高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.3双曲线学案 新人教版选修

1、23 双曲线一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议双曲线的标准方程了解1通过椭圆与双曲线的定义之间的关系， 让学生大胆猜测双曲线的标准方程 鼓励学生观察，比较， 类比， 猜想， 培养学生的理性思维能力2能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求双曲线方程双曲线的几何性质了解1与椭圆类比， 探索a， b， c， e的几何意义以及它们之间的关系2通过方程研究双曲线的几何性质， 进一步感受解析几何的基本思想直线与双曲线的位置关系了解直线与双曲线的位置关系的讨论类似于直线与椭圆的位置关系的讨论二、预习指导1预习目标(1)通过本节的学习，能熟练利用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程；(2)掌握双

2、曲线的简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点(实轴、虚轴)、渐进线和离心率等；(3)能根据双曲线的几何性质确定双曲线方程；(4)了解双曲线在实际问题中的初步应用；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法2预习提纲(1)回顾22节椭圆的相关知识，回答下列问题：椭圆的标准方程是如何建立的?椭圆有哪些几何性质?(2)阅读课本第3643页，回答下列问题：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(大于0小于F1F2)的点的轨迹叫做_，此时两定点叫做_，两定点间距离叫做_若常数等于F1F2，则点的轨迹是_焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为_，其中a，b，c的关系为

3、_；双曲线(a0，b0)上的点中，横坐标x的范围是，纵坐标y的范围是；双曲线(a0，b0)关于_对称它的对称中心叫做双曲线的_；双曲线的标准方程为(a0，b0)中，点A1(a，0)、A2(a，0)叫做_，线段A1A2叫做双曲线的_，线段B1B2(B1(0，b)、B2(0，b)叫做双曲线的_直线_叫做双曲线的_其中实轴和虚轴等长的双曲线叫做_；双曲线(a0，b0)的渐近线方程为_，双曲线的_，叫做双曲线的离心率(3)课本第37页例1、例2是双曲线及其标准方程的基本题型，采用的方法是_，若将例1条件中的“绝对值”去掉，所求方程为_?第38页例3是应用问题，思考部分同学们可以借助电脑等技术手段进行研

4、究；第42页例1介绍了求双曲线基本量的方法，若将方程改为呢?第33页例2要注意求双曲线的标准方程前，先要确定实轴所在的坐标轴3典型例题(1)双曲线的标准方程待定系数法：双曲线的标准方程有两种形式，其主要是由于坐标系的建立方式不同而引起的因此在根据题设条件求双曲线的标准方程时应注意先确定焦点的位置即方程的形式，然后用待定系数法，通过解方程或方程组得解例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点坐标为F1(0，13)，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值是24；(2)，经过点A(5，2)，且焦点在x轴上；(3)过两定点(3，)，(，5)分析： 求双曲线的标准方程需先由条件确定焦点位置(

5、若不确定则要讨论)，然后解方程或方程组得a、b解：(1)由题意设双曲线的标准方程为：(a0，b0) 2a=24， a=12 一个焦点F1(0，13)， c=13， b2=c2a2=25故所求双曲线的标准方程为：； (2)由题意设双曲线的标准方程为：(a0，b0) 双曲线经过点(5，2)， 又a=， a2=20，b2=16，故所求双曲线的标准方程为：；(3)若焦点在x轴上，则设方程为：(a0，b0) 双曲线过两定点， 解得：(舍去)若焦点在y轴上，则设方程为(a0，b0)， 双曲线过两定点， 解得：故所求双曲线方程为：点评：判断焦点在哪一条坐标轴上，不是比较x2、y2的系数的大小，而是看x2、y

6、2系数的正负号，焦点在系数为正的那条坐标轴上简记为“焦点在轴看符号”第(3)问也可以将方程设成mx2+ny2=1(mn0)的形式定义法：由双曲线定义知：平面内动点与两定点距离差的绝对值是常数，且常数大于0小于两定点间距离的轨迹才是双曲线要特别注意绝对值以及常数的范围例2 在MNG中，已知NG=4，当动点M满足条件sinGsinN=sinM时，求动点M的轨迹方程分析：求轨迹方程时，若没有直角坐标系，应先建立适当的坐标系，然后将条件坐标化解：以NG所在直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 sinGsinN=sinM， 由正弦定理得：MNMG=2 点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线

7、的右支(除去与x轴的交点) 2a=2，2c=4， a=1，c=2， b2=c2a2=3 动点M的轨迹方程是(x0且y0)点评：双曲线的定义中，|PF1PF2|=2a(02a2c)若2a=0，则P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；若2a=2c，则P的轨迹是直线F1F2去掉F1与F2之间的部分PF1=PF2=2a(02a2c)表示双曲线以F2为焦点的一支，PF1PF2=2a(02a2c)表示双曲线以F1为焦点的一支例3 某人在以AB为直径的半圆形区域内，要到P点去，他只能从半圆形区域内先到A点，再沿AP到达P点，或先到B点，再沿BP到达P点，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，问怎

8、样走最近?分析：本题是一道关于几何建模的应用题，关键是在区域内确定是先往A还是先往B的分界线“最近”的数学语言是；到P点距离最近半圆内的点有三类：沿AP到P近；沿BP到P近；沿BP、AP到P等距其中类点集是第类与第类点集(分界线)解：设M是分界线上一点，则：MA+AP=MB+BP即MAMB=BPAP=50故M点在以A、B为焦点的双曲线的左支上在APB中，AP=100，BP=1500，APB=60o故：AB2=17500以AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则双曲线弧：=1(x25)故当某人在分界线右侧时，沿BP走最近；当某人在分界线左侧时，沿AP走最近；当某人在分界线上时，沿AP

9、、BP一样近点评：解决实际应用问题，关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，用数学的观点和方法来处理利用定义求焦半径的长、曲线上一点与两焦点构成的三角形的周长、面积、角度等例4 设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=900，求：(1)F1PF2的周长；(2)F1PF2的面积分析：曲线上的点与两焦点构成的三角形的边长、面积等问题常利用曲线的定义 解： 点P在双曲线上 |PF1PF2|=4在F1PF2中，F1F22=PF12+PF222PF1PF2cosF1PF2 F1PF2=900，且F1F2= PF12+PF22=32解方程组得：或 (1) (2)故F1PF2的周长

10、为，面积为4点评：双曲线上一点与两焦点构成的三角形的问题，常利用正弦定理、余弦定理结合双曲线的定义来处理(2)双曲线的几何性质已知双曲线方程得几何性质：化标准式例5 分别求下列双曲线的离心率与渐近线方程：(1)16x29y2=144；(2)3x2y2=3分析：由双曲线的标准方程求描述双曲线几何性质的量时，常先化方程为标准式，并写出基本量a、b、c，然后求得所需解：(1)原方程化为： 则a=3，b=4，c=5， 渐近线方程为： (2)原方程化为：则，b=1，c=2， 渐近线方程为：点评：双曲线的离心率跟a、c有关，故只需化方程为标准式到离心率定义即可由双曲线方程求渐近线方程时可以不将方程化标准式

11、，只需将方程中的常数项换成0即得，如双曲线(a0，b0)，将方程中常数项1换成0即得渐近线方程为：，即本题中只需分别将144和3均换成0即得渐近线方程：和已知双曲线的几何性质求标准方程：定型，定a、b 例6 分别求下列双曲线的标准方程：(1)一个顶点是A(5，0)，离心率为；(2)过点M(5，3)，离心率；(3)一个焦点是F(6，0)，一条渐近线为；(4)焦距是10，虚轴长为8分析：由条件求双曲线的标准方程常用待定系数法，用待定系数法时首先需由条件判定焦点所在轴，即方程的形式，若不能判断，则需要讨论焦点位置，其次是求a、b，求a、b时注意利用恒等式：c2=a2+b2解：(1)由题意焦点在x轴上

12、，故可设双曲线的标准方程为：(a0，b0)则 一个顶点A(5，0)， a=5 ， c=6又b2=c2a2， b2=11故双曲线的标准方程为： (2)若焦点在x轴上，设方程为：(a0，b0)则 ， 又b2=c2a2， b=a 双曲线过点M(5，3)， 解方程组得：a2=b2=16故双曲线的标准方程为：x2y2=16若焦点在y轴上，设方程为：(a0，b0)则同理有：b=a， a2=b2=16(舍去)， 双曲线的标准方程为：x2y2=16(3)法一：由题意焦点在x轴上，故设方程为：(a0，b0)则由题设解得：故双曲的标准方程为：法二： 是一条渐近线 双曲线的渐近线为：， 设双曲线方程为：2x2y2=

13、(0)即 (6，0)是它的一个焦点， ，即=24故双曲线的标准方程为：(4)若焦点在x轴上，设方程为：(a0，b0)由题意：2c=10，2b=8， b=4，c=5又a2=c2b2， a2=9， 双曲线的标准方程为：若焦点在y轴上，则同理有：a2=9，b2=16，即方程为：故双曲线的标准方程为：或点评：由题设条件求双曲线的标准方程时，若条件与焦点、顶点等有关，则方程形式确定；若条件与实轴长、虚轴长、焦距、离心率等有关，则方程形式不定，需分类讨论，但不是简单的交换在题设条件中，若出现渐近线方程，则经常采用题(3)法二的处理方法来进行一般地，双曲线(a0，b0)渐近线相同的双曲线方程为：(0)若0，

14、则与已知双曲线焦点所在轴相同；若0，则与已知双曲线焦点所在轴不同特别地=0时，则为双曲线的渐近线(3)直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系问题常联立两曲线方程，消元转化为关于x或y的方程，利用判别式、韦达定理、点差等方法来处理已知直线和双曲线相交，求弦的中点、弦长、范围等问题：联立方程，利用韦达定理、弦长及式结合判别式解决，若直线过焦点，则可利用定义；由已知条件求直线方程或双曲线方程：将条件转化为字母的方程或方程组，解方程或方程组即可例7 直线y=ax+1与双曲线3x2y2=1相交于A、B两点(1)当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上?当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上

15、?(2)当a为何值时，以AB为直径的圆过原点分析：将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理处理解：由得：(3a2)x22ax2=0(*) 直线与双曲线交于A、B两点 即：过设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则，(1)若A、B位于双曲线的两支上，则 若A、B位于双曲线的同一支上，则 或(2) 以AB为直径的圆过原点， x1x2+y1y2=0 又y1=ax1+1，y2=ax2+1， (a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0 ， a2=1，即：a=1，满足 故当a=1时，以AB为直径的圆过原点点评：直线与双曲线的交点个数问题，常通过联立方程将问题转化为方程的根的个数问题若直线与双曲线有一个

16、交点，则有两种可能情形：一是直线和双曲线相切；二是平行于渐近线若直线与双曲线有两个交点，两点可能位于双曲线的同一支上，也可能位于双曲线的两支上，此时可利用方程的根的符号来解决但却必须注意方程的最高次项系数可能为0的情形例8 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OPOQ且PQ=4，求双曲线方程 分析：设双曲线方程，将OPOQ和PQ=4转化为变量的方程组，解方程组即可解：设双曲线方程为：(a，b0)右焦点F(c，0)P(x1，y1)、Q(x2，y2)则PQ：由得：(5b23a2)x2+6a2cx3a2c25a2b2=0(*)则： OPOQ，

17、x1x2+y1y2=0 y1y2=(x1c)(x2c)， 8x1x23c(x1+x2)+3c2=0， 8a2b2=3b2c23a2c2即：3b48a2b23a4=0， (b23a2)(3b2+a2)=0， b2=3a2 c2=a2+b2， c=2a， 方程(*)化为：4x2+4ax9a2=0，且x1+x2=a，x1x2=a2 PQ=4， 即a2=1，b2=3，检验知：0，故双曲线方程为：点评：解析几何问题处理的基本方法是代数化，在代数化过程中应注意处理条件的灵活性，本题若直接将“PQ=4”代数化，则计算较烦且容易出错因此在处理直线与曲线位置关系时，一是选择恰当的方程形式，如本题中双曲线方程可设

18、为mx2ny2=1(m0，n0)，以简化方程；二是注意条件的灵活处理，本题先由“OPOQ”得出a、b间关系，然后再利用“PQ=4”求a、b，大大简化了计算过程和计算量4 自我检测(1)若动点P到点F1(3，0)、F2(3，0)的距离的差的绝对值为4，则动点P的轨迹方程是_(2) 若动点P到点F1(0，2)、F2(0，2)的距离之差为2，则动点P的轨迹方程是_ (3)双曲线的离心率为，则实数k的值为_(4)若双曲线的实轴长与虚轴长之比为，则双曲线的离心率为_(5)实轴长为6，一条渐近线方程是3x+2y=0的双曲线的标准方程为_三、课后巩固练习A组1方程，化简结果是_2在双曲线的标准方程中，已知a

19、=6，b=8，则其方程是_3焦点分别是(0，2)、(0，2)，且经过点P(3，2)的双曲线的标准方程是_4已知F1(，0)、F2(，0)，若PF1PF2=6，则P点的轨迹方程是_；若PF1PF2=，则P点的轨迹方程是_5双曲线的焦距是_6双曲线的焦点坐标为_7过点(1，1)且的双曲线的标准方程为_8若P是以F1、F2为焦点的双曲线上的一点，且PF1=12，则PF2=_9设P是双曲线上一点，分别是双曲线的两个焦点若，则 等于_ 10双曲线(a0，b0)，过焦点F1的弦AB长为m，另一焦点为F2，则ABF2的周长为_ 11已知动点P满足PAPB=8，A(0，5)、B(0，5)，则P的轨迹方程为_1

20、2双曲线的实轴长为_，虚轴长为_，渐近线方程为_，离心率为_13双曲线的渐近线方程是_ 14双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的倾斜角分别是_ 15双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_16离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它渐近线方程是_17中心在原点，一个顶点为A(3，0)，离心率为的双曲线方程是_18以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是_ 19已知双曲线C：-=1的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为_20中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y+12=0上的等轴双曲线方程是 _21求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点为F1(，0)、

21、F2(，0)，a+b=5；(2)焦点在y轴上，焦距为8，且经过点M(，6)22求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点A(2，5)；(2)经过点M(，)、N(，)23求与双曲线有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程24双曲线C1与椭圆C2：有公共的焦点，且双曲线C1经过M(4，)，试求双曲线C1的方程25求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程26求焦点在坐标轴上，过点M(3，4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线的标准方程27与双曲线有共同的渐近线，且经过点M(3，2)的双曲线方程为_28焦点为(0，6)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为_29求与双曲线有共同渐近

22、线且焦距为12的双曲线的标准方程30已知双曲线的离心率为2，且经过点M(2，3)，求双曲线的标准方程B组31已知方程表示双曲线，则k的取值范围是_32双曲线2kx2ky2=1的一个焦点是F(0，4)，则k的值为_33在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 _34已知为双曲线的左右焦点，点在上，则_ 35已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2的平分线则|AF2| =_ 36设椭圆和双曲线的公共焦点分别是，P是两个曲线的一个交点，则的值为_ 37设F1、F2是双曲线的两个焦点，且F1F2=18，过F1的直线交双曲线的同一支于M、N两点

23、，若MN=10，MF2N的周长为48，则满足条件的双曲线的标准方程是_38过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦PQ，是左焦点，若，则双曲线的离心率为 39设双曲线的个焦点为F，虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 40过双曲线(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是_41双曲线上有动点P，F1、F2是曲线的两个焦点，求PF1F2的重心M的轨迹方程42求过点E(5，0)且与圆F：(x+5)2+y2=36外切的圆的圆心轨迹43与两定圆(x+5)2+y2=49，(x5)2+y2=1

24、都外切的动圆圆心的轨迹方程是_ 44过双曲线x2y2=a2的中心作直线l与双曲线交于两点，则直线l的倾斜角的范围 为_45直线与双曲线的交点个数是_46过点(0，3)作直线l，若l与双曲线只有一个公共点，这样的直线共l有_条47已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为，则的方程式为_48直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支交于两个不同的点，则实数k的取值范围是_49双曲线的焦点为，弦AB过且两端点在双曲线的一支上，若，则=_50直线l过双曲线的右焦点，斜率k=2，若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是_51已知双曲线C：y

25、21，P是C上的任意点(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值52如图，是双曲线C的两焦点，直线是双曲线C的右准线，A1, A2双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P、A2P交双曲线C的右准线分别于M, N两点(1) 求双曲线C的方程；(2) 求证: 是定值53过P(8，1)的直线与双曲线x24y2=1相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，求直线的方程54已知点，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值是2，点C的轨迹与直线y=x2交于D、E两点，求线段DE的长55求两条渐进线为x+2y=0和x

26、2y=0且截直线xy3=0所得的弦长为的双曲线的标准方程C组A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x56设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是 57如图，双曲线的两顶点为、，虚轴两端点为、，两焦点为、若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为则(1)双曲线的离心率_；(2)菱形的面积与矩形的面积的比值_58已知曲线C：x2y2=1及直线l：y=kx1(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值59已知双曲线(1)求与双曲线有相同的焦点

27、，且过点的双曲线的标准方程；(2)直线分别交双曲线的两条渐近线于两点当时，求实数m的值60已知F1、F2是双曲线的两个焦点，双曲线上一点P满足PF1PF2= F1F22，且PF24，求双曲线的方程61直线过点（0，2），交双曲线于两点，且，求直线的方程62直线：axy1=0与曲线：相交于P、Q两点(1)当实数a为何值时，?(2)是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由知识点题号注意点求双曲线的标准方程14，7，11，1730注意焦点位置，灵活应用定义判断轨迹从而求轨迹方程双曲线定义的应用810，3437注意双曲线焦半径的取值范围定义法求轨迹方程4143注意轨迹是双曲线的一支还是两支双曲线