高考数学文天津专用二轮复习课件41等差数列与等比数列

1、专题四数列,4.1等差数列与等比数列,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列与等比数列的基本量的求解 【思考】 如何求解等差数列与等比数列的基本量? 例1已知等比数列an的前n项和为Sn,且 ,则=() A.4n-1B.4n-1 C.2n-1D.2n-1,答案,解析,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和

2、公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1(1)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=(),答案,解析,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.,答案,解析,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列与等比数列的判定与证明 【思考】 证明数列an是等差数列或等比数列的基本方法有哪些? 例2已知数列an满足a1=1,a

3、n+1=3an+1.,答案,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.证明数列an是等差数列的两种基本方法: (1)利用定义,证明an+1-an(nN*)为常数; (2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n2). 2.证明数列an是等比数列的两种基本方法:,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)求数列an的通项公式; (2)求证:数列bn-an为等比数列.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列与等比数列性质的应用 【思考】 常用的等差、等比数列的

4、性质有哪些? 例3设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=() A.5B.7C.9D.11,答案,解析,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用. (1)等差数列的性质:an=am+(n-m)d(n,mN*); 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*); 设等差数列an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等差数列. (2)等比数列的性质:an=amqn-m(m,nN*); 若m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,

5、p,qN*); 若等比数列an的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3在正项等比数列an中,a2,a48是关于x的方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1a2a25a48a49的值为(),答案,解析,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列、等比数列的综合问题 【思考】 解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的? 例4已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)记Sn为数列an的前n项和,是

6、否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,解：(1)设数列an的公差为d, 依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列,则(2+d)2=2(2+4d). 化简,得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2. 故数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.,令2n260n+800,即n2-30n-4000, 解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an

7、=2时,不存在满足题意的正整数n; 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.,题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.,答案,解析,-17-,规律总结,拓展演练,1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵

8、活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识. 2.解决等差数列an前n项和问题常用的三个公式 是: ;Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷. 3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程. 4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.,-18-,规律总结,拓展演练,5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后

9、即为等差数列.,-19-,规律总结,拓展演练,1.已知在等差数列an中,前n项和为Sn,若a3+a9=6,则S11=() A.12B.33 C.66D.99,答案,解析,-20-,规律总结,拓展演练,2.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=() A.21B.42C.63D.84,答案,解析,-21-,规律总结,拓展演练,3.(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是.,答案,解析,-22-,规律总结,拓展演练,4.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这