高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例学案（含解析）新人教A版必修

1、25 平面向量应用举例导入新知1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中(3)动量mv是向量的数乘运算(4)功是力F与位移s的数量积化解疑难向量法在平面几何中的应用用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底

2、表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法平面几何中的垂直问题例1如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.证明设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.类题通法利用向量解决垂直问题对于线段的垂直问题，可以

3、联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式活学活用如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点求证：AFDE(利用向量证明)证明：设a，b，则ab，ba，b2a2ab.又，且|，a2b2，ab0，0，即AFDE.平面几何中的长度问题例2已知RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDAB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)解(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B

4、(n,0)D为AB的中点，D，|，|，|，即CDAB.(2)E为CD的中点，E，设F(x,0)，则，(x，m)A，E，F三点共线，.即(x，m).则故，即x，F.|，即AF.类题通法利用向量法解决长度问题向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a|.活学活用如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长答案：向量在物理中的应用例3在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘

5、船的航行速度的大小与方向解如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作ABCD，则就是船的航行速度|4，|12，|8，tanACB，CADACB30，BAD120.即船的航行速度为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120.类题通法利用向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题活学活用已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数0.02 的水平面上运

6、动了20 m求力F和摩擦力f所做的功分别为多少(g取10 m/s2)答案：F和f所做的功分别为500 J和22 J典例已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_心解析由原等式得()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心答案重多维探究探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即可上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题，另外与三角形的内心、外心、垂心有关的问题也是各类考试常涉及的问题活学活用1若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的

7、_心答案：内2若动点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的_心答案：垂3若动点P满足，(0，), 则动点P的轨迹一定通过ABC的_心答案：外随堂即时演练1人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()Av1v2Bv1v2C|v1|v2| D.答案：B2.如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，则等于()A. B.C2 D3答案：B3若菱形ABCD的边长为2，则|_.答案：24某物体做斜抛运动，初速度|v0|10 m/s，与水平方向成60角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是_m/s.答案：55已知平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AEFC

8、AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形证明：设a，b，则aba，bba，所以，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形课时达标检测一、选择题1若向量(1,1)，(3，2)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A.B2C. D.答案：C2设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为两边的三角形的面积C以a，b为两边的三角形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积答案：A3两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90时，合力大小为20 N，

9、则当它们的夹角为120时，合力大小为()A40 N B10 NC20 N D10 N答案：B4已知ABC满足2，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形答案：C5ABC中，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，则()A0 B0C D答案：B二、填空题6平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_答案：y28x7已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|，则_.答案：8用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.答案：10三、解答题9如图所示，若D是ABC内的一点，且AB2AC2D

10、B2DC2，求证：ADBC.证明：设a，b，e，c，d，则aec，bed，所以a2b2(ec)2(ed)2c22ec2edd2.由已知可得a2b2c2d2，所以c22ec2edd2c2d2，所以e(cd)0.因为dc，所以e(dc)0，所以，即ADBC.10如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)解：如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45角，BG与铅直方向成60角设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，EGC60，EGD45，则有|Fa|cos 45|Fb|cos 60|G|100，且|Fa|sin 45|Fb|sin 60.由解得|Fa|15050，A处所受力的大小为(15050)