上海市松江区2016届高考数学一模试卷(理科)

1、2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知全集U=1，2，3，4，A是U的子集，满足A1，2，3=2，A1，2，3=U，则集合A=2若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是3行列式的值是4若幂函数f（x）的图象过点，则f1（2）=5若等比数列an满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=6若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2=7如图所示的程序框图，输出的

2、结果是8将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为9一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为11若（13x）7展开式的第4项为280，则=12已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B若，则k=13已知正六边形A1A2A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为i（i=1，2，6

3、），若将1，2，6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为14已知函数f（x），对任意的x1，+），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x1，2）时，f（x）=2x则方程在区间1，100上所有根的和为二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）ABCD16设a，bR，则“|a|b”是“ab”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件17已知点E、F分别是

4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A0条 B1条 C2条D无数条18在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”已知数列1，2第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A88572B88575C29523D29526三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，在三棱锥PABC中，PA平

5、面ABC，ACAB，AP=BC=4，ABC=30，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥PABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为，求tan的值20已知函数（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离21在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）将y表示为x的函数；（1）若x4，8，

6、求总用氧量y的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足又曲线E上的点A、B满足OAOB（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值23对于数列an，称（其中k2，kN）为数列an的前k项“波动均值”若对任意的k2，kN，都有P（ak+1）P（ak），则称数列an为“趋稳数列”（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列bn的公比q（0，1），求证：bn是“趋稳数列”；（3）已知数列an的首项为1，各项均为整数，前k项的和

7、为Sk且对任意k2，kN，都有3P（Sk）=2P（ak），试计算：（n2，nN）2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知全集U=1，2，3，4，A是U的子集，满足A1，2，3=2，A1，2，3=U，则集合A=2，4【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】全集U和其子集A、B都是用列举法给出的，且都含有几个元素，直接运用交、并的概念即可解答【解答】解：全集U=1，2，3，4，A是U的子集，满足A1，2，3=2，A1，

8、2，3=U，A=2，4，故答案为：2，4【点评】本题考查了交、并混合运算，是概念题2若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算【专题】计算题【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可【解答】解：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a24即a23可得 a故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题3行列式的值是【考点】二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；矩阵和变换【分析】利用二阶行列式展开法则和余弦加法定理求解【解答】

9、解：=cos20cos40sin20sin40=cos（20+40）=cos60=故答案为：【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则和余弦加法定理的合理运用4若幂函数f（x）的图象过点，则f1（2）=【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由题意知f（2）=2=，从而可得f（x）=，f1（x）=，从而解得【解答】解：幂函数f（x）的图象过点，f（2）=2=，解得，=，故f（x）=，f1（x）=，f1（2）=；故答案为：【点评】本题考查了幂函数的应用及反函数的应用5若等比数列an满足a1+a3=5，

10、且公比q=2，则a3+a5=20【考点】等比数列的通项公式【专题】转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出【解答】解：a3+a5=q2（a1+a3）=225=20，故答案为：20【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2=3：2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案【解答】解：由题意可得：圆柱

11、的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6，球的表面积为：S2=4所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2故答案为：3：2【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题7如图所示的程序框图，输出的结果是15【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】根据已知的程序框图可得该程序的功能是利用循环计算出输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，b=1满足条件a3，b=3，a=2满足条件a3，b=7，a=3满足条件a3，b=15，a=4不

12、满足条件a3，退出循环，输出b的值为15故答案为：15【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题8将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】阅读型【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析

13、式为y=sin4x故答案为：y=sin4x【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题9一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为【考点】相互独立事件的概率乘法公式【专题】概率与统计【分析】从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，恰好有1只是白球的概率P=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事

14、件概率计算公式的合理运用10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA= 的值【解答】解：在ABC中，bc=a ，2sinB=3sinC，2b=3c ，由可得a=2c，b=再由余弦定理可得 cosA=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题11若（13x）7展开式的第4项为280，则=【考点】二项式系数的性质；极限及其运算【专题】对应思想；转化法；二项式定理【分析】根据二项式展开式的第4项求出

15、x的值，再利用等比数列的前n项和求极限【解答】解：（13x）7展开式的第4项为280，T4=（3x）3=2735x3=280；x3=，解得x=；=故答案为：【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目12已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B若，则k=【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出B的坐标，即可求出直线的斜率【解答】解：由题意，M到准线的距离为2，B的横坐标为2，代入抛物线C：y2=4x，可得y=2，B的坐标为（2，2

16、），k=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础13已知正六边形A1A2A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为i（i=1，2，6），若将1，2，6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为【考点】等差数列的通项公式【专题】数形结合；转化思想；等差数列与等比数列【分析】设点P位于弧上时，设POA1=，当时，则1=，2=，3=，4=，5=，6=将1，2，6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，利用等差数列的性质即可得出【解答】解：设点P位于弧上时，设POA1=，当时，则1=，2=，3=，4=，5=，6=将1，2，6从小到大重新排列后恰好组

17、成等差数列，由2（）=+，解得=，此时六个角分别为：，成等差数列，则该等差数列的第3项为其它情况类比可得故答案为：【点评】本题考查了向量的夹角、等差数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、类比推理与计算能力，属于中档题14已知函数f（x），对任意的x1，+），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x1，2）时，f（x）=2x则方程在区间1，100上所有根的和为【考点】函数恒成立问题【专题】新定义；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数所给的性质可分别求出不同区间对应的函数表达式：当x2n，2n+1），f（x）=2n+1x，在不同区间分别求在区间1，100上的跟即可【解答】解：当x1，2）时

18、，f（x）=2x，设x2，4）时，则1，2），f（x）=f（2）=2f（）=4x，同理可得当x2n，2n+1），f（x）=2n+1x，则方程在区间1，100上所有根分别为：，3，6，12，24，48，96，所有根的和为【点评】考查了新定义类型函数的应用，难点是对题意的分析二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）ABCD【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定

19、义、性质与方程【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得m+5=9，求出m=4，由此能求出双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线y2=12x的焦点为（3，0），双曲线的一个焦点为（3，0），即c=3双曲线可得m+5=9，m=4，双曲线的渐近线方程为：故选：A【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查16设a，bR，则“|a|b”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】“|a|b”ab或ab

20、“ab”“|a|b”，正确，由于|a|a，可得|a|b反之不成立，例如取a=3，b=2，虽然|a|b，但是32不成立【解答】解：“|a|b”ab或ab，“ab”“|a|b”，|a|a，|a|b反之不成立，例如取a=3，b=2，虽然|a|b，但是32不成立“|a|b”是“ab”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17已知点E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A0条B1条C2条D无数条【考点】空间中直线与平面

21、之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】取BB1的中点H，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GNFH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM平面ABCD，NG平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FHC1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GNFH，交C1F于N，

22、连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OHKB，由于GMHO，HOKB，KB平面ABCD，GM平面ABCD，所以GM平面ABCD，同理由NGFH，可推得NG平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG平面ABCD，则MN平面ABCD由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条故选：D【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力18在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”已知数列1，2第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后

23、得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A88572B88575C29523D29526【考点】数列的求和【专题】计算题；运动思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】通过分析前几次中每次“H扩展”后增加的项的和，得出规律：第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论【解答】解：由题意可知，第1次“H扩展”后增加的项的和为3，第2次“H扩展”后增加的项的和为4+5=9，第3次“H扩展”后增加的项的和为5+7+8+7=27，第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，第n次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为1+2+3+32+3n=2

24、+=3n+1+，于是所求值为311+=88575，故选：B【点评】本题考查数列的求和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACAB，AP=BC=4，ABC=30，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥PABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为，求tan的值【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；空间角【分析】（1）三棱锥PABC中，由PA平面ABC，ACAB，AP=BC=4，A

25、BC=30，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥PABC的体积（2）取AC中点F，连接DF，EF，则ABDF，所以EDF就是异面直线AB与ED所成的角，由此能求出tan【解答】解：（1）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACAB，AP=BC=4，ABC=30，D、E分别是BC、AP的中点，AC=2，AB=2，所以，体积VPABC=PA=（2）取AC中点F，连接DF，EF，则ABDF，所以EDF就是异面直线AB与ED所成的角由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，ABEF，DFEF在RtEFD中，DF=，EF=，所以，tan=【点评】本题考查三棱锥的体积

26、的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用20已知函数（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域（2）令，求得x的值，可得结论【解答】解：（1）f（x）=，当时，所以f（x）的值域为（2）令，故或，kZ，当函数y=f（x）的图象和直线 y=1时的两交点的最短距离为【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，

27、属于基础题21在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升（1）将y表示为x的函数；（1）若x4，8，求总用氧量y的取值范围【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x4，8可知在4，6上单调递减、在

28、6，8上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，整理得：（x0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x4，8，所以在4，6上单调递减、在6，8上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题22在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足又曲线E上的点A、B满足OAOB（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，

29、且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值【考点】轨迹方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k0），则直线OB的方程为，与椭圆方程联立，由知4|OA|2=3|OB|2，即可求点A的坐标；（3）分类讨论，设直线AB的方程x=my+b，与椭圆方程联立，求出原点到直线AB的距离，即可证明原点到直线AB的距离为定值【解答】（1）解：由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，设其方程为，则有，曲线E的方程为（2）解：设直线OA的方程为y=kx（k0），则直线OB的方程为由得2x2+3k2x2=6，解得同理，由则解得由知4|OA|2=3|OB|2，即解得k2=6，因点A在第一象限，故，此时点A的坐标为（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OAOB知A、B两点之一为y=x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x=my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b26=0由x1x2+y1y2=0得（my1+b）（my2+b）+y