比较法的极限形式知，也收敛15判别的敛散性解法：（1）这是正项级数 且，收敛 由比较法非极限形式知收敛解法（2）收敛，收敛由性质知也收敛16判别解：这是正项级数1由此值判别法知也收敛17判别解：（1）这是正项级数且含有,用比值法（2）由比值法知收敛18判别解：（1） 取（2）判别的收敛性故原级数条件收敛四、综合题（每小题10分，共20分）21讨论级数在0a1三种条件下的敛散性解：（1）当0a1时， 1级数发散（2）当a1时（3）当时由比较法也收敛22讨论级数在0a1三种条件下的敛散性解：（1）当0a1）由比较法知也收敛（2）当a=1时，收敛（p21）（

4、3）当a1时， 由此值判别法知发散 综合：当收敛，当发散五、证明题（每小题9分，共18分）23若正项极数收敛，证明：也收敛（反之不成立）证明：（1）收敛当n充分大时，有：00 收敛，且存在。证明0（提示：用反证法）证：反证法：设且存在又发散，由此比较法的极限形式知：也发散 这与的题设矛盾故有0第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的强化练习题参考答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1若收敛半径为， 的收敛半径为（）则的收敛半径为（ D）A、 B、 C、 D解：的收敛半径是收敛半径为， 的收敛半径为中较小的 即2若在收敛，则在内，（A） A、绝对收敛 B、条件收敛C、发散 D、可能收敛也可

5、能发散解：由定理知，若在收敛则在内绝对收敛 选A3把（其中）时，其收敛半径R（A）A B C D解： 1 R 选A4的收敛区间（考虑端点）是 （C）A（1，1） B-1,1C D解：（1）的半径 ；的半径 故R；（2）在发散，收敛 故原级数在发散 选C5设，则（A）A BC D解：（1） 故选A6幂级数在的和函数（ B）A B C D解：令 故选B二、填空题（每小题4分，共24分）7幂级数 解：收敛半径8幂级数在x3处条件收敛，则该级数的收敛半径R 解：级数在x3条件收敛，当绝对收敛当级数发散 故R39幂级数的收敛半径 解：，3 故R10幂级数 解： 故11)展成的幂级数，则= 解：收敛域12

6、将展成幂级数，则 解：（1）（2）收敛区间三、计算题（每小题8分，共64分）13求的收敛半径与收敛域解：（1） 收敛半径R2（2）当2时，发散当2时，收敛（莱布尼兹级数）（3）收敛域为14求的收敛半径与收敛域解：（1）收敛半径R3 有 即 （2）当5时，发散（调和级数） 当时，收敛（莱布尼兹级数） （3）级数的收敛域为15求的收敛半径与收敛域解：（1） ， ， R2（2）当时发散（3）级数的收敛域（2，2）16将展成（）幂级数（）解：（1）变形（2）展开（3）收敛域（即收敛区间）117将展开成x的幂级数解：解法（1）收敛域： 解法（2）（）18将展开成的幂级数解：（1）变形（2）展开：（3）收

7、敛区间故有收敛区间19将解：（1）变形（2）展开（3）收敛域（即收敛区间） 20利用逐项积分将展开成麦克劳林级数，并求其收敛域解：（1）（2）当时 收敛（莱布尼兹级数）当时，收敛 故有收敛域四、证明题（本题8分）21利用的麦克劳林展开式，证明：证：（1）令(2) 收敛区间：（3）令移项： 证毕五、综合题（每小题10分，共30分）22求幂级数的收敛域解：（1）变形：原式=（2）（3）当时，发散当时，发散故级数的收敛区间：23将的幂级数解：（1）变形：（2）展开：（3）收敛区间：收敛区间24将展开成x的幂级数，并由此求之值解：（1） 原式=收敛区间为（2）求之值令，=故有=1选作题 ：将展开成x的

8、幂级数解：收敛区间：，故收敛区间：第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的强化练习题答案一 、单项选择题（每小题4分，共24分）1微分方程是 （B）A一阶线性方程 B一阶齐次方程C可分离变量方程 D二阶微分方程解:变形 原方程是一阶齐次方程,选B2下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C）A BCD解:是可分离变量方程,选C3的通解是 （B） A B C D解： 选B 4满足的特解是（A）A BC D解：由 得,故 选A5满足的特解是 （ B ） A B C D解：由,知故特解为 选B6可降阶微分方程的通解是 （D）A BC D解：(1)方程不显含:令,. 选D二、 填空题7的通解是 解：令

9、.，8满足的特解是 解：(1)(2)由 特解9满足的特解是 解：(1) (2)特解 10求的通解为 解： ,通解11的通解 解： (可用可分离变量做)12的通解 解：三、计算题13 求曲线所满足的微分方程.解： 通过求导,设法消去任意常数,这是所求的微分方程 14求的通解. 解：(1)判别方程的类型:可分离变量方程 (2) .即:15求满足的特解.解：(1)可分离变量方程(2) (3) ,又.特解16求的通解. 解：(1).一阶齐次方程 (2)令 或 为通解.17求满足的特解.解：(1)变形:.一阶线性方程 (2)(3),特解:18求的通解. 解：(1)变形:.一阶线性方程.(2)故为所求的通

10、解.19求的通解.解(1)降阶法:方程不显含. 令(2).一阶可分离变量方程(3)20求满足的特解. 解：(1)降阶法,方程不显含.令(2)当时,初始条件舍去当时,特解 四、证明题21设曲线上任一点处切线与直线垂直,且曲线过点,证明曲线是以原点为圆心,半径为2的圆.证：(1)列出微分方程,设曲线,画出示意图.直线OM:的斜率为,曲线切线斜率为.依题意:(2)解微分方程:,由故有曲线: 证毕五、综合题22有连接,两点的一条凸曲线,它位于AB弦的上方,为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与AP之间的面积(如图阴影部分)为,求该曲线方程.解：(1)列出方程,设阴影部分面积为S S=曲边梯形OADPC面积

11、梯形OAPC面积一阶线性方程(2)通解(3) 故所求的曲线方程为23设可导,且满足求. 解：(1)把积分方程化为微分方程. =1且(2)解微分方程(3)由得故有特解24设,且,求的具体表达式解(1)把偏微分方程化为常微分方程由轮换对称性知:即有 这是可降阶的二阶微分方程.(2)令,第二十讲:二阶线性微分方程的强化练习题答案一、单项选择题1以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 ( )A B C D 解： 故有 选D 2 的通解为 ( )A B C D 解： 选D 3的待定特解( )A B C D 解：(1), (2) 是特征单根 选B 4的待定特解( )A B C D 解：(1),(2)不是特

12、征根,5的待定特解( )A B C D 解：(1),(2)是特征单根, 选B 6若和是(为常数)的两个特解,则(为任意常数)是 ( )A 方程的通解 B 方程的特解C 方程的解 D 不一定是方程的解解：是方程的解,选C(注:若,线性无关,则是方程通解)二、填空题(每小题4分，共24分)7以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是 解：重根,故方程为:8的通解 解：通解9的待定特解 解：(1)., (2)是特征重根,10的待定特解 解：(1),(2),是特征单根,(3),是特征单根,故:11的待定特解 解：(1)(2)是特征单根,故12设为的解,为的解,则的通解 解：(1), (2),(3)通解三、

13、计算题13求的通解.解： ,方程的通解:14求的通解(为常数)解：(1)当时,(2)当时, (3)当时,15求满足,的特解.解：(1)(2)通解(3)特解:, ,特解:16已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为,求此微分方程.解：(1)特征方程:, (2)微分方程:17求的通解. 解：(1)， (2)是特征单根.代入原方程:比较系数,得A=1,B=-1,C=,(3)通解: 18求的通解. 解：(1),(2) 不是特征根,代入原方程:比较系数,A=,-A-2B=0,=2B,B=(3)通解: 19求的通解. 解：(1)(2)是特征重根,代入原方程:故有(3) 通解: 20求的通解.解：(1).(2)不是特征根, 代入原方程:比较系数:代入(2)(3)通解: 四、 证明题（本题8分）21 设是(为常数)的两个不同的解,证明:是方程的解.证：(1)是的解,(2)是的另一个解.(3)得:故是的解 证毕五、综合题（每小题10分，共30分）22设函数及,