浅析“数形结合”思想在高考解题中的应用

1、 第第 1 页页 中文提要中文提要 数形结合是数学解题的重要方法之一，在各类大型的考试尤其是中高考中都起着举 足轻重的作用。在解题中应用“数形结合”思想，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题 具体化，从而简化解答过程。本论文主要研究的是数形结合在高考数学解题中的应用并 对利用数形结合解题的题型进行了分类解析，总体上本文从高中数学的主干与核心知识 出发，以 2008年数学考试大纲为依据，重点结合 2008 年全国高考数学新课程试卷（理科） 以及 2008 其他各地方的传统高考理科数学试题的典型题目，从以下几个方面具体分析 “数形结合”思想在解题中的应用： （1）利用数形结合解决集合问题 （2）利用

2、数形结合解决函数（也包括三角函数）问题 （3）利用数形结合解决不等式和线性规划问题 （4）利用数形结合解决解析几何问题 （5）利用数形结合解决立体几何问题 关键词：关键词： 高考数学解题 数形结合 第第 2 页页 ABSTRABSTRACTACT The combination of algebra and geometry is one of the important ways in mathematical problem solving, it plays a pivotal role in various large scale, especially in the college

3、entrance examinations. In problem solving, using the combination of algebra and geometry, you can simplify complex issues and make abstract question be specific question, Thus simplifying the process to answer. This paper is a study about the application of combination of algebra and geometry in the

4、 college entrance examination mathematical problem solving by classified analysis. on the whole, this article starts from the backbone and the Core Knowledge of high school mathematics , based on 2008 Examination Syllabus, mainly combines the national college entrance examination and the new curricu

5、lum of mathematics examination papers (science)in 2008. With the typical questions, it will analyze the application of combination of algebra and geometry from the following respects: （1）Using the combination of algebra and geometry to solve taggregate problem （2）Using the combination of algebra and

6、 geometry to solve functions (including trigonometric functions) problem （3）Using the combination of algebra and geometry to solve inequalities and linear programming problem （4）Using the combination of algebra and geometry to solve analytic geometry problem （5）Using the combination of algebra and g

7、eometry to solve three-dimensional geometric problem KeyKey wordswords: : combination of algebra and geometry mathematical problem solving 第第 3 页页 一、一、 关于关于“数形结合数形结合”思想思想 1、 “数形结合数形结合”思想的历史思想的历史 “数形结合”由来已久，早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中， 度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家 系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征

8、，把图形中的几何关 系描述成代数关系。17 世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的 联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不得解决的问题，最终也是借助于 代数方法得到圆满解决。这些都说明了“数形结合”思想有着悠久的历史。 2、什么是什么是“数形结合数形结合” 数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素.，恩格斯曾 说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。 ”数形结合就是根据数学问题 的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的 精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解

9、 题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。数形结合包括“以形助数”和以 数辅形”两个方面1。 3、 “数形结合数形结合”的意义的意义 数学的研究对象大致可以分成两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式 的。数和形是数学的两个基本概念，全部数学内容大体就是围绕这两个概念提炼、演变、 发展而逐步展开的。数形结合在数学发展中的重要意义，正如法国数学家拉格朗日在 数学概要一书中所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应 用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后， 就以快速的步伐走向完善。 ”我国数学家华罗庚也曾说过：“数形结合百般好，隔裂

10、分家 万事非。 ”由此可见形和数的相互依赖、相互制约的辩证关系 二、二、 “数形结合数形结合”思想在我国思想在我国数学高考中数学高考中的应用的应用 1、 “数形结合数形结合”思想方法在思想方法在高考内容中高考内容中的体现的体现 可以说，用数形结合解题在高中数学各个板块中都有应用，像函数的图像、方程的 曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离 公式，向量的坐标表示则是 “以数助形” ，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我 们提供了 “数形结合”的知识平台。 2、 “数形结合数形结合”思想方法在思想方法在高考解题中高考解题中占有非常重占有非常重要的地位。要

11、的地位。 数学考试大纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思 想方法的考查，注重对数学能力的考查” ，纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的 思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，具体来说数形结合把抽象 的数学语言与直观的图形结合起来思索，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，巧妙 第第 4 页页 运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理， 可起到事半功倍的效果，在选择、填空题的解答中更能体现其优越性，近年在解答题中 也加重了对数形结合的考查。 通过下表 2008 年各地高考数学理科试卷涉及数形结合的题目及分值来看，其重要

12、程 度不言而喻。 2008 年年高考数学理高考数学理科试卷涉及科试卷涉及数形结合的数形结合的题目及分值题目及分值统计统计 知识点 题号 高考卷种 集合函数 不等式 线性规划解析几何立体几何总计 分数 全国卷一2，810，1 3 15，2111，16，1859 全国卷二13，8514，2112，1954 宁夏海南卷1，102411，14，2012，15，1864 江苏卷415，18，204，149，121675 广东卷16128，11，185，2065 山东卷3，4，1710，11，226，2068 注：宁夏海南卷，江苏卷，广东卷，山东卷为 2008 年全国高考数学新课程试卷。 三、三、 “数形

13、结合数形结合”思想在全国思想在全国各省市各省市 2008 年高考年高考题的体现及题的体现及分类解析分类解析 1 1、利用数形结利用数形结合解决集合合解决集合问题问题 图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦 恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵 活、直观、简捷、准确地获解。 （1）利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题如： 当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把 不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观。 （2）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 一般用圆

14、来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集 合没有公共元素若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题例如： 例 1.（2008 北京卷,理 1）已知全集U R，集合| 23Axx， |14Bx xx 或，那么集合等)(BCA U 于（ ） A| 24xxB|34x xx或C| 21xx D| 13xx 分析不等式表示的集合通过数轴解答. 解:在数轴上先画出14 UB xx ,再画出集合| 23Axx,取其公共部分 如图所示阴影部分就是集合)(BCA U ,故选 D 答案D 点评：对于不等式表示的集合,应用数形结合可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的 -2 -1

15、 3 4 x 第第 5 页页 运算。 例 2 .（2008 四川卷,理 1）设集合1,2,3,4,5 ,1,2,3 ,2,3,4UAB，则 U AB ( ) （）2,3（）1,4,5（）4,5（） 1,5 分析此题重点考察集合的交集，补集的运算；画韦恩氏图，数形结合。 解1,2,3 ,2,3,4AB 2,3AB 又1,2,3,4,5U 1,4,5 U AB 答案B _ B _ A _ 2 _ 3 _ u _ 4 _ 1 5 点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。 统计：统计：20082008 全全国 1、天津 6 、重庆 11、上海 2、陕西 2、 辽宁 1

16、、安徽 2、浙江 2、 江西 2 山东1、江苏 4 均为与例 1 例 2相似利用数形结合解答的集合问题 2 2、利用数形结利用数形结合解决函数合解决函数（也包括三角（也包括三角函数）的问题函数）的问题 函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是 探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式， 实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分 类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图象的直观作用，从而实现数形结合与转 化，简化解

17、题。 如方程 f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数 y= f（x）和 y=g（x）的图象的交 点个数问题。不等式 f（x）g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图象位于函数 y=g（x）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。有关三角函数单调区间的确定或比较 三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理。 例 3. （2008 浙江卷,理 5） 在同一平面直角坐标系中，函数的图象 和直线的交点个数是（ ）)20)( 2 3 2 cos( ，x x y 2 1 y （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 分析本题考查了诱导公式以及三角函数的图象等知识，不规则方程判断根的个数

18、问 题。 解： 3 cos()sin,(0 2 ), 222 xx yx ， 第第 6 页页 图象如图所示，直线与该函数图象有两个交点。 2 1 y 答案C 点评：本题考查学生的数形结合的能力。在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数 的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂 的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。对 于一些不规则方程判断根的个数问题,用解方程的方法求出解,再说有几个根是不可能的, 而借助数形结合将根的个数问题转化为图像的交点个数问题. 例 4.（2008 山东卷，文 12）已知函数的( )log (21)

19、(01) x a f xbaa，图象如图所示， 则满足的关ab，系是（ ） A 1 01ab B 1 01ba C 1 01ba D 11 01ab 分析本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 解：由图象知，函数为增函数， 1 01;a 1a 取特殊点01log0, a xyb 1 1logloglog 10, aaa b a ， 1 1b a 1 01b a 答案A 点评：本题先给出函数图像，结合已知条件及对数函数性质，从图象中挖掘出,再利1a 用代数方法求得结果，属于典型的数形结合。 例 5.（2008 福建卷，理 12）已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，

20、那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是（ ） 分析：注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信 息，加以排除选择。 分析本题考查识别函数图像的能力。 解：令)()()(xgxfxF，则)()()(xgxfxF，当 0 xx 时，由图象知)()(xgxf， 即0)( x F，)(xF是增函数，则答案，错，当 0 xx 时，)()(xgxf，即 1 O y x 第第 7 页页 0)( x F，)(xF是减函数，则答案错，故选 答案 点评：对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，再利用 数的方法分析解答，本题中的两个函数可以转化为一个函数，

21、进行构造，导函数的正负 转化为原函数的增减。 例 6. (2008 山东卷、理 3)函数的图象是（ ） lncos 22 yxx y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O ABCD 分析 是偶函数，可排除 B、D，由的值域可以确定.因此lncos () 22 yxx cosx 本题应选 A. 答案A 点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，仔细观察图像给出的信息，充分掌握偶函 数的性质，余弦函数的图象及性质，俩者相结合快速解答本题。 统计：统计：20082008 全全国 2，6，8、全国 3，8、北京 8、天津 3，7，9、 重庆 4，6，13、上 海 4

22、，6，11、陕西 7，11、四川 3，5，11、 辽宁 12，13，16、 浙江 5，8，15、安徽 9,11,13、福建 4、江西 3，6，12、湖南 6，10，13，14、 湖北 4，13、山东 4，5 广东 12、 宁夏海南 1，7、 均为函数与图像相结合的典型题目。 3、利用数形结利用数形结合解决不等合解决不等式和线性规式和线性规划划问题问题 处理不等式问题时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意 义，利用图象的直观性,通过对问题的定性分析,可以无需进行计算就可以求解，从图形上 找出解题的思路，是为数形结合在解不等式问题中的应用；线性规划问题是在约束条件 下求目标函数

23、的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用 例 7 （2008 江西卷,理 14）不等式的解集为 1 3 2 x x 2 1 分析画出函数和函数在同一直角坐标系中的图像，找出其交点（-1，） ， x y2 2 1 y 2 1 利用指数函数的单调性性质，则不等式的解集就是交点左边的 x的取值范围，具体到本题， 则只需要解的解即可。 1 3 x x1 第第 8 页页 X Y x y2 2 1 y (0,1) O （- 1，） 2 1 答案（，3 (0，1 点评：用数形结合思想解方程（组）与不等式，关键是构造它们所对应的函数，再利用 函数的图象就可以说明结果，这种解法集中体现了数形结

24、合的思想和知识的内在联系。 例 8 （2008 年浙江,理 17）若0, 0ba，且当 1 , 0 , 0 yx y x 时， 恒有1byax， 则以a,b 为坐标点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于_。 分析作出可行域，如图阴影部分所示， 不等式组表 1 , 0 , 0 yx y x 示的平面区域为AOBA，如图，01y 由恒成立知1byax，当0 x 时，1by 恒成立，当0y 成立；当01y时， 1 b y 恒成 立，01b；同理，01a以a,b 为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个正 方形，所以面积为1。 答案 1 点评：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答，求解的最佳

25、方法就是利用数形 结合,先理解所研究对象的几何意义,然后用运动的观点去分析,就可以以不变应万变求解这 类问题.此类题目在各地高考试题中均有考查，主要以选择、填空的形式出现。 统计：统计：20082008 全全国 9、 全国 4、北京 2，13、天津 8，16、 上海 1，8 江西 9，14、 山东 16、宁夏海南 6、 江苏 11 全国 13、全国 5、北京 5 天津2、陕西 10、安徽 15、浙江 17 福建 8、湖南 3、 广东 4、 山东 12 OA B x y 第第 9 页页 A y x OB G F F1 图 4 4、利用数形结利用数形结合解决解析合解决解析几何几何问题问题 圆锥曲线

26、及其解析式是高中阶段的重要知识，数形结合方法在圆锥曲线中的应用是 把问题的数量关系转化为图形的性质问题，或者把图形的性质转化为数量关系问题，数 形结合方法是圆锥曲线解题中一种十分重要的思维策略。 例 9.（2008 海南卷，理 11）已知点 P 在抛物线 2 4yx上，那么点 P 到点的距离与 (21)Q，点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） A 1 1 4 ，B 1 1 4 ，C(12)，D(12)， 分析点在抛物线(21)Q， 2 4yx的内部,要使点 P 到 点的距离与(21)Q，点 P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值, 根据抛物线的定义知,须使点 P 到点

27、的距离与(21)Q，点 P 到 抛物线准线距离之和取得最小,即PQl准线时最小。 则 1 , 1 4 P 故选 A. 答案A. 点评：抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,做题时常常结合草图用定义进行 转化.而不可一味的蛮用代数计算。数形结合的作用就在于利用形能简化数的运算，反过 来运用数又能使形更加精细。本题充分体现了数形结合思想在解解析几何题中的作用. 例 10（2008 广东卷，理 18） 设0b ，椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb ，抛物线方程为 2 8()xyb如图 4 所示，过点作轴的(02)Fb，x平行线，与抛物线在第一象限的交 点为G，已知抛物线在点的切线G经过

28、椭圆的右焦点 1 F （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设分别是椭AB，圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得 为直角ABP三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出 这些点的坐标） 解：（1）由 2 8()xyb得 2 1 8 yxb， 当2yb得4x ，G 点的坐标为(4,2)b， 1 4 yx， 4 |1 x y ，过点 G 的切线方程为即(2)4ybx2yxb ，令0y 得2xb， 1 F点的坐标为(2,0)b， F P Q x y 第第 10 页页 N M A B D C O Q E N M A B D C O P 由椭圆方程得点的

29、坐标 1 F为( ,0)b， 2bb 即1b ，即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y 和 2 8(1)xy； （2）过作轴的垂Ax线与抛物线只有一个交点P,以为直角的PABRt ABP只有一 个， 同理 以为直角的PBARt ABP只有一个。 若以为直角APB，设点坐标为P 2 1 ( ,1) 8 xx ，A、B两点的坐标分别为(2,0)和 ( 2,0)，01 4 5 4 64 1 1 8 1 2 2 2 22 xxxxPBPA 关于的二次 2 x方程有一大于零的解，x有两解，即以为直角APB的Rt ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得为直ABP角三角形。 点评：解析几何问

30、题要画出图形，采用数形结合的方法解答。 统计：统计：20082008 全全国 10，14，15，21 全国 9，11，15、21 北京 4，7 天津 5，13、 重庆 3，7，8，15 陕西 5，8、 四川 4，12，14 辽宁 10、 安徽 8、 浙江 7，11，12 福建 11，14、 江西 15、 湖南 8，12 湖北 9、广 东 11、 山东 10，11 宁夏海南 11，14、 江苏 9，12 均为有关利用数形结合解答解析 几何的典型题目 5、利用数形结利用数形结合解决立体合解决立体几何问题几何问题 引进向量的方法后，立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相 互关系进行研

31、究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。从而大大简化解题。 例 11（2008 年安徽卷，理 18）如图，在四棱锥中OABCD，底面四边长 ABCD为 1 的菱形， 4 ABC , OAABCD 于于, 2OA ,M为OA的中点，N为BC的中点 （）证明：直线MNOCD于于； （）求异面直线AB 与 MD所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。 分析：要证线面平行,可以在面内找的平行线MN,取OD的中点,通过线线平行证出,也可以 找平面的平行平面通过面面平行证出; 异面直线 AB 与 MD 所成角可以通过平移转化为平 面角求出;而（）中点 B 到平面 OCD 的距离不易找出,可

32、以利用线/ABOCD面转化为点 A到平面 OCD 的距离求出，我们分别用综合法和向量法来解这道题： 解法一：（综合法） （1）取 OB 中点E，连接 ME，NE MECDMECD于AB,AB 又,NEOCMNEOCD于于于于MNOCD于于 第第 11 页页 xy z N M A B D C O P （2）CDAB, MDC为异面直线AB与所成的角MD（或其补角） 作,APCDP于连接MP于于ABCD于O AC DM P 2 , 42 ADP D P= 22 2MDMAAD 1 cos, 23 DP MDPMDCMDP MD 所以 AB与所成角的MD大小为 3 （3）AB于于O C D ,点 A

33、 和点 B到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作 AQOP 于点 Q，,APCD OACDCDOAPAQCD于于 又 ,AQOPAQOCD 于于,线段 AQ 的长就是点 A到平面 OCD 的距离 22222 13 2 4 1 22 OPODDPOAADDP ， 2 2 APDP ，所以点 B 到平面 OCD的距离为 2 33 2 2 23 2 2 2 OP APOA AQ 解法二.(向量法)作APCD于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为轴建立, ,x y z坐标系 22222 (0,0,0), (1,0,0), (0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1)

34、,(1,0) 22244 ABPDOMN(1) 22222 (1, 1),(0, 2),(, 2) 44222 MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为( , , )nx y z ,则0, 0ODnOPn 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取2z ,解得(0,4,2)n 22 (1, 1) (0,4,2)0 44 MN n AAMNOCD于于 (2)设与所成的AB MD角为, 22 (1,0,0),(, 1) 22 ABMD 第第 12 页页 ,. 2 1 | | MDAB MDAB COS 3 , AB与所成角的MD大小为 3 (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则为在向量dOB (0,4,2)n 上的投影的绝对值, 由 (1,0, 2)OB , 得 2 3 OB n d n .所以点 B 到平面 OCD的距离为 2 3