2006年上海高考数学试卷及答案(理科)

1、.2006 年上海高考数学试卷（理科）一填空题 （本大题共 48 分）1 已知集合 A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合 B = 3 , m 2 。若 B A，则实数 m =_ 。2 已知圆 x2 4x 4 +y 2= 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 x y 1 = 0 的距离是 _。3 若函数 f(x) = a x（ a 0 且 a 1）的反函数的图像过点( 2 , 1 )，则 a =_。4 计算： limC 3n=_。3nn15 若复数 z 同时满足 zz 2i, ziz （ i 为虚数单位） 。则 z=_ 。6 如果 cos1，且是第四象限的角，那么cos() =_ 。527

2、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(23 , 0 )，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是_ 。8 在极坐标系中，O 是极点，设点 A (4,), B(5,5) 。则 OAB 的面积是 _。369 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1 本，共 8 本。将它们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是_。（结果用分数表示）10 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_ 。11 若曲线 y2 = |x| + 1 与直线 y = kx + b

3、没有公共点，则k , b 分别应满足的条件是_ 。12 三个同学对问题 “关于 x 的不等式 x2 + 25 + |x 35x 2| ax 在 1 , 12 上恒成立， 求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路。甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 _ 。二选择题 （本大题共 16 分）13 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）(A) ABDC(B) ADABACD

4、C(C) ABAD BD(D) ADCB0AB14 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（）(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C)充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件;.15 若关于 x 的不等式 ( 1 + k 2)x k4 + 4 的解集是 M ，则对任意实常数k，总有（）(A) 2M , 0M(B) 2M , 0M(C) 2M , 0M(D) 2M , 0M16 如图，平面中两条直线l1和 l 2 相交于点 O。对于平面上任意一点M ，若 p , q 分别是 M到直线 l1 和 l 2 的距离，则称有序非负实数对 ( p ,

5、 q )是点 M 的“距离坐标” 。已知常数 p 0 , q 0，给出下列三个命题：若 p = q = 0 ，则“距离坐标”为( 0 , 0 )的点有且仅有 1 个。若 pq = 0，且 p + q0，则“距离坐标”为 ( p , q )的点有且仅有2 个。若 pq 0，则“距离坐标”为 ( p , q )的点有且仅有 4 个。上述命题中，正确命题的个数是（）(A) 0(B) 1(C)2(D) 3三解答题 （本大题 86 分）17（本小题满分12 分）求函数 y2cos(x) cos(x)3 sin 2x 的值域和最小正周期。4418（本小题满分12 分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东

6、方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1） ?;.19（本小题满分14 分）在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为2 的菱形。 DAB = 60 ，对角线AC 与 BD 相交于点O，PO平面 ABCD ，PB 与平面 ABCD 所成角为60。(1) 求四棱锥P-ABCD 的体积；(2) 若 E 是 PB 的中点，求异面直线DE 与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 。20（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy

7、中，直线l 与抛物线y2 = 2x 相交于 A , B 两点。(1) 求证：“如果直线l 过点 T( 3 , 0 ) ，那么 OAOB3 ”是真命题；(2) 写出 (1) 中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。;.21（本小 分16 分）已知有 数列a n 共有 2k （整数 k2），首 a1 = 2。 数列的前n 和 Sn，且 an+1 = ( a 1 )Sn+ 2 ( n = 1 , 2 , , 2k 1 )，其中常数a 1。(1) 求 ：数列 a n 是等比数列；21 log 2 (a1a2(2)若 a22 k 1 ，数列 b n 足 bna n ) ( n = 1 ,

8、2 , , 2k ) ，求数列 b n 的通 公式；n(3)若 (2) 中的数列 b n 足不等式 | b133332| + | b 2|+ + | b2 k 1| + | b 2k| 4，求 k 的 。222;.22（本小题满分18 分）已知函数 y xa有如下性质：如果常数a 0，那么该函数在 (0,a 上是减函数，在 a,) 上x是增函数。(1)如果函数 yx2b( x 0 ) 的值域为 6,) ，求 b 的值；x(2)研究函数 yx2c（常数 c 0 ）在定义域内的单调性，并说明理由；x2(3)对函数 y xa 和 yx 2 c （常数 a 0）作出推广 ，使它们都是你所推广的函数的特

9、例。xx 211F(x )(x2n(x )n研究推广后的函数的单调性 （只须写出结论， 不必证明），并求函数x )x 2（ n 是正整数）在区间 1 ,2 上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。2;.参 考 答 案一填空题：1、 m 1； 2、 d2 ； 3、 a1； 4、 1 ； 5、 i 1 ； 6、 2 6； 7、 x2y21；22651648、 5 ；9、 1；10、 36；11、 k 0,b( 1,1)；12、 a(,10 ；35二选择题：13、 C ； 14、 A ； 15、 A ；16、D三解答题17 解 y2cos( x)cos( x)3sin2 x1 cos2 x442(

10、1sin 2 x )3sin2 x22cos2 x3sin2 x2sin(2 x6 ) 函数 y2cos( x)cos( x)3sin2 x 的值域是 2,2,最小正周期是；4418 解 连接 BC, 由余弦定理得BC 2=20 2+10 2 22010COS120 =700.于是 ,BC=107 .sin ACBsin1203107, sinACB=,207 ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往 B 处救援 .19 解 （ 1）在四棱锥P-ABCD 中,由 PO平面 ABCD, 得PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 , PBO=60 .在 Rt AOB 中 BO

11、=ABsin30 =1, 由 PO BO,于是 ,PO=BOtg60=3 ,而底面菱形的面积为23 .四棱锥 P-ABCD 的体积 V= 12 3 3 =2.3（ 2）解法一： 以 O 为坐标原点 ,射线 OB 、 OC、OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在 Rt AOB 中 OA= 3 ,于是 ,点 A 、 B、D、 P 的坐标分别是 A(0, 3 ,0),B (1,0,0), D ( 1,0,0),P (0,0,3 ).1,0,333E 是 PB 的中点 ,则 E()于是 DE =( ,0,), AP =(0, 3 , 3 ).2222;.3设 DE与 A

12、P 的夹角为 ,有 cos=22234, =arccos ,934443异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是arccos2；4解法二： 取 AB 的中点 F,连接 EF、 DF.由 E 是 PB 的中点 ,得 EF PA， FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角 (或它的补角 ) ，在 Rt AOB 中 AO=ABcos30 = 3 =OP，于是 , 在等腰 Rt POA 中，PA= 66，则 EF=.2在正 ABD 和正 PBD 中,DE=DF=3 ，1 EF62cos FED= 24=DE34异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是arccos2.420 解 （ 1）设过点T(3,

13、0) 的直线 l交抛物线21122y =2x 于点A(x ,y )、 B(x,y ).当直线 l 的钭率不存在时 ,直线 l的方程为 x=3, 此时 ,直线 l 与抛物线相交于点 A(3,6 )、B(3, 6 ). OA OB =3；当直线 l 的钭率存在时 ,设直线 l 的方程为 yk ( x3) ，其中 k0 ，y 22 x得 ky 22 y 6k 0 y1 y26由y k ( x 3)又 x11 y2, x21 y 2 ，2122uuuruuurxxy y1( y y) 2y y3 ， OA gOB122221411综上所述，命题 “如果直线 l过点 T(3,0) ，那么 OA OB =

14、3”是真命题；(2)逆命题 是：设直线 l交抛物线 y2=2x 于 A 、B 两点 ,如果 OA OB =3,那么该直线过点T(3,0). 该命题是假命题 .uuuruuur例如：取抛物线上的点，1，此时=3,A(2,2)B(g,1)OA OB2;.直 AB 的方程 ：y2 ( x 1) ，而 T(3,0) 不在直 AB 上；3 明：由抛物 y2=2x 上的点 A (x 1,y1) 、 B (x 2,y2) 足 OA OB =3 ，可得 y1y2= 6，或 y1 y2=2 ，如果 y1y2= 6，可 得直 AB 点 (3,0) ；如果 y1y2=2，可 得直 AB 点 ( 1,0),而不 点

15、(3,0).21 (1) 明 当 n=1 时 ,a2=2a,则 a2 =a；a12 n 2k1 时 , an+1 =(a 1) Sn+2, an=(a1) Sn 1+2,n+1nnan1=a, 数列 an是等比数列 .a a =(a 1) a ,ann 1n1 2(n 1)nn (n 1)nn( n 1)(2) 解：由 (1)n1 2na=2a2=22 k 1,得 a =2a, a a a=2bn=1 nn( n1)n 11(n=1,2, ,2k).n2k12k1n31n3；（ 3） b ,解得 n k+,又 n 是正整数 ,于是当 nk , b .23 b1)+(3 b23bk)+(bk+1

16、32k3)原式 =(2)+ +()+ +(b2222=(b k+1 + +b2k ) (b1+ +bk)1(k2k1) k1k1)k= 2(0k22k1k 21k =.2k2k1k 2 4,得 k2 8k+40,4 23 k4+2 3 ,又 k2,当2k1当 k=2,3,4,5,6,7 时 ,原不等式成立 .22 解 （ 1）函数 y=x+2b2b， 22b2(x0) 的最小 是 2=6, b=log 9.x12 212c2c22)(12c(2) 设 0x x,y y = x22x12(x2x12 ) .x2x1x1x2当4c x 1y 1, 函数 y= x2c4c ,+ )上是增函数；x2 在 c当 0x1x2421函数 y=2(0,4c 上是减函数 .c 时 y0),其中 n 是正整数 .x n当 n 是奇数时 ,函数 y= xna在 (0, 2 n a 上是减函数 ,在2n a ,+ )上是增函数 ,x n在 ( , 2n a 上是增函数 , 在 2n a ,0)上是减函数；当 n 是偶数时,函数 y= xna在 (0,2