几何中的尺规作图法

1、第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明。意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法；学以致用；为制图学提供理论基础；培养逻辑思维能力。二、作图公法（1） 通过两个已知点可作一直线；（2） 已知圆心和半径作圆；（3） 若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。上面三条叫作图公法。若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作

2、图，叫做作图成法。它可以在以后的作图中直接应用。下面列举一些：（1）任意延长已知线段。（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。（6）作已知线段的中点。（7）作已知线段的垂直平分线。（8）作已知角的平分线。（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。（11）已知边长作正方形。（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。（14）过圆上或圆外一点作圆

3、的切线。（15）作两已知圆的内、外公切线。（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。（20）作已知三线段的第四比例项。（21）作已知两线段的比例中项。（22）已知线段作一线段为，或作一线段为。四、解作图题的步骤分析：遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。这个过程就是分析，是解题重要的一步。作法：利用已知作图题时，只需说明清楚，不必一一累述。证明：证所作图确实具有所设条件。

4、讨论：作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系。尺规作图法举例一、交轨法一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件和，如果能求出合于条件的轨迹和合于条件的轨迹，那么和的交点同时满足和，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。决定某一点的轨迹有若干个，选择熟知的和简易的。例1在已知弧上求一点M，使弦的比为。分析：设点M已求到，满足，则点M既在弧上，又在一个阿氏圆上，内分、外分AB于C、D，使，阿氏圆是以CD为直径的圆。作法：如分析过程定出C、D两点，以CD为直径作圆，它与相交于所求点M。图形略。证明：略（阿氏圆的性质知显然）讨论：本题恒

5、有一解。（C在圆内而D在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径CD的另一侧，不在上）。解法二：由角平分线性质知，AMB的平分线MN必过C点，故不必作阿氏圆，只要定出C和N即可，而N为的中点，作AB的中垂线即可。如下图所示。例2已知ABC的底边，顶角A以及余二边的平方和，求作这三角形。分析：如图，设ABC已作成，且。任作后，A的一个轨迹是以BC为弦而内接角等于的圆弧。若以M表示BC的中点，则（斯特瓦尔特定理）即A点的另一轨迹是以M为圆心，半径为的圆周，因而A点定。作法：作线段，在BC上作内接角等于的圆弧；作；圆与圆弧的交点为所求的A点。证明：略。讨论：显然，否则无意义；若A为锐角，当时，

6、与圆弧有两交点A与，但，只算作一解；否则无解。若A为钝角，当时有一解，否则无解。若A为直角，a=k时显然有无穷多解，当ak时无解。二、三角形奠基法作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠定全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形。该方法称为三角形奠基法。例3已知的三中线的长度，求作该三角形。分析：设已作出，为重心，图中无奠基的三角形。延长到, 使，则三边已知，各为中线长的。作法：作，使，作的中点，并延长到使。延长至使，则即所求者。证明：由作法，是的中点，因而是的中线。由于，是的重心，并且，以、表、的中点，由于是重心，则，所以合于条件。讨论：本题有无解，取决于是否存在，存在

7、的条件是：，.故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。例4已知ABC的，求作该三角形。分析：ABC若已作成，高，角平分线，中线.和都可作出，取为基础三角形，设AT交外接圆于P，则P为的中点，P可由AT及MH在M点的垂线相交决定。然后定圆心O，O在PM上，也在AP的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B、C。作法：作直角，使，.在射线HM上作T点使，过M作HM的垂线与直线AT相交于P。作AP的中垂线交PM于O。以O为中心，以OA为半径作圆，设其交直线HM于B及C，则即所求。证明：因O在AP的中垂线上，则OPOA，从而P是的中点，从而AM是的中线，而AP是的平分线。可见中，有高，中线，平分角

8、线，即合于所设条件。讨论： 当三者有两个相等时，ABC为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若都相等便成不定问题，有无穷多解。 当互不相等时，解要存在，则AMH存在且P存在，并且P和A落在HM的异侧（若，则P与A落在MH同侧），才能保证B、C存在，要保证这些事项，则必有T介于H和M之间，有解的条件是：.例5求作ABC，已知.分析：设ABC已作出，G为重心，由重心的性质知，从而，BCG可作。证明：略（关键是证G为重心，连AG交BC于点F，证明N是中点）讨论：ABC能否作出决定于BCG能否作出。显然，且，即且时有一解，否则无解。三、合同变换法将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新

9、旧位置关系发现作图的方法。常用的有对称变换、平移变换和旋转变换。例6求作ABC，已知，两底角之差. 分析：ABC已作出，先作，由于，故A点的一个轨迹是BC的一条平行线XY。现为了把表示在图形上，延长BA到E，作C关于XY的对称点D，则，从而A的另一轨迹是以BD为弦内接角等于的弓形弧。作法证明：略。讨论：以BD为弦内接角等于的弓形弧的对称弧交XY于一点，但中，不符合条件，故本题只有一解。例7给定两平行线及和它们外侧各一点A、B（如下图），求自A至B的最短路线，使介于、间的部分与定直线平行。分析：在、上任取点、满足，最短在于最短。现，C为定点（实际上，），且.则Y定，进而X定。X、Y为所求。作法：

10、略。证明：略。讨论：本题恒有一解。例8给定ABC，求作一直线平行于BC，交AB、AC于D、E，使ADEC.分析：如图，将，则，所以AF为的平分线。由F定D，然后定E即可。恒有一解。作法：由分析作法显然。证明：略。例9给三平行线，求以上一定点A为顶点作正三角形ABC，使余二点分别落在、上。分析：设ABC已作好，作，这时，旋转为，与的交点为，进而可定B。作法：作于H，作且，过作，交于点，再作，使与有相同转向，B是直线AB与的交点。证明：只要证明ABAC就足以保证是正三角形。由于，立刻推出。所以两个直角三角形和有一直角边及一锐角对应相等，因而合同。所以ABAC。讨论：由于或，所以有两解。四、代数分析

11、法有的作图题，解题的关键在于一条线段的算出，这时可借助于代数计算求得该线段，此方法叫代数分析法。例10求作一圆，使通过两定点A、B并切于已知直线。分析：如图，关键在于确定切点T的位置，如能定，过A、B、T三点的圆就为所求。设AB与交于，则，即是线段OA、OB的比例中项，即T可确定，进而圆可定。作法：如分析所作，见下图1。证明：略。讨论： 直线AB与交于一点且A、B在的同侧时，有二解，如图1。 或A、B之一在上时，有一解如图2和3。 A、B在的异侧时无解。例11求作一直线平行于梯形的底边，且平分该面积。分析：设图已作成，设AB交CD于O，则，由此，又，所以.故E点定。作法：如图。证明：略。讨论：

12、恒有一解。尺规作图可能性的判断一、判断准则任何能用尺规完成的图形，归结为三条作图公理的有限次组合，即由一些点作直线、作圆，再由直线和圆产生新点。在直角坐标系中，这些新点的坐标由方程或或三种不同组合组成的方程组的解。而方程组的解是通过方程系数之间的加、减、乘、除、开平方运算得来的，故得尺规作图准则为：定理：一个作图题中所求线段，可由一次齐次式表示，则能由尺规作出F仅含关于已知线段的有限次加、减、乘、除、开平方运算，并且F在定义域中能取实值。二、几个古典几何作图题1倍立方问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的2倍。设已知立方体棱长为，求作的立方体的棱长为，则，惟一的实根为，不可能由经

13、过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。不能由尺规作出。2三等分任意角问题：设是任一角，求，使.由三倍角公式，令，则方程化为（已知）不妨取，这时，方程为，此方程无有理根，故不可能分解为以有理数为系数的两因式之积。不能由尺规作出。3化圆为方问题：求作一正方形，使面积等于已知圆的面积。设已知圆为单位圆，正方形的边长为，则，为超越数，故不能作出。4作圆内接正多边形正多边形的尺规作图，归结为方程的n次本原单位根的尺规作图问题。（如果某一个n次单位根的各次幂可得出所有n次单位根，这样的n次单位根叫做本原单位根。如三次单位根中，可见为本原单位根；同理也是本原单位根，但不是。）在n次单位根中，必是n次本原单位根。定理：圆内接正边形可用尺规作图（的素数或者为1，）。当可作正n边形有24种，；.例12十等分圆周（黄金分割，即内外比）分析：设半径为R，正十边形边长为，AB为其中一边，如下图1。显然，BC平分角ABO，则，又由得，称点C将线段OA分成外内比或黄金分割，即全线段与长部分的比等于长部分与短部分的比。圆内接正十边形的边长是将半径分成黄金分割所得的长部分。下面作，由，得，从而，作法如下图2所示，OC为所求.注：圆内接正十边形长.由弦与圆周角的关系知. ，即黄