5.5定轴转动刚体的角动量守恒

1、1,5.5 对定轴的角动量守恒定律,2,一、质点系的角动量定理,质点系的角动量定理的微分形式：,质点系的角动量的时间变化率,质点受外力矩的矢量和,质点系的角动量定理的积分形式：,质点系所受的冲量矩,质点系的角动量增量,某给定参考点,内力矩成对相消，矢量和为零。,3,若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。,可得：质点系的角动量守恒定律：,由质点系的角动量定理的积分形式：,当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。,4,二、刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律,1、刚体定轴转动的角动量,(所有质元的动量矩之和),质点对点的

2、角动量：,作圆周运动的质点的角动量：,强调：对于刚体的定轴转动，只能用角动量来描述，而不能用动量来描述。,5,2、刚体定轴转动的角动量定理,由转动定律：,（角动量定理的积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于其角动量的增量。,（角动量定理的微分形式）,6,非刚体定轴转动的角动量定理：,说明：,当变形体绕某轴转动时，若其上各点（质元）转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量为：,刚体定轴转动的角动量定理：,（J 不变）,（J 变）,7,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。,内力矩不改变系统的角动量。,刚体定轴转动的角动量定理,三、刚体定轴转动的角动量守恒定律,当刚体受到的合外力矩为0

3、 时，其角动量保持不变。,8,1）刚体定轴转动的角动量守恒条件：,当合外力不为 0 时， 合外力矩可以为 0。,当合外力为 0 时， 合外力矩不一定为 0；,2） 角动量守恒的两种情况：,9,即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。, 定轴转动的刚体， 不变，,大小方向都不变。,比如：可用在飞机、火箭、轮船上的定向装置，其转轴的方向始终不变。,角动量守恒的两种情况：,例如：地球所受的力矩近似为零，因而角动量守恒，其转轴总是指向同一方向，即指向北极星。地球自转轴的方向与公转平面的垂线成 2327角。 地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。,10,

4、 定轴转动的非刚性物体，转动惯量可变，,如花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。,角动量守恒，则有：,11,定轴转动的非刚性物体，,12,花 样 滑 冰,张臂,先使自己转动起来,收臂,13,3）物体系的角动量守恒,若系统由几个物体组成，各物体对同一个转轴的角动量分别为 ，,则总角动量为： ，,比如：当研究质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。,只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统的总角动量守恒，即：,恒量,14,例如：直升飞机在未发动前总角动量为零，发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况，人们在机

5、尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼，由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。 与此类似，鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进，也是为了避免鱼雷前进中的自旋。 安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转仪（也叫“陀螺”）的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。,角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。,15,回转仪定向原理,16,直升飞机防止机身旋动的措施：,用尾浆或用两个对转的顶浆,17,直升飞机防止机身旋动的措施,用 两 个 对 转 的 顶 浆,用 尾 浆,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,18,19,自然界中存在

6、多种守恒定律,动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律,电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等,20,例：人与转盘的转动惯量J0，伸臂时臂长为 l1，收臂时臂长为 l2。人站在不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量为 m的哑铃。伸臂时转动角速度为 1， 求：收臂时的角速度 2 。,解：整个过程合外力矩为0， 角动量守恒，,转动惯量减小， 角速度增加。,21,例：匀质圆盘（M、R）与人（ m，视为质 点）一起以角速度 o 绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。 当此人从盘的边缘走到盘心时，求：圆盘的角速度是多少？,解：系统（圆盘 + 人）什么量守恒？,o,系统角动量守恒：,22,解：两

7、飞轮通过摩擦达到共同速度，合外力矩为0，系统角动量守恒。,共同角速度：,例：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 1 、2，求：两飞轮啮合后共同的角速度 。,23,解：1）杆 + 子弹：竖直位置，外力（轴 O 处的 力和重力）均不产生力矩，,解得：,例：长为l、质量为M 的匀质杆，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度o射入杆上的A点，并嵌在杆中，OA=2l/3，求：1）子弹射入后瞬间杆的角速度；2）杆能转过的最大角度。,故碰撞过程中角动量守恒：,系统的动量守恒吗？,24,2）杆在转动过程，机械能守恒：,由前：, 转动动能,25,解：碰撞过程角动量守恒:,