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1、2020/9/17,1,第2章 线性离散系统 的数学描述和分析方法,信号变换理论 线性离散系统的数学描述方法 线性离散系统的Z变换分析法 脉冲传递函数 线性离散系统的性能分析,本章主要内容,2020/9/17,2,21 信号变换理论,1. 连续信号的采样和量化,图1 采样过程,采样过程,2020/9/17,3,在计算机控制系统中，采样信号 是一数字序列，可分解成一系列单脉冲之和。,式中， 为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 ； 为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 ； 为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 。,则：,只有在 时刻，才有 ，而在的所有 时刻，都有 。,。,2020/9/17,4,图2 对单位脉冲

2、序列的调制,可以解释为连续时间信号 被理想单位脉冲 做了离散时间调制。,因此：,2020/9/17,5,量化过程,图3 量化过程,所谓量化，就是采用一组数码（如二进制码）来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。这个经量化使采样信号成为数字信号的过程称为量化过程。,2020/9/17,6,2020/9/17,7,为保证采样信号的频谱是被采样信号的频谱无重叠的重复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映被采样信号的变化规律，采样频率 至少应是 的频谱 的最高频率 的两倍，即,采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。因此，采样定理给出了选择频率的

3、准则，在实际应用中还要根据系统的实际情况综合考虑。,采样定理,2020/9/17,8,2020/9/17,9,22 线性离散系统的数学描述方法,1. 差分方程,线性离散系统的差分方程,图6 连续系统和离散系统,（a）连续系统 （b）离散系统,2020/9/17,10,2 . 差分方程的求解,例1 已知一个数字系统的差分方程为,输入信号,初始条件,，试求解差分方程。,，代入差分方程，得,解：令：,2020/9/17,11,23 线性离散系统的Z变换分析法,1 . Z变换,对上式取拉氏变换：,令：,则：,2020/9/17,12,（1）只有采样函数 才能定义Z变换；,注意：,（2）比较下面两式,中

4、，,决定幅值，,决定时间。,（3）Z变换是由采样函数决 定的，它反映不了非采样时 刻的信息。,图7 采样值相同连续函数不同,2020/9/17,13,2020/9/17,14,例3 已知,，求F（z）。,解:,部分分式法,2020/9/17,15,已知，具有N个不同的极点，有 个重极点（ =1，为单极点），则,，求 。,例4 已知,解:,，,留数法,若,2020/9/17,16,2. Z反变换,长除法,例5 用长除法求函数 的Z反变换。,解：,2020/9/17,17,部分分式法,例6 用部分分式法求 的Z反变换。,解：,（查表21 ）,2020/9/17,18,留数计算法,例7 用留数计算法

5、求 的Z反变换。,根据留数定理,2020/9/17,19,3.用变换解差分方程,用变换求解差分方程主要用到变换的平移定理。,例8 用Z变换解下列差分方程：,初始条件为：,解：,对上式进行Z变换得,由线性定理:,由超前定理:,2020/9/17,20,查表得,为了书写方便，通常将 写成 。,代入初始条件，解得,2020/9/17,21,24 脉冲传递函数,图8 单输入单输出离散系统的方框图,为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来获得输出信号的采样信号。,1. 脉冲传递函数,2020/9/17,22,脉冲传递函数与差分方程的相互转换,，,若已知

6、n 阶离散系统的差分方程是,在零初始条件下，进行Z变换,得脉冲传递函数为,2020/9/17,23,2. 离散系统方框图的变换,开环脉冲传递函数,图9 串联环节框图的两种形式,（a）两环节间有采样开关,（b）两环节间无采样开关,（a）,（b）,通常,2020/9/17,24,闭环脉冲传递函数,例9 求图所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数。,图10 典型计算机控制系统,解：,2020/9/17,25,25 线性离散系统的稳定性分析,闭环脉冲传递函数的所有极点位于Z平面的单位圆内。 在单位圆上有重极点或者在单位圆外有一个以上的极点，系统是不稳定的； 在单位圆上有一对复数极点或一个实极点，系统

7、是临界稳定的。,线性定常离散系统是渐近稳定的充分必要条件是：,2020/9/17,26,朱利（Jury）稳定性判据,朱利稳定性判据可以根据系统的特征方程的系数判断系统的稳定性。,设离散系统的特征多项式为,其中， 为实数，通常取 。,构造朱利表,其中：,2020/9/17,27,朱利表,*直到表中的同一行中只有三个元素时为止。偶数行的元素是奇数行元素的倒置。,2020/9/17,28,多项式 所有根都在Z平面单位圆内的充分必要条件是：,（1）,（2）,（3）,（4）,2020/9/17,29,例10 已知二阶离散系统特征多项式为 试确定使系统渐近稳定的K值范围。 解：系统渐近稳定的条件是,，,系

8、统渐近稳定的K值是,2020/9/17,30,26 线性离散系统的稳态误差分析,离散系统的采样时刻的稳态误差,假设所有的极点都在平面单位圆内，根据终值定理，系统的稳态误差为,图11 离散控制系统,2020/9/17,31,当离散系统的结构和参数已知时，在输入信号给定的情况下，得到输出量的 变换 ，经过 反变换，就能得到系统输出的时间序列 。根据过渡过程曲线，可以分析系统的动态特性如 、 等。,27 线性离散系统的动态响应分析,1已知离散系统的结构和参数，分析系统的动态响应特性,2020/9/17,32,例11 如图所示的线性离散系统，输入为单位阶跃序列。试分析系统的过渡过程。（其中： ）,解： 被控对象脉冲传递函数,代入已知参数，可得系统闭环脉冲传递函数,图12 例11图,202