高考数学浙江省专用复习专题测试第十二章概率与统计123离散型随机变量及其分布列

1、考点一离散型随机变量及其分布列 1.(2017课标全国理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.,五年高考,答案1.96,解析本题主要考查二项分布. 由题意可知XB(100,0.02),由二项分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.,随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=. (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) =+ =

2、. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.,技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.,4.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受

3、甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.,解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望. (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M, 则P(M)=. (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=. 因此X的分布列为,解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤: 理解X的含义,写出X所有可能的取值. 求X取每个值时的概率; 写出X的分布列. (2

4、)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.,5.(2013浙江,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若E=,D =,求abc.,解析(1)由题意得=2,3,4,5,6. 故P(=2)=, P(=3)=, P(=4)

5、=, P(=5)=, P(=6)=. 所以的分布列为,评析本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识.,6.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动 中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和X的分

6、布列和数学期望E(X).,解析(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“星队至少猜对3个成语”. 由题意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC, 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C) P() =+2 =. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. (2)由题意,随机变量X可能

7、的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=,评析本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值是解题的关键.属于中档题.,7.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.,解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)= =. (2)X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=

8、0)=,P(X=1)=, P(X=2)=. 综上知,X的分布列为,8.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.,解析(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=. 因此,

9、A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. 所以X的分布列为,因此,X的数学期望为 E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) =1+2+3=2.,评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.,解析(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x吨,y吨,相应的获利为z元,则有 目标函数为z=1 000 x+1 200y. 当W=12时,表示的平面区域如图1,三个顶

10、点分别为,A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 当z=1 000 x+1 200y变形为y=-x+, 当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大, 最大获利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 当W=15时,表示的平面区域如图2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 将z=1 000 x+1 200y变形为y=-x+, 当x=3,y=6时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大, 最大获利Z=zmax=31 000+61 200=10 200. 当W=18时,表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为A(0,0)

11、,B(3,6),C(6,4),D(9,0). 将z=1 000 x+1 200y变形为y=-x+, 当x=6,y=4时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大,评析本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.,11.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出

12、的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.,12.(2014江西,21,14分)随机将1,2,2n(nN*,n2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数.A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记=a2-a1,=b2-b1. (1)当n=3时,求的分布列和数学期望; (2)令C表示事件“与的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C); (3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并

13、说明理由.,评析本题主要考查随机变量的分布列、数学期望及概率和数学归纳法,同时考查学生的逻辑推理能力及分析、解决问题的能力.属难题.,解析(1)依题意,p1=P(40120)=0.1. 由二项分布知,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3= +4=0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y(单位:万元). (i)安装1台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000. (ii)安装2台发电机的情形. 依题意知,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 0

14、00-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2+p3=0.8,由此得Y的分布列如下:,评析本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.,则X的数学期望E(X)=() A.B.2C.D.3,14.(2013广东,4,5分)已知离散型随机变量X的分布列为,以下为教师用书专用,答案A由已知条件可知E(X)=1+2+3=,故选A.,评析本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望,正确运用公式是解题关键.,15.(2015湖南,1

15、8,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.,解析(1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球, A2=从乙箱中摸出的1个球是红球, B1=顾客抽奖1次获一等奖, B2=顾客抽奖1次获二等奖, C=顾客抽奖1次能获奖. 由题意,A1与A2相互独立,A1与A

16、2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2. 因为P(A1)=,P(A2)=, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=, P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2) =+=. 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.,16.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的

17、概率; (2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望. (注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数),评析本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.,17.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回

18、球的落点在C上的 概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响. 求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.,解析(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=. 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=. 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,

19、 由事件的独立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) =+=, 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为. (2)由题意,随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,18.(2013课标全国,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这

20、批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为 优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.,19.(2013北京,16,13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2

21、天. (1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大.(结论不要求证明),解析设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,13). 根据题意,P(Ai)=,且AiAj=(ij). (1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5A8.所以P(B)=P(A5A8)=P(A5)+P(A8)=. (2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=1)=P(A3A6A7A11) =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=, P(X=2)=P(A1

22、A2A12A13) =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=. 所以X的分布列为,故X的期望EX=0+1+2=. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.,20.(2013福建,16,13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有 且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X3的概率; (2)若小明、小红两

23、人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽 奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?,解析解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影 响. 记“这2人的累计得分X3”的事件为A, 则事件A的对立事件为“X=5”, 因为P(X=5)=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即这2人的累计得分X3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2). 由已知可得,X1B,X2B, 所以E(X1)=2=,E(X2)=2

24、=, 从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=. 因为E(2X1)E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.,评析本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识.,21.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相 互独立. (1)分别求甲队以30,31,32胜利的概

25、率; (2)若比赛结果为30或31,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为32,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.,解析(1)记“甲队以30胜利”为事件A1,“甲队以31胜利”为事件A2,“甲队以32胜利”为事件A3, 由题意,各局比赛结果相互独立, 故P(A1)=, P(A2)=, P(A3)=. 所以,甲队以30胜利、以31胜利的概率都为,以32胜利的概率为. (2)设“乙队以32胜利”为事件A4, 由题意,各局比赛结果相互独立,所以 P(A4)=. 由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3. 根据事件的互斥性得,评析本题考查古典概型、相互独立、互斥、

26、分类讨论思想等基础知识和基本技能,考查逻辑推理能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.,22.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.,解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手

27、”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”, 则P(A)=,P(B)=. 事件A与B相互独立, 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B) =. (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”, 则P(C)=, X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0)=P()=, P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C) =+=,23.(2013江西,18,12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量

28、,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X的分布列和数学期望.,24.(2013辽宁,19,12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率; (2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每 道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列 和数学期望.,考点二均值与方差 1.(2017浙江,8,4分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=

29、1,2.若0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),答案A本题考查随机变量的概念及其分布列,随机变量的期望、方差的计算,考查推理运算能力,利用作差比较法比较两式的大小,构造函数,利用函数的单调性比较两式的大小. 解法一:E(1)=0(1-p1)+1p1=p1, 同理,E(2)=p2,又00,(p1-p2)(1-p1-p2)0. D(1)D(2).故选A. 解法二:同解法一知E(1)E(2),D(1)=p1-,D(2)=p2-, 令f(x)=x-x2,则f(x)在上为增函数,0p1p2,f(p1)f(p2),即D(1)D(2).故选A.,2.(2014浙江,9,5分)

30、已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2); (b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2). 则() A.p1p2,E(1)E(2) C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)E(2),答案A当i=1时,若从乙盒中抽取的1个球为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1,则P(A1)=. 若从乙盒中抽取的1个球为蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2,则P(A2)= ,而A1与A2互斥,则p1=P(A1+A2)=P(

31、A1)+P(A2)=.此时,1的取值为1或2,P(1=1)= ,P(1=2)=,则E(1)=1+2=.当i=2时,若从乙盒中抽取的2个球都为红 球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1,则P(B1)=. 若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2,则P(B2)=. 若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3,则P(B3)=.因 为B1,B2,B3互斥,则p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)= =.则p1-p2=0,即有p1p2.此时,2的取值为1,2,3.P(2=1)=,P(2,=2)=,P(2=3)=

32、,则E(2)=1+2+3=3p2=,则有E (1)p2,E(1)E(2),故选A.,评析本题考查随机事件的概率,组合数的计算,离散型随机变量的分布列和期望.考查分类讨论思想和运算求解能力,属于难题.,3.(2014浙江,12,4分)随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=,E()=1,则D()=.,答案,解析设P(=1)=p,则P(=2)=-p,从而由E()=0+1p+2=1,得p=.故D()=(0-1)2+ (1-1)2+(2-1)2=.,4.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.,答案0.1,解析=5.1, 则该组数据的方差 s

33、2= =0.1.,5.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.,答案,解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1-=,且XB , 均值是2=.,评析判断X服从二项分布是解题的关键.,6.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协

34、会”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析(1)由已知,有 P(A)=. 所以,事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+4=.,评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.,7.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该

35、银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.,评析本题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.,8.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸

36、出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.,解析(1)设顾客所获的奖励额为X元. (i)依题意,得P(X=60)=, 即顾客所获的奖励额为60元的概率为.

37、 (ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60. P(X=60)=,P(X=20)=, 即X的分布列为,所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元). (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元. 所以,先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况,同

38、理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为,9.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率; (2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.,解析记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2, B表示事件:甲需使

39、用设备, C表示事件:丁需使用设备, D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备. (1)D=A1BC+A2B+A2C, P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分) 所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C) =P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C) =0.31.(6分) (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=P(A0) =P()P(A0)P() =(1-0.6)0.52(1-0.4) =0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1) =P(B)P(A

40、0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P() =0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25, P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分) 数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+4 0.06

41、=2.(12分),10.(2014安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比 赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率; (2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).,解析用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”, 则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+

42、P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) =+=. 所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为. (2)X的可能取值为2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4),评析本题考查了独立事件同时发生、互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等概率知识;考查应用意识、运算求解能力;准确理解题意是解题的关键,准确运算求解是得

43、分的关键. 以下为教师用书,11.(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P; (2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).,以下为教师用书专用,因此随机变量X的数学期望 E(X)=2+3+4=.,解析(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球, 所以P=. (2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4. X=4表示的随机事件是“取到的

44、4个球是4个红球”,故P(X=4)=; X=3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=; 于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-=. 所以随机变量X的概率分布如下表:,评析本题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.,12.(2014湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和. 现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若

45、新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.,解析记E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功,由题设知P(E)=,P()=,P(F)= ,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立. (1)记H=至少有一种新产品研发成功,则=, 于是P()=P()P()=, 故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=. (2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=,P (X=100)=P(F)=,P(X=120)=P(E)=, P(X=220)=P(EF)=. 故所求的分布列为,数学期望为 E(X)=

46、0+100+120+220 =140.,1.(2017浙江宁波二模(5月),4)随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=() A.B. C.D.,三年模拟,一、选择题,A组 20152017年高考模拟基础题组,答案B设P(X=1)=m,则P(X=2)=-m,所以0+1m+2=1,因此m=,所以D(X)=E(X2)- E(X)2=02+12+22-12=,故选B.,2.(2017浙江台州期末质量评估,3)已知随机变量B,则E()=() A.3B.2C.D.,答案C由二项分布的期望公式知,E()=.,知识拓展如果随机变量服从参数为n,p的二项分布(即B(n,p),

47、则其期望与方差分别是E()=np,D()=np(1-p).,3.(2017浙江温州2月模拟,5)设离散型随机变量X的分布列为,则EX=2的充要条件是() A.p1=p2B.p2=p3 C.p1=p3D.p1=p2=p3,答案C由p1+p2+p3=1,得p2=1-p1-p3. 若EX=2,则p1+2p2+3p3=2,将代入,得p1=p3. 反之检验,亦成立.故选C.,4.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,8)某校高三有四名同学想参加高校组织的三位一体招生考试,他们每人只能从三所高校中随机选择一所进行报考,假设每人对三所高校的选择都是等可能的,最终被这四名同学选择的高校有所,则随机变量的数学

48、期望是( ) A.B. C. D.,答案D的所有可能值为1,2,3. P(=1)=;P(=2)=;P(=3)= .因此,E=1+2+3=,故选D.,5.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,6)随机变量X的分布列如下:,若数学期望E(X)=10,则方差D(X)=() A.30B.35C.40D.50,答案D由条件得解得a=0.4,b=0.2,故D(X)=(0-10)20.1+(5-10)20.4+(10-10)20.2+ (20-10)20.3=50.,二、填空题,答案1;,解析由期望的定义知,E=0+1+2=1,方差D=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.,答案3;2,7.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,14)袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出黑球不再放回,直到取出白球为止,设取球次数为,则E=,D=.,解析随机变量的分布列如下:,8.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,15)甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、5个白球.现分