高三数学理一轮复习课件第6章第三讲等比数列及其前n项和

1、目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,考点3,易错,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测(1)预计高考仍会对本讲重点考查,在考查基本运算、基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想.(2)非标准的等比数列可能成为命题的新热

2、点.题型既有选择题、填空题,又有解答题,分值 5-12分. 2.趋势分析预计2018年高考的主要趋势是以客观题考查等比数列的性质、公式运用与计算,以主观题考查等比数列的定义及与函数、不等式等的综合运用.,命题趋势,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,知识全通关,考点一等比数列,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从 第2项起,每一项与它的前一项的比等于 同一常数q(q0),那么这个数列叫作等比数列,这个常数q叫作等比数列的公比. 注意 (1)等比数列中任一项都不为0,且公比q0. (2)当q=1时,数列为常数列,同时此数列也是等差数

3、列.但要注意若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,. (3)公比是每一项与它的前一项的比,其前后顺序不能颠倒.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,等差数列和等比数列的概念辨析,【辨析比较】,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,此时G2=ab, 注意 (1)任意两个数都有等差中项,但不一定有等比中项,只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项.(2)两个数a,b的等差中项只有一个,两个同号且不为0 的数的等比中项有两个. 3.等

4、比数列的通项公式及其变形 通项公式: an=a1qn-1(a1q0),其中a1是首项,q是公比. 通项公式的变形: an=amqn-m.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,4.等比数列与指数函数的关系 (1)当q0,且q1时等比数列的通项公式可以看作指数型函数. (2)当q1时,an= 1 qn,可以看成函数y=cqx,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列an各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上,如首项为1,公比为2的无穷等比数列,通项为an=2n-1= 1 2 2n,点(1,a1),(2,a2),(3,a3),(n,an)都在y= 1 2 2x的图象上.,【名师

5、提醒】,等比数列的单调性 当q1,a10或01,a10时,an是递减数列; 当q=1时,an是常数列.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,继续学习,考点2 等比数列的前n项和公式,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,等比数列an的前n项和公式为Sn= 1 ,=1, 1 (1 ) 1 = 1 1 ,1. 对于非常数列的等比数列an的前n项和Sn= 1 (1 ) 1 =- 1 1 qn+ 1 1 ,若设a= 1 1 ,则Sn=-aqn+a(a0,q0,q1).由此可知,数列Sn的图象是函数y=-aqx+a图象上一群孤立的点. 对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a10,所

6、以Sn=na1.由此可知,数列Sn的图象是函数y=a1x图象上一群孤立的点.,【名师提醒】,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,求等比数列前n项和时,如果已知a1,q(q1),n,可用公式Sn= 1 (1 ) 1 求解;如果已知a1,an,q(q1),可用公式Sn= 1 1 求解.对含有参数的等比数列求和时,应分q=1与q1两种情况进行讨论.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考点三等比数列的性质,设数列an是等比数列,Sn是其前n项和. (1)若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,qN*,反之,不一定成立. 特别地,若2s=p+r,则apa

7、r= 2 ,其中p,s,rN*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*). (3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列an, 1 ,anbn和 (0,nN*)也是等比数列. (4)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. (5)当q-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列. 当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,不是等比数列.,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,(6)若a1a2an=Tn,则Tn, 2 , 3 2 ,成等比数列. (7)若

8、数列an的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 偶 奇 =q;若项数为2n+1,则 奇 1 偶 =q. 注意 在运用等比数列及其前n项和的性质时,要注意字母间的上标、下标的对应关系.,返回目录,题型全突破,考法一等比数列的判定与证明,继续学习,考法指导等比数列的判定与证明常用方法如下: (1)定义法. +1 =q(q为常数且q0)或 1 =q(q为常数且q0,n2)an为等比数列; (2)等比中项法. +1 2 =anan+2(an0,nN*)an为等比数列; (3)通项公式法.an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,nN*)an为等比数列; (4)前n项和公式法.若Sn表示

9、数列an的前n项和,且Sn=-aqn+a(a0,q0,q1),则数列an是公比为q的等比数列. 由an+1=qan,q0,并不能断言an为等比数列,还要验证a10. 证明一个数列an不是等比数列,只需要说明前三项满足 2 2 a1a3,或者存在一个正整数m,使得 +1 2 amam+2即可.,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考法示例1数列an的前n项和为Sn,若an+Sn=n,cn=an-1.求证:数列cn是等比数列. 思路分析 考虑利用定义法证明,由an+Sn=n得到an+1与an的关系 由cn=an-1得到cn+1与cn的关系

10、解析当n=1时,a1=S1. 由an+Sn=n,得a1+S1=1,即2a1=1,解得a1= 1 2 . 又an+1+Sn+1=n+1, -得an+1-an+(Sn+1-Sn)=1,即2an+1-an=1, 因为cn=an-1,所以an=cn+1,an+1=cn+1+1,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,代入式,得 2(cn+1+1)-(cn+1)=1,整理得2cn+1=cn, 故 +1 = 1 2 (常数). 所以数列cn是一个首项c1=a1-1= 1 2 -1=- 1 2 ,公比为 1 2 的等比数列.,考法示例2已知数列an和bn满足:a1=,an+1= 2 3 an+n

11、-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数,n为正整数. (1)对任意实数,证明数列an不是等比数列; (2)试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论. 思路分析对于(1),只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列即可;对于(2),若判定bn为等比数列,则在证明时,必须证明对任意的n值,这个数列都符合等比数列的定义. 解析(1)假设存在一个实数,使an是等比数列,则有 2 2 =a1a3,即( 2 3 -3)2=( 4 9 -4),故 4 9 2-4+9= 4 9 2-4,即9=0,这与事实相矛盾.所以对任意实数,数列an都不是等比数列.,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n

12、项和,继续学习,继续学习,(2)因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=(-1)n+1( 2 3 an-2n+14)=- 2 3 (-1)n(an-3n+21)=- 2 3 bn, 又b1=-(+18),所以当=-18时,b1=0(nN*),此时bn不是等比数列; 当-18时,b1=-(+18)0, 则bn0,所以 +1 =- 2 3 (nN*). 故当-18时,数列bn是以-(+18)为首项,- 2 3 为公比的等比数列. 点评在判断一个数列是否为等比数列时,应根据已知条件灵活选用不同的方法,若一个数列中包含0的项,则可判定这个数列一定不是等比数列.,数学 第六章第三讲 等

13、比数列及其前n项和,继续学习,考法指导 等比数列的基本运算方法: (1)等比数列由首项a1和公比q确定,所有关于等比数列的计算和证明,都可围绕a1和q进行. (2)对于等比数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1,q.如果再给出第三个条件就可以完成an,a1,q,n,Sn的“知三求二”问题. 例如: 若已知n,an,Sn,先验证q=1是否成立,若q1,可以通过列方程组 = 1 1 , = 1 (1 ) 1 , 求出关键量a1和q,问题可迎刃而解.,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考法2等比数列的基本运算,若已知数列an中的两项an和am,可以利用等比数列的通项公式,

14、得到方程组 = 1 1 , = 1 1 , 两式相除可先求出q,然后代入其中一式求得a1,进一步求得Sn.另外,还可以利用公式an=amqn-m直接求得q,可减少运算量.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考法示例3(1)2015新课标全国已知等比数列an满足a1= 1 4 ,a3a5=4(a4-1),则a2= A.2B.1C. 1 2 D. 1 8 (2)在等比数列an中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=. 思路分析利用等比数列的通项公式列方程或方程组求解. 解析(1)设等比数列an的公比为q,a1= 1 4 ,a3a5=4(a4-1),由题可知q1,则a1q2

15、a1q4=4(a1q3-1), 1 16 q6=4( 1 4 q3-1),q6-16q3+64=0, ( 3 8) 2 =0,q3=8,q=2,a2= 1 2 ,故选C.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,(2)设等比数列an的公比为q(q0),则 1 3 1 =6, 1 4 1 =15, 两式相除,得 1+ 2 = 2 5 ,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q= 1 2 . 所以 1 =1, =2 或 1 =16, = 1 2 . 故a3=4或a3=-4.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考法示例4(1)在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之和等

16、于21,则该数列的通项公式an=. (2)等比数列an的前n项和为Sn,若an0,q1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5= A.31B.36C.42D.48 思路分析(1)利用通项法或对称设元法设出等比数列的项求解,注意an=amqn-m的应用. (2)结合已知条件,由根与系数的关系,得a5,a3的值,从而求得q,a1,代入等比数列前n项和公式即可. 解析(1)解法一由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比数列an的通项公式为an=a1qn-1=4n-1.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,解法二由题意可设等比数列an的前3项分别为 4 ,x,4x

17、,则 4 +x+4x=21,解得x=4,所以等比数列an的通项公式为an=a2qn-2=44n-2=4n-1. (2)a3a5=a2a6=64,因为a3+a5=20,所以a3和a5为方程x2-20 x+64=0的两根,因为an0,q1,所以a3a5,所以a5=16,a3=4,所以q= 5 3 = 16 4 =2,所以a1= 3 2 = 4 4 =1, 所以S5= 1 5 1 =31.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,【突破攻略】,求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求的思想,同时还要注意等比定理即q= 2 1 = 3 2 = 1 = 2 + 3 + 1 + 2 +

18、1 的运用.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考法指导 等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等是高考考查的重点,解此类问题时有两种思路,一是列方程求出基本量,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算比较烦琐;二是利用等比数列及其前n项和的性质求解,熟练掌握等比数列及其前n项和的常用性质能起到事半功倍的效果.,继续学习,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考法三 等比数列的性质应用,继续学习,考法示例5等比数列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为 A.1B.2C.3D.5 思路分析直接把a

19、1+a3看作一个整体,利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可. 解析因为an为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11= ( 5 + 7 ) 2 1 + 3 = 4 2 8 =2; 同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项, 所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15= ( 9 + 11 ) 2 5 + 7 = 2 2 4 =1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3. 答案C,数学 第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考法示例6等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 10 5 = 31 32 ,则公比q=. 思路分析利用等比数列的前n项和的性质求解. 解析 由 10 5 = 31 32 ,a1=-1知公比q1, 10 5