高中数学 第1章集合与函数概念 函数的基本性质同步精品学案 新人教A版必修

1、1.3.1 单调性与最大(小)值 1. 函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间函数单调性的概念从以下四个方面理解：(1) 定义中的x1，x2具有三个特征：任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二

2、字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意用两个特殊值替换；有大小，通常规定x1x2；同属于一个单调区间三者缺一不可(2)函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间MA.(A为函数的定义域)(3)函数的单调性是指函数值在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是增加或减少的一种定性描述，它是函数的局部性质(4)单调区间端点的写法，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间不包括这些点2.函数单调性的判断与证明(1)函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函

3、数的图象；三是依据已知函数的单调性判断如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况(2)函数单调性的证明方法：,依据定义进行证明其步骤如下：取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1x2；作差变形：即作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；定号：确定差f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以分情况讨论；判定：依据定义得出结论2. 函数的最大(小)值设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的xI，都有f(x)M(或f(x)M)； 存在x0I，使得f(x0)M.,那么，我们就称M是函数yf(x)的最大值(或最小

4、值),注意以下三个问题：(1)首先M是一个函数值，它是值域的一个元素如f(x)x2 (xR)的最大值为0，有f(0)0，注意对中“存在”一词的理解(2)对于定义域内全部元素，都有f(x)M(或f(x)M)成立“任意”是说对每一个值都必须满足不等式(3)这两个条件缺一不可，若只有，M不是最大(小)值，如f(x)x2 (xR)，对任意xR，都有f(x)1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了最大(小)值的核心就是不等式f(x)M(或f(x)M)，故也不能只有.题型一函数单调性的判断及证明下列函数在指定区间上为单调函数的是()A.y，x(，0)(0，),B.y，x(1，),C.yx2

5、，xR,D.y|x|，xR分析选择题的解题方法可以考虑图象法或特殊值法解析选项A中，由反比例函数图象知：yf(2,x)在(，0)和(0，)上均是单调递减的，但在(，0)(0，)上不是单调函数；选项C中，由二次函数yx2，xR的图象知，它不是单调函数；选项D中，取x11，x21，x10)在(0，上是减函数，在，)上是增函数分析利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形证明(1)设0x1x2,则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2) 因为0x1x2，所以x1x20，0x1x21，所以0，所以f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，r(a.,)上为减函数(2) 设x1x2，则f(x1)f(x2

6、)(x1x2) 因为x1x2a.,，所以0，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)0恒成立，试求实数a.,的取值范围分析对于(1)，将f(x)变形为f(x)x2，其在1，)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)；对于(2)运用好等价转化，0 (x1，)恒成立等价于x22xa.,0恒成立，进而解出a.,的范围解(1)当a.时，f(x)x2由定义法可证得f(x)在上为增函数，1，)为f(x)的增区间，f(x)在1，)上的最小值为f(1)(3) 在区间1，)上，f(x)0恒成立x22xa.,0恒成立令yx22xa.,，x1，)，则易知y(x1)2a.,1在1，)上递增，当x1时，ymin3a

7、.,于是，当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.点评单调函数在闭区间上必有最大值和最小值如果f(x)在区间D上有定义，f(x)0或f(x)0恒成立，则当且仅当f(x)min0或f(x)ma.,x0成立若一次函数yf(x)在区间1,3上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为_错解设f(x)kxb (k0)，则可得，解得.故f(x)x.错因分析出错的主要原因是对一次函数f(x)kxb (k0)的单调性没有掌握好事实上，当k0时，f(x)在R上为增函数；当k0时，解得.当kf(1)等价于1移项通分得：0.则不等式解集为x|x1答案D2(浙江高考)设f(x)g(x)是二次函数

8、若fg(x)的值域是0，)，则g(x)的值域是()A(，11，)B(，10，)C0，)D1，)解析作出函数y=f(x)的图象，如图所示，又g(x)是二次函数且fg(x)的值域是0，+)，设g(x)的值域为A，则(-1,0)中的任何元素xA且0,1)A，排除A，D.又g(x)作为二次函数，且值域不可能是B(-，-10，+)，排除B.答案C1函数f(x)2x2mx3，当x(，2时是减函数，x2，)时是增函数，则f(1)等于()A3 B13C7 D由m而定的常数答案B解析对称轴为x，2，m8，f(x)2x28x3.f(1)13.2若区间1，)是函数y(a1)x21与y的递减区间，则a的取值范围为()

9、Aa0 Ba1C0a1 D0a1答案D解析由题设知a10，a0.y(a1)x21为二次函数，y为反比例函数，由这两个函数的性质知，a满足，得0a1.3函数yax1 (a0)在区间0,2上的最大值与最小值分别为()A1；2a1 B2a1；1C1a；1 D1；1a.答案A解析a，故所求函数的最大值为6.6.函数(3k1)xb在R上是减函数，k的取值范围是_答案k解析3k10k.7.函数y|x22x3|的单调递增区间是_答案1,1，3，)解析由y|x22x3|的图象，直接得出递增区间如图所示8.已知函数f(x)为区间1,1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_答案1x解析由题设得，即1x

10、.9讨论函数f(x)(1x1，a0)的单调性解设1x1x21，则f(x1)f(x2)，因为1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.所以当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)在(1,1)上是减函数当a0时，f(x)在(1,1)上是增函数10设函数f(x)x22x2 (其中xt，t1，tR)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式解f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，(1)当t+11，即t0时，截取减区间上的一段，g(t)=f(t+1)=t2+1，如图所示(2)当1t+12，即02，即t1时，截取增区间上的

11、一段，g(t)=f(t)=t2-2t+2，如图所示综上可知，g(t)1 3.1单调性与最大(小)值(一) 学习目标1理解单调性的定义2运用单调性的定义判断函数的单调性 预习自测1一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(3)如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做

12、yf(x)的单调区间2a.0时，二次函数ya.x2的单调增区间为.3k0时，ykxb在R上是增函数4函数y的单调递减区间为(，0)和(0，). 一、利用图象求单调区间例1求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)x22|x|3.分析由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的解图(1)(1)f(x)3|x|图象如图(1)所示f(x)在(，0上是减函数，在0，)上是增函数(2)f(x)图(2)其图象如图(2)所示由此可知：yf(x)在(，1，0,1上是增函数yf(x)在1,0，1，)上是减函数点评函数的

13、单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“”符号连接它们变式迁移1写出下列函数的单调区间(1)f(x)ax2bxc (a0)；(2)f(x)1.解(1)a0时，递增区间为，递减区间为；a0时，递增区间为，递减区间为.(2)f(x)=，如图所示：单调递增区间为(0，+)，递减区间为(-，0) 二、利用定义证明函数的单调性例2证明函数f(x)x在(0,1)上是减函数分析证明的关键是对f(x1)f(x2)进行变形，

14、尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式证明设0x1x21，f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)，0x1x21，x1x20，x1x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在(0,1)上是减函数点评证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论变式迁移2(1)例1中若区间改为(1，)，单调性如何改变？(2)利用单调性的定义证明函数y在(1，)上是减函数(1)解单调递增(2)证明设x1x21，则y1y2，x1x21，x2x10，x210，0.即y1y2

15、0，y10，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值作比变形与1比较判断”一、选择题1下列说法中正确的有()若x1，x2I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则yf(x)在I上是增函数；函数yx2在R上是增函数；函数y在定义域上是增函数；y的单调区间是(，0)(0，)A0个B1个C2个D3个答案A解析函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而不对；yx2在x0时是增函数，x0时是减函数，从而yx2在整个定义域上不具有单调性；y在整个定义域内不是单调递增函数如3f(5)；y的单调递减区间不是(，0)(0，)，而是(，0)和(0，)，注意写法2设

16、(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定答案D解析根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小3下列函数在区间(2，)上为减函数的为()Ay2x7 ByCyx24x1 Dyx24x3答案C4若函数f(x)x22(a2)x2在区间4，)上是增函数，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2Ca6 Da6答案B解析对称轴x2a4，得a2.5设函数f(x)是(，)上的减函数，则()Af(a)

17、f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a.即f(a21)0，则f(x)在a，b上是单调_函数，如果0，则f(x)在a，b上是单调_函数答案增减解析单调性定义的应用7函数f(x)2x23|x|的单调递减区间是_答案和8若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则函数yax2bx在(0，)上是单调_函数答案减解析由已知得a0，b0，yax2bx对称轴为x0，开口向下，在(0，)上是单调减函数三、解答题9已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，求f(1)的取值范围解f(x)4x2mx5的单调递增区间为，由已知可知：2，m16.从而f(1)9m25.10求证：

18、函数y在区间(1，)上为单调减函数证明任取x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数y在区间(1，)上为单调减函数13.1单调性与最大(小)值(二) 学习目标1通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义2会利用函数的单调性求函数的最值 自学导引1最大值的概念一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值2最小值的概念设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M

19、满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值3函数f(x)x22x1 (xR)有最小值，无最大值若x0,1，则f(x)最大值为4，最小值为1.4函数f(x)在定义域上无最值(填“有”或“无”) 一、图象法求函数的最值例1已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值；（1）xR；(2)0,3；(3)1,1分析求函数的最大值、最小值问题，首先考虑定义域，由于是二次函数，可以采用配方法和图象法求解解f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.(1)当xR时，f(x)=3(x-2)2-7

20、-7，当x=2时，等号成立即函数f(x)的最小值为-7，无最大值(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在0,2)上递减，在2,3上递增，并且f(0)=5，f(2)=-7，f(3)=-4，所以在0,3上，函数f(x)=3(x-2)2-7在x=0时取得最大值，最大值为5，在x=2时，取得最小值，最小值为-7.(3)由图象可知，在-1,1上单调递减，f(x)max=f(-1)=20，f(x)min=f(1)=-4.点评探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y=f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它

21、是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得变式迁移1求f(x)=x2-2ax-1在区间0,2上的最大值和最小值解f(x)=(x-a)2-1-a.2，对称轴为x=a.当a0时，由图可知，f(x)min=f(0)=-1，f(x)max=f(2)=3-4a.当0a2时，由图可知，f(x)min=f(2)=3-4a，f(x)max=f(0)=-1. 二、利用单调性求函数最值例2已知函数f(x) (x2，)，求f(x)的最小值分析求最值问题往往依赖于函数的单调性，由于这个函数并不是我们所熟悉的函数，可考虑先判断一下单调性，再求最值解任取x1，x22，)，且x1x2，

22、f(x)x2则f(x1)f(x2)(x1x2)x1x2，x1x22，x1x24,10f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)在2，)上是增函数当x2时，f(x)有最小值，即f(2).点评运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法变式迁移2求函数f(x)在区间2,5上的最大值与最小值解任取2x1x25，则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110.f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)在区间2,5上是单调减函数f(x)maxf(2)2.f(x)minf(5). 三、实际

23、问题中的最值例3绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低0.05元，则可多销售40瓶在每月的进货当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶，才可获得最大利润？解设销售价为x元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为40400400(92x)(瓶)此时所得的利润为f(x)400(92x)(x3)400(2x215x27)(元)根据函数性质，当x3.75(元)时，f(x)取得最大值450(元)这时进货量为400(92x)400600(瓶)，获得最大利润450元

24、点评解应用题要从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系式然后再利用数学知识使问题得以解决这个过程实际上就是建立数学模型的一种简单情形一般步骤：(1)阅读理解材料(先看应用背景，再找寻相关量的关系)；(2)建立函数关系；(3)讨论变量性质；(4)得出问题结论变式迁移3将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？解设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销售减少10(x50)个，y(x40)(1 00010x)10(x70)29 000当x70时，y最大，ymax9 000.售价

25、70元时，利润最大为9 000元1求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出2运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法3在实际应用中，应根据问题的实际背景，考虑到定义域的特殊情形去求函数的最值一、选择题1函数yx22x2在2,2上最大值、最小值为()A10,2 B10,1C2,1 D以上都不对答案B2函数yax1 (a0)在区间0,2上的最大值与最小值分别为()A1；2a1 B2a1；1C1a；1 D1；1a.答案A解析a0，所以一次函数在区间0,2上是减函数，当x0时，函数取得最大值为1；当x2时，函数取得最小值为2a1.3当

26、x(0,5时，函数f(x)3x24xc的值域为()Af(0)，f(5) B.C. Dc，f(5)答案C解析画图象可知4函数f(x)则f(x)的最大值、最小值为()A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不对答案A解析画图象可知5函数f(x)的最大值是()A. B. C. D.答案D解析f(x).二、填空题6函数y，x3，1的最大值与最小 值的差是_答案7函数yx26x9在区间a，b(a.b3)有最大值9，最小值7，则a_，b_.答案2,0解析y(x3)218，ab3，在区间a，b上单调递增，即b26b99，得b0，a26a97，得a2.8已知f(x)x22(a1)x2在区间x1,5上的最小值

27、为f(5)，则a的取值范围为_答案a4解析由对称轴方程为x1a.区间x1,5上的最小值为f(5)，1a5，得a4.三、解答题9求函数y在区间1,2上的最大值和最小值解任取x1，x2，且1x1x22，则f(x1)f(x2)因为1x1x22，所以2x1x24，即63(x1x2)12，又1x1x20，故f(x1)f(x2)0，即y1y2.所以函数y在区间1,2上为减函数，ymaxf(1)，yminf(2)4.10已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1

28、)21，x5,5，故当x1时，f(x)的最小值为1.当x5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)(xa)22a2图象的对称轴为xa.f(x)在5,5上是单调的，故a5，或a5.即实数a的取值范围是a5，或a5.1.3.2奇偶性1函数奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数理解函数的奇偶性要注意以下四点：(1)函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势奇偶

29、性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，才能说f(x)是奇(偶)函数(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则x必然在定义域中，因此，函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性如函数y2x在(，)上是奇函数，但在2,3上则无奇偶性可言(3)既奇又偶函数的表达式是f

30、(x)0，xA，定义域A是关于原点对称的非空数集(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)0.2用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定f(x)与f(x)的关系：若f(x)f(x)，则此函数为奇函数；若f(x)f(x)，则此函数为偶函数；若f(x)f(x)，同时f(x)f(x)，则此函数为既奇又偶

31、函数(2)在判断f(x)与f(x)的关系时，可以从f(x)开始化简，也可以去考虑f(x)f(x)或f(x)f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑，与1或1的关系3奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在0，)(或(，0

32、)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象)(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在称的两个区间上的单调性是相反的. 题型一函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x32x；(2)f(x)2x43x2；(3)f(x)x22x5; (4)f(x)x2，x(0，)；(5)f(x).分析本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义，应注意两个方面：(1)函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，只有f(x)0 (xR或x(a，a)，a0)既是奇函数又是偶函数(2)从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先

33、其定义域关于原点对称，其次f(x)f(x)或f(x)f(x)必有一成立解(1)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(x)(x)32(x)(x32x)f(x)，所以函数f(x)x32x是奇函数(2)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(x)2(x)43(x)22x43x2f(x)，所以函数f(x)2x43x2是偶函数(3)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(x)(x)22(x)5x22x5，所以f(x)f(x)，且f(x)f(x)，所以函数f(x)x22x5既不是奇函数也不是偶函数(4)函数的定义域为(0，)，

34、不关于坐标原点对称，所以函数f(x)x2，x(0，)既不是奇函数也不是偶函数(5)函数的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数点评对于整式函数f(x)a0a1xa2x2anxn (nN)，若解析式中只含有x的偶次方项(a0可看成a0x0，即a0可看做是x0的系数，也就是说a0也是x的偶次方项的系数)，x的奇数次方项的系数都为零，则f(x)为偶函数；若f(x)的解析式中只有x的奇次方项(偶次方项的系数都为0，包括a00)则f(x)为奇函数；若奇次方项与偶次方项均存在，则f(x)为非奇非偶函数，尤其要注意在判断之前一定要先看定义域是否关于原点对称，如第(5

35、)小题容易先化简成f(x)x2，忽视定义域得出偶函数的结论判断分段函数f(x)的奇偶性分析本题若画出图象，可直观形象地看出其奇偶性，但是不严格；利用定义判断此函数的奇偶性，需分x(6，1、x1,6)两种情况说明解f(x)的定义域为(6，11,6)，关于原点对称当x(6，1时，x1,6)，f(x)(x5)24(x5)24f(x)；当x1,6)时，x(6，1，f(x)(x5)24(x5)24f(x)综上可知，对于x(6，11,6)，都有f(x)f(x)故f(x)是偶函数点评分段函数的奇偶性应分段判断f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性 题型二奇、偶函数的图

36、象已知yf(x)与yg(x)的图象如图所示，则函数F(x)f(x)g(x)的图象可以是()解析由图象可知函数y=f(x)与y=g(x)均为奇函数f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，F(x)=f(x)g(x)=-f(-x)-g(-x)=F(-x)所以函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数注意到函数y=f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y=g(x)在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A.答案A点评由函数图象判断函数奇偶性是一项基本要求与基本能力本题是判断奇函数、偶函数积的奇偶性，结合图象中所凸显的特征(如函数的定义域、与x轴的交点、图象是在x轴的上方还是下方)，将图

37、象信息用于分析函数的单调性、奇偶性等函数特征因此在平时的训练中要加强对图象的识别能力和结合函数性质分析图象的能力 题型三函数单调性、奇偶性的 综合应用设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围分析已知条件较多，充分利用已知条件：f(1m)f(m)，则f(|1m|)f(|m|)解因为f(x)在2,2上为偶函数，f(1m)f(m)所以即解得m2.点评(1)满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个很容易被忽视的问题，要加以重视；(2)在解抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉(3)偶函数的一个重要性质：f(|x|)

38、f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论判断函数f(x)(x1)的奇偶性错解将解析式变形为：f(x)，f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数错因分析没有考查函数定义域的对称性正解函数f(x)的定义由0知1x1.因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数高考要求掌握函数奇偶性的概念从考查形式上看：一方面考查函数奇偶性定义的应用，属于试卷中的容易题，注重概念的娴熟应用；另一方面综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，一般属于试卷中的中档题，注重对概念的深刻理解，注重对数学思想方法及能力的考查1(全国高考)函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称

39、D直线yx对称解析f(x)x，f(x)xf(x)f(x)是一个奇函数f(x)的图象关于原点对称答案C2(湖北高考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于()A2 B2 C98 D98解析f(x4)f(x)，T4，f(7)f(78)f(1)f(1)2122.答案A3(上海高考)已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在2，)上是增函数，求实数a的范围解(1)当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2 (a0，x0)，取x

40、1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)方法一设2x1x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立x1x20，x1x24，即ax1x2(x1x2)恒成立又x1x24，x1x2(x1x2)16.a的取值范围是(，16方法二当a0时，f(x)x2，显然在2，)上为增函数当a0时，反比例函数在2，)上为增函数，f(x)x2在2，)上为增函数当a0时，同方法一.1下列函数既是奇函数又是偶函数的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案A解析选项A中，f(x)0，x1,1该函数既是奇函数又是偶函数2下列说法错误的个数为()图象关于原点对称的函数是奇函数；图象关于y轴