解排列组合的常用技巧.ppt

1、解排列组合的常用技巧,解排列问题的常用技巧,解排列组合问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列组合问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。 下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。,总的原则合理分类和准确分步,解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。,解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：,根据分步及分类计数原理，不同的站法共有,例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生

2、乙不站排尾，共有多少种不同的排法？,1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 种方法.,若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有 种，1位的排法有 种, 第2、3、6、7位的排法有 种，根据分步计数原理，不同的站法有 种。,再安排老师，有2种方法。,（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？,练 习 1,分类：后两位数字为5或0：,个位数为0：,个位数为5：,（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？,分类：,引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？,方法一：（排除法）,方法二：

3、（直接法）,引申2：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的 五位数中大于31250，小于50124的数共有多少个？,2004 全国12 在由数字1，2，3，4，5组成的所有 没有重复的5位数中，大于23145且小于43512的 数共有（ 58 ）个,（一）“特殊元素、特殊位置优先安排法”,对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。,例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字 的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60,分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。按

4、0排在末尾和不排在末尾分为两类；,0排在末尾时，有 个； 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有 个； 由分类计数原理，共有偶数 30 个.,B,解题技巧,（1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？,（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位奇数？,练 习 2,（3）(2005 北京文)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）种。 （4）(2005 全国II 理)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有_个,解：不能被

5、5整除的有两种情况：情况1、首位为5有 种，情况2、首位不是5的有 种，故在由数字 0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中， 不能被整除的数共有 + =192(个),例3 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复 数字的三位数，其中1不在个位的数共有_种。,（二）间接法 (总体淘汰法,正难则反）,对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。,分析：五个数组成三位数的全排列有 个，0排在首位的 有 个 ，1排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排 法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数 （为什么？） 故共有 种。,（1）三个男生，四个

6、女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？,（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72,直接,练 习 3,（3）用间接法解例1“6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？”,（4）（2005福建理）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A300种B240种C144种D96种,B,（直接法）分三种情况： 情况一,不选

7、甲、乙两个去游览:则有 种选择方案, 情况二:甲、乙中有一人去游览：有 种选择方案; 情况三：甲、乙两人都去游览,有 种选择方案, 综上不同的选择方案共有 + + =240,（间接法）,（三）相邻问题捆绑法,对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。,例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？,分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有 种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列。,由分步计数原理可得： 种不同排法。,（四）不相邻问

8、题插空法,对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它 元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。,例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？,分析：可先让其余4人站好，共有 种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有 种方法，这样共有 种不同的排法。,（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？,（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？,捆绑法：,插空法：,（3）(2005 辽宁)用、 组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，

9、而与不相邻，这样的八位数共有_个（用数字作答）,练 习 4,(3)(2005 辽宁)用、 组成没有重复数字的八位数，要求与相邻， 与相邻，与相邻，而与不相邻， 这样的八位数共有_个（用数字作答）,将与，与，与捆绑在一起排成一列 有 种，再将、插入4个空位中的两个 有 种，故有 种,引申:用、组成没有重复数字 的六位数，要求与相邻，与相邻，与 相邻，现将7、8 插进去，仍要求与相邻，与 相邻，与相邻，那么插法共有_种 （用数字作答）,例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等， 将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高 排列，有多少种排法？,（五）顺序固定问题用“除法”（或用“瑜静法”

10、）,对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.,所以共有 种。,分析：先在7个位置上作全排列，有 种排法。其中 3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只 对应一种排法，,（1）三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？,练 习 5,引申:三个男生，四个女生排成一排，其中男生三人和女生四人的顺序均不变，有几种不同排法？,（六）指标问题采用“隔板法”,例7 有10个三好生名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案。,分析：6个班分，用5个隔板，将10个名额并

11、成一排，,名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法， 对应一种分配方案，故共有 种。,隔板法（相同的元素分成若干部分，每部分 至少一个）,练 习 6,（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有 （ ）种。,（2）不定方程 的正整数解共有（ ）组,（七）分排问题用“直排法”,把n个元素排成若干排的问题，若没有其他 的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.,例8 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐 4人，则有多少种不同的坐法？,分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无 其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以 不同的坐法有 种.

12、,（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？,或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件， 所以,两排可看作一排来处理 不同的坐法有 种,练 习 7,（八）实验法（穷举法）,题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。,例9 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）,A.6 B.9 C.11 D.23,分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。,第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。

13、,若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。,若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。,同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。,不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。,练 习 8（不对号入座问题）,（1）（2004湖北）将标号为1，2，3，10的 10个球放入标号为1，2，3，10的10个盒子中， 每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子 的标号不一致的放入方法有_种,（2）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有_种,109,直接法：

14、,间接法：,（九）住店法,解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：,一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,例10 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）,A. B. C D.,分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得 种。,注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？,用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。,(十) 对应法,例11 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场 比赛

15、失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要 举行几场？,分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的 所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要 进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。,（十一）特征分析,研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。,例12 由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？,分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。把6分成4组，（3，3），（6），（1，5），（2，4），每组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；,第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有 ，然后其余四个数在其他数位上全排列有 ，所以,第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有,（1）练习:（徐州二检）从6人中选4人组成4100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？ 分析：（一）直接法 （二）间接法,（2）从正方体的8个顶点中选4个作四面体，则不同的四面体的个数为 。,练 习 9,58,