谈相似三角形解题技巧与口诀

1、相似三角形解题技巧及口诀常见相似类型：A字形，斜A字形，8字形、斜8字形（或称X型），双垂直（母子型），,旋转形【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 （1）ACDCDBAD:CD=CD:BDCD=ADBD2 ACDABCAC:AB=AD:ACAC=ADAB（3）CDBABCBC:AC=BD:BCBC=BDAB结论：得AC:BC=AD:BD结论：面积法得ABCD=ACBC比例式【证明等积式(比例式)策略】:1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形，

2、三点定形法2、间接法： 对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明3种代换 等线段代换； 等比代换； 等积代换；创造条件 添加平行线创造“A”字型、“8”字型 先证其它三角形相似创造边、角条件相似判定条件：两边成比且夹角等、两角对应相等、三边对对应成比 【口诀】：遇等积，改等比，横看竖看找相似； 不相似，莫生气：等线等比来代替； 平行线，转比例，等线等比来代替；遇等积，改等比，横看竖看找相似ABC中，AB=AC，DEF是等边三角形，求证：BDCN=BMC

3、E 证明：ABC中，AB=AC，B=C DEF是等边三角形，FDE=FEDMDB=AEC BDMCEN 即BDCN=BMCE反馈：如图，ABC是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且ABAC=BDCE求证：ABDECA证明：ABC是等边三角形（已知），ABC=ACB=60（等边三角形的三内角相等，都等于60），ABD=ACE（等角的补角相等），又ABAC=BDCE（已知），即ABDECA（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BPPC=BMCN 证明：连接PM，PN， MN垂直平分AP，AM=MP，AN=

4、PN，又MN为公共边，AMNPMN（SSS），MPN=BAC=60， BPM+CPN=120，BPM+BMP=120，BMP=CPN，由B=C=60，MPBPNC， 即BPPC=BMNC 斜边上面作高线，比例中项一大片 RtABC中，BAC=90，ADBC于D，E为AC的中点，求证：ABAF=ACDF分 析：比例式左边AB，AC在ABC中，右边DF、AF在ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两对三角形相似证得结论。 证ABCDBA 证ADFDBF 有射影，或平行，等比传递我看行梯形ABCD中，AD/BC，作BE/CD,求证：OC=OAOE 证明：ADBC，OC：

5、OA=OB：OD又BECD，OE：OC=OB：ODOC：OA=OE：OCOC=OAOE如图，在ABC中，已知A=90时，ADBC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F求证：ABAF=ACDF证明：BAC=90，ADBC，CBAABD， AB：AC=BD：AD ，C=FAD，又E为AC的中点，ADBC， ED=AC=EC，C=EDC，又EDC=FDB， FAD=FDB，F为公共角，DBFADF， BD：AD=DF：AF ，由得，AB：AC=DF：AF 即ABAF=ACDF四共线，看条件，其中一条可转换； RtABC中四边形DEFG为正方形。求证：EF=BEFC在RtABC中

6、，B+C=90，在RtBDE中，B+ADE=90ADE=CRtBDERtGCF，DE：FC=BE：GF又四边形DEFG为内接正方形，DE=GF=EF，EF：FC=BE：EF，EF2=BEFCABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CFBA，求证：BP=PEPF。 证明：连结PCAB=AC，AD是中线，AD是ABC的对称轴PC=PB，PCE=ABPCFAB， PFC=ABPPCE=PFC 又CPE=EPC，EPGCPF ，即PC2=PEPF BP2=PEPFAD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F.求证： DE=BECE.可证AECBEA，AE/BE=EC/E

7、A，AE2=BECE DE2=BECE 两共线，上下比，过端平行条件边。引平行线应注意以下几点：1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 AD是ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.证明：过D作AC的平行线交AB于E，则32AD平分BAC 12 13AED是等腰三角形 EA=EDDEAC BE：EA=BD：BCAB：BE=AC：DEAB：AC=BE：DE=BE：EA由可得 AB：AC=BD：BC在ABC中，ABAC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE，直线DE和BC的延长线

8、交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.证明：过点C作CFAB交PD于F ADAE ADEAEDCFAB CFEADECEFAED CFECEF CECF又CFAB PCFPBD BP/CPBD/CFBP/CPBD/CE BP：CPBD：CE如图，在ABC中，M是AC的中点，P，Q为边BC的三等分点若BM与AP，AQ分别交于D，E两点，求BD，DE，EM三条线段的长度比解：过A作AFBC交BM延长线于F，设BC=3a 则BP=PQ=QC=a；AM=CM，AFBC，AF：BC=AM：CM=1，AF=BC=3a， BD：DF=BP：AF=1：3， BD=同理可得：BE=，BM=；DE=BE-BD=

9、，EM=BM-BE=，BF：FG：GE=：=5：3：2彼相似，我条件，创造边角再相似如图,AE*AE=AD*AB,且ABE=C,试说明BCEEBD.证明：因为AE*AE=AD*AB； 所以：AEDABE.所以：ADE=AEB; 所以：BDE=CEB又因为：12 所以：BCEEBD.已知，求证：证明：ABDACE，BAD=CAE，BAD+BAE=CAE+BAE，即BAC=DAE，ABCADE已知，如图，D为ABC内一点连接BD、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD，BE、CE交于E，连接DE.（1）求证： （2）求证：DBEABC.证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BAD，CBEA