高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2.2.2 抛物线的简单性质导学案 北师大版选修

1、2.2.2抛物线的简单性质(一)学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一抛物线的简单性质思考1类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y22px(p0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？答案范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0，0).思考2参数p对抛物线开口大小有何影响？答案因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大.梳理标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0

2、，0)离心率e1知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y22px(p0)|AB|x1x2py22px(p0)|AB|p(x1x2)x22py(p0)|AB|y1y2px22py(p0)|AB|p(y1y2)类型一抛物线简单性质的应用例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F(，0).直线l：x，所以A，B两点坐标为(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以|2|m|4，所以m2.所以

3、抛物线的标准方程为y24x.引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是_.答案4p2解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p).所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(

4、3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程.解设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0).因为点P到对称轴距离为6，所以y06.因为点P到准线距离为10，所以|x0|10.因为点P在抛物线上，所以362ax0，由，得或或或所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.类型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9

5、，求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y. 联立消去y得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x25.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.反思与感悟(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F

6、为焦点.若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线y22px(p0)，则|PF|x0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0；若抛物线x22py(p0)，则|PF|y0(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可.跟踪训练2 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.答案xy10或xy10解析抛物线y24x的焦点坐标为(1，0)，若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意.

7、所以可设所求直线l的方程为yk(x1).由得k2x2(2k24)xk20，则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，即6，解得k1.所以所求直线l的方程为xy10或xy10.类型三与抛物线有关的最值问题例3设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点.(1)求点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3，2).求|PB|PF|的最小值.解(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A

8、(1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小.显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为，即点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为.(2)如图，把点B的横坐标代入y24x中，得y2.因为22，所以点B在抛物线内部.过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值为4.反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边

9、间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A. B.2C. D.答案A解析如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.又A(0，2)，F(，0)，(|PA|PF|)min|AF| .1.设AB为过抛物线y22px (p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A. B.pC.2p D.无法确定答案C解析当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径

10、，长度等于2p.2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6 C.8 D.12答案B解析由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.3.已知抛物线yax2的准线方程是y2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.4.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A.8 B.16 C.32 D.61答案B解析由y28x得焦点坐标为(2，0)，由此直线方程为yx2，由联立得x212x40，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)

11、，由方程知x1x212，弦长|AB|x1x2p12416.5.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长.解如图OAB为正三角形，设|AB|a，则ODa，A(a，)代入y22px，即2pa，解得a4p.正三角形的边长为4p.1.讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.40分钟课时作业一、选择题1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点

12、，则其方程为()A.y28xB.y28xC.y28x或y28xD.x28y或x28y答案C解析设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，依题意得x，代入y22px或y22px，得|y|p，2|y|2p8，p4.即抛物线方程为y28x.2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.(，) B.(，)C.(，) D.(，)答案B解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F(，0)，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为(，)，故选B.3.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(

13、x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|等于()A.6 B.8C.9 D.10答案B解析因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|x1x2p628.4.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2 B.3C. D.答案A解析如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为PF的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d2. 5.经过抛物线y22px (p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则的值是()A.4 B.4 C.p2 D.p2答案B解析采用特例法，当直线与x轴垂直时，易

14、得A，B，4.6.已知抛物线y24x，A(1，0)，F(1，0)，点B在抛物线上，且|BF|5，则cos BAF等于()A. B. C. D.答案A解析由抛物线的定义知，过B作BG垂直准线于G，|BG|BF|5，设B(x1，y1)，则x115，得x14.B点在抛物线y24x上，y44，得|y1|4，在RtABG中，|AG|y1|4，|BG|5，|AB|，cosABG，BAFABG，cosBAF.7.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y(x).即4x

15、4y30.联立直线和抛物线方程，并化简得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.二、填空题8.设抛物线y216x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|_.答案13解析设P(x1，y1)，|y1|12，点P在抛物线y216x上 ，16x1y122，即x19，由抛物线的定义，可得|PF|x149413.9.抛物线y24x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|3，则|BF|_.答案解析由题意知F(1，0)，且AB与x轴不垂直，则由|AF|3，知xA2.设lAB：yk(x1)，代入y24x，

16、得k2x2(2k24)xk20，所以xAxB1，故xB，故|BF|xB1.10.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).符合抛物线方程为y210x的条件是_.(要求填写合适条件的序号)答案解析由抛物线方程y210x，知它的焦点在x轴上，所以符合.又它的焦点坐标为F，原点O(0，0)，设点P(2，1)，可得kPOkPF1，也符合.而显然不符合，通过计算可知、不合题意.故答案为.三、解答题11.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点

17、，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，A(x0，y0)，由题知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.12.已知抛物线C：y22px(p0)，其准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于A点，与C的一个交点为B，若，求抛物线方程.解由题意知，准线l：x，过M(1，0)且斜率为的直线方程为y(x1)，联立解得点A的坐标为(，(1).又，M是AB的中点，B点坐标为(2，(1)，将B(2，(1)代入y22px(p0)，得3(1)22p(2)，解得p