高考数学浙江省专用复习专题测试第十章圆锥曲线与方程101椭圆及其性质

1、考点一椭圆的定义和标准方程 1.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2 的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为() A.+=1B.+y2=1 C.+=1D.+=1,五年高考,答案A由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又=,c=1,b2=2,C的方程为 +=1,选A.,2.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分 别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.,答案12,解析由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M

2、(m,n)关于F1的对称点为 A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|= + =2+, 故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=26=12.,评析本题主要考查椭圆定义等知识,重点考查学生的运算能力,数形结合思想.,3.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E 于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为.,答案x2+y2=1,解析不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,00).

3、又|AF1|=3|F1B|,由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,b2=. 故椭圆E的方程为x2+y2=1.,4.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的离心率为, 且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.,解析(1)由题意,得=且c+=3, 解得a=,c=1,则b=1, 所以椭圆的标准方程为+y2=1. (2)当ABx轴时,AB=,又CP=3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的

4、方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为 ,且AB=. 若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意. 从而k0,故直线PC的方程为y+=-, 则P点的坐标为, 从而PC=.,因为PC=2AB, 所以=, 解得k=1. 此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.,评析本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想.,5.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(ab0)过点(0,),且离心率e=. (1)求椭

5、圆E的方程; (2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关 系,并说明理由.,解析解法一:(1)由已知得解得 所以椭圆E的方程为+=1. (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0). 由得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=. 所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+. = =(1+m2)(-y1y2), 故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|.,故点G在以AB为直径的圆外. 解法二:(1)同解法一. (2)设点A(x1,y1),B

6、(x2,y2),则=, =. 由得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=,y1y2=-, 从而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+ +=0, 所以cos0.又,不共线,所以AGB为锐角. 故点G在以AB为直径的圆外.,评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想.,6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.

7、(1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.,解析(1)由题设条件知,点M的坐标为, 又kOM=,从而=. 进而a=b,c=2b.故e=. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,设点 N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T 在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有+=1,=,解得b=3,所以a=3,故椭圆E 的方程为+=1.,7.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、 右焦点,

8、顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程; (2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.,以下为教师用书专用,解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF2=a. 又BF2=,故a=. 因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1. 故所求椭圆的方程为+y2=1. (2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为+=1. 解方程组得 所以点A的坐标为. 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.,因为直线

9、F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1CAB,所以 =-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.,评析本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.,考点二椭圆的几何性质 1.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离心率是() A.B.C.D.,答案B本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c=,离心率e=.故选B.,2.(2017课标全国文,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足 AMB=120,则m的取值范围是() A.(0,19,+)B.(0,9,+) C.(0,14,+

10、)D.(0,4,+),当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即3,即m9. 综上,m(0,19,+),故选A.,易错警示在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的坐标轴.,3.(2017课标全国理,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为() A.B.C.D.,答案A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程

11、为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即 2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.,方法技巧椭圆离心率的求法: (1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e=求解. (2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的范围取舍方程的解.,4.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第 二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是() A.B.C.D.,答案D焦点F1(-,0),F2(,0),在RtAF1F2中,|AF1|

12、+|AF2|=4,|AF1|2+=12,所以可解得|AF 2|-|AF1|=2,故双曲线的离心率e=,选D.,评析本题考查椭圆与双曲线的几何性质,以及数形结合思想,函数与方程思想和转化与化归思想,考查学生的运算求解能力和图形观察能力.抓住点A在双曲线和椭圆上且F1AF2=是解答 本题的关键.,5.(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为 C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为() A.B.C.D.,答案A由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为

13、0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N,由于B,M,N三 点共线,所以kBN=kBM,即=,所以=,即a=3c,所以e=.故选A.,评析本题主要考查椭圆的几何性质,三点共线的判定等基本知识和基本技能,考查学生的计算求解能力和逻辑思维能力,同时考查了方程思想的应用.,6.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.,答案,解析由已知条件易得B,C, F

14、(c,0),=,=, 由BFC=90,可得=0, 所以+=0, 即c2-a2+b2=0, 亦即4c2-3a2+(a2-c2)=0, 所以3c2=2a2, 所以=,则e=.,思路分析圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系.,7.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B两点,若 M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.,答案,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1, +=1. 两式相减并整理得=-. 把已知条件代入上式得,-=-, =,故椭圆的离心率e=.,评析本题考查了直线和椭圆的位置关系.考

15、查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.,8.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.,解析本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为+=1(ab0). 由题意得 解得c=. 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n

16、0. 直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-. 所以直线DE的方程为y=-(x-m). 直线BN的方程为y=(x-2).,联立 解得点E的纵坐标yE=-. 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2. 所以yE=-n. 又SBDE=|BD|yE|=|BD|n|, SBDN=|BD|n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45.,易错警示在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的情况.,9.(2017天津文,20,14分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为 (0,c),EFA的面积为.

17、(1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.,解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力. (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为00),则直线FP的斜率为. 由(1)知a=2c,可得直线AE的方

18、程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x= ,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+= ,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. (ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-| FQ|=-=c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP. 因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQF

19、N=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理 FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c =2. 所以,椭圆的方程为+=1.,10.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.,解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, 故x1=0,x2=-. 因此|AP|=|x1-x2|=. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设

20、y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|=,|AQ|=, 故=, 所以(-)1+a2(2-a2)=0. 由于k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2), 因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a. 因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a, 由e=得,所求离心率的取值范围为0e.,评析本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能

21、力.,11.(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称. (1)求实数m的取值范围; (2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).,解析(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y=- x+b. 由消去y,得x2-x+b2-1=0. 因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点, 所以=-2b2+2+0, 将AB中点M代入直线方程y=mx+, 解得b=-. 由得m. (2)令t=, 则|AB|=,且O到直线AB的距离为d=. 设AOB的面积为S(t), 所以S(t)=|AB|d=. 当且仅当t2=时,等号成立. 故AOB面积的最大值为.,1

22、2.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆 于P,Q两点,且PQPF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.,解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,得2c=|F1F2|=2,即c =,从而b=1. 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. (2)解法一:连接F1Q,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2, 则+=1,+=c2, 求得x0=,y0=. 由|

23、PF1|=|PQ|PF2|得x00,从而|PF1|2=+ =2(a2-b2)+2a=(a+)2. 由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a. 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|. 因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a, 于是(2+)(1+)=4, 解得e=-. 解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-

24、2|PF1|. 又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|, 因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a, 从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.,由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 因此e=-.,13.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,左、 右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直

25、线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO 交椭圆E于点Q. (i)求的值; (ii)求ABQ面积的最大值.,解析(1)由题意知2a=4,则a=2. 又=,a2-c2=b2,可得b=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)由(1)知椭圆E的方程为+=1. (i)设P(x0,y0),=,由题意知Q(-x0,-y0). 因为+=1,又+=1, 即=1, 所以=2,即=2. (ii)设A(x1,y1),B(x2,y2). 将y=kx+m代入椭圆E的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 由0,可得m24+16k2.,则有x1+x2=-,x1x2=. 所以|x1-x2|=.

26、 因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m), 所以OAB的面积S=|m|x1-x2| = = =2. 设=t. 将y=kx+m代入椭圆C的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由0,可得m21+4k2.,由可知0t1, 因此S=2=2. 故S2, 当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2. 由(i)知,ABQ面积为3S, 所以ABQ面积的最大值为6.,14.(2013辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两 点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=,则C的离心率e=.,以下为教师用

27、书专用,答案,解析如图,设右焦点为F1,|BF|=x,则cosABF=. 解得x=8,故AFB=90.由椭圆及直线关于原点对称可知 |AF1|=8,且FAF1=90,FAF1是直角三角形,|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,e=.,评析本题考查椭圆的定义、几何性质、余弦定理等知识.椭圆的对称性是解决本题的关键.,15.(2013福建,14,4分)椭圆:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y= (x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.,答案-1,解析由已知得直线y=(x+c)过M、F1两点,所以直线MF1的斜率为

28、,所以MF1F2=60,则 MF2F1=30,F1MF2=90,如图,故MF1=c,MF2=c,由点M在椭圆上知,c+c=2a,故e=-1.,16.(2013北京,19,14分)已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点. (1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.,解析(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0). 因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=. 所以菱形OABC的面积是|OB|AC|=

29、22|m|=. (2)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k0,m0). 由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k+m=. 所以AC的中点为M. 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.,因为k-1,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.,评析本题考查椭圆的性质,点与椭圆的关系及直线与椭圆的位置关系,考查弦的中点及菱形的性质,考查学生运算求解能力和整体代换思想的应用.对

30、于第(2)问,利用菱形的性质构建关于斜率k的方程是解决本题的关键.,1.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),5)已知F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,过点F作斜率为2的 直线l使它与圆x2+y2=b2相切,则椭圆的离心率是() A.B.C.D.,三年模拟,一、选择题,A组 20152017年高考模拟基础题组,答案C直线l的方程为2x-y-2c=0,则有=b,得4c2=5b2,则e=.,2.(2017浙江杭州质检,5)已知直线2x+y-2=0经过椭圆+=1(ab0)的上顶点与右焦点,则椭 圆的方程为() A.+=1B.+y2=1 C.+=1D.+=1,答案A由题意得直线2x+y-2=0与x,y轴

31、的交点坐标分别为(1,0),(0,2),故b=2,c=1,a2=b2+c2=5,故选A.,3.(2017浙江吴越联盟测试,6)在RtABC中,a,b,c为其三边,且c所对的角为直角,则双曲线C1:- =1的离心率e1和椭圆C2:+=1的离心率e2满足() A.e1e2=1B.e1e21 C.e1e21D.无法确定,答案A由题知c2=a2+b2,所以e1=,e2=,所以e1e2=1,故选A.,4.(2016浙江嘉兴第一中学能力测试,7)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A 是C1,C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是() A.B.C.

32、D.,答案B由双曲线方程知,a1=1,c=2,则|F1F2|=|F1A|=4,由双曲线的定义,得|AF1|-|AF2|=4-|AF2|=2,所以|AF2|=2,又由椭圆的定义,得|AF1|+|AF2|=4+2=2a2,所以a2=3,所以C2的离心率为=,故选B.,5.(2015浙江宁波十校联考,13)设P为椭圆+=1上的点,F1,F2为其左、右焦点,且PF1F2的面 积为6,则=.,二、填空题,答案5,解析设P(x0,y0),F1(-,0),F2(,0), =2|y0|=6,得=,则=16-=, =-7+=5.,6.(2017浙江镇海中学模拟(5月卷),21)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点

33、分别为F1,F2,点D在 椭圆上,DF1F1F2,=2,DF1F2的面积为. (1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.,三、解答题,解析(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2. 由=2,得|DF1|=c, 从而=|DF1|F1F2|=c2=,故c=1. 从而|DF1|=,由DF1F1F2得,=+=,因此|DF2|=. 所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b=1. 因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1. (2)设

34、圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1的两个交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中y10,y20,F1P1,F2 P2是圆C的切线,且F1P1F2P2由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|. 由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1),再由F1P1F2P2得-+=0,由椭圆 方程得1-=,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0. 当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在. 当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C,设C(0,y0).,由CP1F1P

35、1,得=-1,又y1=,故y0=. 圆C的半径为=. 综上,存在满足条件的圆,其方程为 x2+=.,7.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),21)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,F1,F2是椭圆的 左、右焦点,设椭圆短轴的一个顶点为A,且AF1F2的面积为. (1)求椭圆的方程; (2)过左焦点F1作斜率为k的直线l,设l与椭圆交于P、Q两点,与y轴交于点R,且|PF1|=|QR|,求k2的值.,解析(1)e=,a=2b,c=b,又2cb=,b2=,b2=1,a2=4,故椭圆的方程为 +y2=1. (2)由题意可知,直线l的方程为y=k(x+),代入椭圆方程+y2=1得, (1+4k2)x

36、2+8k2x+12k2-4=0,xP+xQ=-,xPxQ= . |PF1|=|QR|,-xP=|xQ|,xP+xQ=-或xP-xQ=-. 当xP+xQ=-时,有-=-,k2=; 当xP-xQ=-时,xP+xQ=-,xP=-,xQ=, -=,整理得48k4+8k2-13=0, k2=.,8.(2017浙江金华十校调研,21)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点F的坐标为(1,0),且椭圆上 任意一点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,点Q关于x轴的对称点为Q,试问FPQ的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说

37、明理由.,解析(1)由已知得c=1,a=2,则b=, 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+1(m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则Q(x2,-y2). 联立得(3m2+4)y2+6my-9=0, =36m2+36(3m2+4)0, 所以y1+y2=,y1y2=. 直线PQ的方程为y=(x-x2)-y2. 令y=0,得x= =4, 即直线PQ与x轴交于一个定点M(4,0). 设FPQ的面积为S,故Smax=|FM|y1+y2|=. 所以FPQ的面积存在最大值.,9.(2017浙江台州4月调研卷(一模),21)如图,在椭圆C:+y

38、2=1中,过坐标原点O作两条互相垂直的 射线OA,OB与C分别交于A,B两点. (1)已知直线AB的斜率为k,用k表示线段AB的长度; (2)过点O作OMAB于M点,点P为椭圆C上一动点,求线段PM长度的取值范围.,解析(1)由题意可设AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 于是,x1+x2=-,x1x2= . 则|AB|=|x1-x2|=, 又由OAOB,知-1=, 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,将代入化简得 5m2-4k2=4, 所以|AB|=. (2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB:

39、y=kx+m(k0),则OM:y=-x(k0),设M(x,y). 由y=-x,得k=-,将其代入y=kx+m,得m=y+,又由(1)知5m2-4k2=4,所以5-4=4,即=4y2+4x2, 因为y2+x20,所以x2+y2=. 当直线AB的斜率为0或不存在时,显然符合x2+y2=. 故点M的轨迹方程为x2+y2=. 所以,|PO|min-|PM|PO|max+. 而|OP|的最大值为2,最小值为1, 所以,|PM|的取值范围为1-|PM|2+.,1. (2017浙江镇海中学阶段测试(一),9)设椭圆C:+=1与函数y=x3的图象相交于A,B两点,点P 为椭圆C上异于A,B的动点,若直线PA的

40、斜率取值范围是-3,-1,则直线PB的斜率取值范围是 () A.-6,-2 B.2,6 C. D.,一、选择题,B组 20152017年高考模拟综合题组,答案D设P(x0,y0), A(m,n).因为椭圆C和函数y=x3的图象都关于原点对称,则B(-m,-n).从而有kPA=,kPB=. 由得+=0,即有=-. 又kPAkPB=-,且-3kPA-1,则有kPB.,2.(2016浙江镇海中学测试(五),8)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的焦点,P是椭圆C上一点, 若I是PF1F2的内心,且满足2+3+4=0,则C的离心率e的值是() A.B.C.D.,答案D如图,不妨设F1为右焦点,F

41、2为左焦点,延长PI交F1F2于点P,所以有=,由2+3 +4=0, 得=-,所以=-. 因为P,F1,F2三点共线,所以-=1,解得=-,则|=|, 故|=|,则=. 同理可得=,=. 所以=234. 又I是内心,所以=|PF2|PF1|F1F2|, 因此|PF2|PF1|F1F2|=234. 故离心率e=,故选D.,3.(2016浙江宁波“十校”联考,8)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1(a0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P是椭圆上位于第一象限内的一点,且直线F2P与y轴的正半轴交于A点,APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|F1Q|=4,则该椭圆的离心率为() A.B.C.D.,

42、答案D如图所示,设另外两个切点分别为M,N,由题意得,|F1Q|=|F1M|=4,设|AM|=|AN|=y,|PN|=|PQ|=x,根据对称性可知,|AF1|=|AF2|PF2|=|AF2|-|AP|=|AF1|-|AP|=4+y-x-y=4-x, |PF1|+|PF2|=4+x+4-x=8=2aa=4,c=,离心率e=,故选D.,4.(2015浙江嘉兴桐乡一中调研(二),9)已知椭圆+=1(ab0)的中心为O,右焦点为F,右顶点 为A,直线x=与x轴的交点为K,则的最大值为() A.B.C.D.1,答案C=-e2+e=-+.,5.过椭圆C:+=1(abc)右焦点F(1,0)的直线与椭圆C交于

43、两点A,B,自A,B向直线x=5作垂线, 垂足分别为A1,B1,且=. (1)求椭圆C的方程; (2)记AFA1,FA1B1,BFB1的面积分别为S1,S2,S3,证明:是定值,并求出该定值.,二、解答题,解析(1)设A(x,y),则|AA1|=5-x,|AF|=,由=,得+=1,而A是椭圆上的任一 点,所以椭圆C的方程为+=1. (2)因为直线AB的斜率不可以为0,而可以不存在,所以可设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(4m2+5)y2+8my-16=0. 所以y1+y2=-,y1y2=-. 由题意得,S1=|AA1|y1|=|5-x1|y1|,S3=|BB1|y2|=|5-x2|y2|,S2=|A1B1|4=2|y1-y2|, 所以= =-=, 所以是定值,且该定值为.,6.(2017浙江宁波二模(5月),21