辛雷学习之数学

1、6.2. 数学 链接：学习进步 -定义：概念在本节中，数学的概念是指数学定义、概念、公式、定理、定律、公理等。定义：知识点在本节中，数学的知识点是指数学的各种相对独立的知识。包括概念，如公式、定理等；还包括你对概念理解后自己用一、两句话总结出的学习心得；包括每部分知识的要点，如“圆”的性质，方程（方程组）的分类等等；包括你自己和参考书上对某些数学知识的从另外角度的理解等等。定义：解题技巧本节中，数学的解题技巧是指解数学题的过程中凭借的方法和技巧，即人们通常所说的解题技巧、解题思路、解题方法、解题套路、解题思想等等。你自己在做题过程中总结出的各种解题心得，不管是否很准确，只要有效，也算是解题技巧

2、。定义：更深层、更普遍的解题技巧本节中，数学的更深层、更普遍的解题技巧是指数学达到一定境界之后，你自己总结出一些解题技巧，这些解题技巧更深层、更普遍，它们能解决很多表面上看似不同类型的题目。总结出的“更深层、更普遍的解题技巧”越多，你考试时反应越快、越灵活。例如，某类题目，一般的，要用“对称法”这个解题技巧，而另外一类题目，要用“用代数解几何”，而另外的一类题目，则要用“转化为三角”。这样，你就必须记住这三种类型题目各自所对应的解题技巧。你通过深入思考，你发现，实际上，这三类题目，都可以用三角、圆的性质来解决。这样，你就只需记住很少的解题技巧了。你考试时，就能快速、灵活的把这三类题目做出来了。

3、 -数学的初级、中级、高级 从考试成绩的角度：数学处于初级阶段者是指数学考试成绩在班里中等以下者，数学处于中级阶段者是考试成绩在班里处于中等和中等以上者，数学处于高级阶段是指数学考试成绩班里很好者。例如，班里有60个人，你数学考试成绩在30名以后就属于初级阶段，考试成绩在10名到30名之间就属于中级阶段。数学在前10名就属于高级阶段。从知识系统的角度：如果你数学上的漏洞很多，没有形成数学的体系，就属于初级阶段。如果你以前数学上没有太大的漏洞，但数学体系的系统性也不强，就属于中级阶段。如果你的数学已经形成了完整的体系，就属于高级阶段。从做题的角度：如果你连最基本的、简单的题目都做不出来，或者做出

4、来了也有很多错误，就属于初级阶段。如果你能做出多数的基本的、简单的题目，但中等难度的题目只能做出一部分，难题和综合题很少能做出来，就属于中级阶段。如果你能很轻松的做出多数基本题、简单题、中等难度题，也能做出部分的难题和综合题，就属于高级阶段。 - 6.2.1.数学的学习策略初级阶段者的学习策略“全”、“晰”、“易”、“快”“全”：就是说凡是高考要求范围内中的基本的东西，如基本知识点、基本解题技巧和考试技巧等，你都要学“全”，决不能有某部分知识没有学习到。“晰”：对基本东西中的有疑惑的地方，无论是现在正在学习的，还是以前学过的，都必须尽可能的理解清楚。不管你看多少参考书，请教多少人，甚至从头学起

5、。如果你的基础太差，你可以采用请家教补课、跟低年级的同学一起听课，从头看以前学过的课本和参考书等方法。“易”：主要做简单的和基本的题目，做少量中等难度的题目，尽量不做难题和综合题。只掌握基本的、通用的解题技巧，复杂的、过于巧妙的解题技巧放弃。“快”：不是指做某道题“快”，而是指你在一段时期内，如几周、或者一个月内，必须完成足够量的学习任务，如做完一本参考书上的基本题目，看完一本以前学过的课本，等等。数学处于初级阶段者，在做某一道题目时，可能会花很长的时间，这时，不要着急，可以翻阅一些参考书，请教老师同学，只要能真正弄懂了某些问题，你就在进步。数学处于初级阶段者，如果每天学习数学的时间不充足，可

6、以暂时放弃做题的规范性、严谨性，放弃难题和综合题，放弃“一题多解、多题一解”，放弃巧妙的解题技巧等等。 - 中级阶段者的学习策略“精”、“狠”、“深”、“细”、“准” “精”：做题贵精不贵多，不要贪多，做出一道算一道。“狠”：做题时不断增大“狠劲”，能做出来的题目，一定要做出来；有可能做出来的题目，尽最大可能做出来；不断提高每天做出习题的量，昨天共做出了30道题目，今天就要做出31道题目。做限时模拟题和考试时不断提高“拼劲”。不管什么题目，做限时模拟题和考试时，都要尝试一下，都要尽最大努力做出来；做题时要快！能用一分钟做出来的题目，就不要用两分钟。“深”：多深入思考、多总结。深入思考如何运用基

7、本定义、公式、定理，深入思考不同题目的深层次联系，深入思考不同题目的相同解法。“细”：要心细，要养成严谨、严密的学习习惯。你可以放弃某些题目，如难题、综合题、怪题等。但对于基本题目和中等难度的习题的解题思路、解题技巧和解题方法要细致掌握，每个小问题都不要放过；对于你感觉到重要而且典型的题目，做完题目后，你还要和标准答案比较一下，看看自己的解题过程是否完整。“准”：就是要不断提高知识的确信度。对于数学来说，提高知识确信度的方法就是：一定要把题目做出来！然后再总结、记忆。“看题”、“背题”都不能提高知识确信度。 - 高级阶段者的学习策略“回”、“极”、“灵”、“融” “回”：要形成一个个“回路”，

8、形成一个个整体框架，形成知识体系。（一）形成数学整体框架。（二）数学的每部分，如方程（方程组）部分形成整体框架。（三）相关的数学概念前后联系，形成一个个小的数学概念的知识体系。（四）某类题目的解题套路、解题技巧、对应的知识点非常清晰，形成了这类题目的“回路”。（五）各种类型题目的解题思路、解题方法、解题技巧非常清晰，形成了很多个小的解题技巧体系，（六）最终，形成数学的知识点和解题技巧的完整的知识体系。“极”：要不断超越“极点”。（一）尽最大可能的提高“狠劲”和“拼劲”。（二）尽量延长每次最长学习时间。（三）不断加大学习强度。（四）保持大脑最清晰。（五）通过“超越极点”、“至静至纯至狠”等方法产

9、生自信心。（六）通过杜绝对爱情的期待、不断的收心、不断的平静自己等方法，使自己的心情达到极端平静。（七）采用“精挑极练”、“限时训练”等学习强度高的学习方法。 “灵”：在形成大大小小的知识体系和解题技巧体系之后，通过“多题一解”、“一题多解”、“自己出题”等方法，琢磨命题人思路，不断总结出各种巧妙的解题技巧，把类似的解题技巧进行归并。最终，你做题时各种解题技巧层出不穷，又能采用最简单和直接的方法解决很多题目。“融”：随心所欲做题，不断淡化解题技巧，最终达到不用解题技巧，或者感觉不到自己在运用解题技巧，就能做出很多题目的境界。 6.2.2.理解记忆 -概念清晰 数学是一门前后联系密切、逻辑性极强

10、的学科。对于数学概念（数学定义、概念、公式、定理、定律、公理等）要理解清楚、记准记牢。你可以使用“前后联系”等方法，理解数学概念，你还可以使用“狠背”等方法记准记牢概念。在做练习的过程中，通过“深入思考”、“总结”、“回忆”等方法使相关的概念更加清晰。对于某些人，概念清晰，是一个循序渐进的过程。有些数学概念，你一开始可能无法理解，你不必在意，只要强行记忆就可。数学概念，不在于是否能真正理解，在于你是否能运用。很多概念是历代数学家用毕生精力思考和推导出来的，你不见得一下子就能理解，只要记准并能运用就可以。通过练习、思考、总结、回忆等不断反复，往往才能真正掌握，随着时间的推移和经验的积累，逐步做到

11、概念清晰。在概念不清晰的情况下，你可以采用“看题”、“背题”、“看练”、“背练”等方法学习数学。记准记牢 学习者必须准确记忆一些东西，数学也不例外，尤其对于数学处于初级、中级阶段者。概念：对于高考要求范围内的所有概念，都要记准。解题技巧：老师讲课、看参考书、自己做练习后，你学会了一个新的解题技巧，就要记住。随着时间的推移，解题技巧可能会遗忘，因此，你最好把解题技巧记在笔记本上，随时翻阅记忆，作为以后总结、回忆、形成知识体系的素材。解题心得：做题达到一定量时，你会感觉有一些其他的规律性的东西，对于这些东西，不管你觉得是多么可笑和幼稚，只要是你通过独立做题总结出的东西，就是好东西，你要记在本子上，

12、在未来的日子里，可以通过深入思考进行抛弃和凝练：无用的、错误的东西抛弃；有用的、正确的东西进一步凝练。 6.2.3.上课与自学 -初级阶段数学的前后联系性很紧密，前面的知识学不好，就会影响后面的学习。因此，如果你以前数学没学好，知识上的漏洞太多，你上课时，对老师讲的概念、知识点、解题技巧等尽量理解，理解不了的就强行记忆，并记在笔记本上；对于老师讲的题目中的难题和综合题，放弃；对于老师讲的基本题目和中等难度的题目，尽量理解，不理解的就强行记忆，并记在笔记本上。下课后，你可以通过翻阅课本和各种参考书，把课堂上不理解的东西尽量理解清楚，实在理解不了的强行记忆，并在下一节课请教老师和同学，如果有家教老

13、师，可以向家教老师请教。另外，你必须制定周密、合理的学习计划，来弥补以前学习上的漏洞。一般的，学习处于初级阶段者，课后必须有较长的时间用来弥补以前的知识。以前学习的越差，用于弥补以前学习上漏洞的时间要越长。例如，你可以把课后一半的时间用来学习目前老师教的东西，另外一半时间弥补以前的知识，你可以采用精读课本、“看题”、“看练”等方法，尽快把以前知识上的漏洞弥补。中级阶段上课时，仔细听老师讲课的关键点，如概念、知识点的要点、解题思路、题型、解题套路，并尽量理解透彻。上课时，不必把老师讲的每道题都记下来，对于已经理解的、解题思路知道的题目就不必太在意，对于自己已懂但老师的方法更简便的题目要记下来，对

14、于典型题目不要放过。记笔记时，只要把关键的东西，如概念和知识点的要点、解题思路的要点等等记下来就可以了。课后最好当天复习，或者两、三天内复习，不要拖的太久。课后复习时，要把老师讲的内容记忆思考一下，把老师讲的题目要独立做出来。每隔一段时间，如一、两周之后，要通过“快速浏览”、“看题”等方法，复习老师讲的和自己做的题目，要进一步总结出解题思路、题型、套路。每隔一段时间，可以看一些参考书上的例题，形成知识体系和解题技巧体系；还可以通过反复训练，把某些重点题目练熟。高级阶段 数学处于高级阶段者，如果老师讲的东西的难度是针对多数同学，那么，上课时，你就应该部分时间的跟老师走，部分时间自学。对于老师讲解

15、的那些你已经掌握其解题技巧的题目，你就不必听了。你可以在老师讲解时自己把题目做完，然后看看自己的解题步骤和老师的对比，看有什么错误。对于老师布置的习题，如果你已掌握的很好了，就不必再花时间了。对于老师讲的解题套路，如果你已经掌握了，你应该跳出这些套路的限制，深入思考题目的变化，尝试着一题多解、多题一解、自己出题。 6.2.4.参考书 -根据你的学习情况和需要，选择合适的数学参考书。用于积累基本知识点和解题技巧的数学参考书只要讲解清晰、例题典型的数学参考书，都可以用于积累基本知识点和解题技巧。对于这类参考书，你可以像读小说一样快速浏览，读完一本再读第二本。用于形成整体框架的参考书有些参考书，会用

16、列表、图表、图形等形式把考试范围内的概念、知识点、解题技巧总结的非常清晰，借助这些参考书，你就更容易形成整体框架。对于数学处于初级阶段者，通过快速浏览这类参考书，可以在较短的时间内，把以前学过的东西形成整体框架。用于形成解题技巧体系的参考书某些参考书，把各种数学解题思想、解题思路、题型的套路等等，总结的非常清楚，通过反复浏览和记忆这类参考书，你可以较快的形成数学的解题技巧体系。用于查漏补缺的参考书有些参考书，把学习时经常犯错的地方指出来，并告诉你做错的原因，例如，对概念理解的错误、没有想到对应的知识点、借助的解题技巧不正确等等。对于这类参考书上的题目，你要先自己做一下，做对的题目，就不必理会了

17、；对于做错的题目，看看书中的提示，找出自己犯错的根源。这类参考书，你要选择那些把错误分析的本质、深入、系统、全面的参考书，而不要选择那些把错误分析的过于繁琐、过于细致、甚至混乱的参考书。你使用那些把错误分析的深入、系统、全面的参考书，就能更容易的找出你出错的更本质的错误，更容易形成解题技巧体系。例如，某类题目，如果用“类比”、“代换”等解题方法，你能很容易解出来，但如果你使用“转化为方程”的解题方法，做起来就很繁琐了，很容易出错。这时，好的参考书会告诉你，在什么情况下，应该用“类比”、“代换”等解题方法，在什么情况下，应该使用“转化为方程”的解题方法。而差的参考书，仅仅把这道题目的某种解题方法

18、告诉你，至于为什么使用这种解题方法、这种解题方法是否最好，你就不知道了。详细分析解题技巧类参考书看此类书可以迅速积累解题技巧，但此类书看多了，也容易导致知识体系的混乱。精做一本好的参考书 找一本紧密围绕高考、内容全面、题型总结的非常好、讲解很详尽、把知识点和解题技巧的体系都总结的很好的参考书，从头往后一道道往后做。这个过程中，对于一下子就能看出解题方法的题目，对于过偏、过难的题目，就不要做了。对于典型的题目，有的题型灵活，所用的知识点较基础，这就需要自己动手，做一遍。做完后，比较自己的方法和作者的方法有何不同。做不出的，则看自己是由于哪一个知识点没有掌握，并做好记录，以待以后复习用。“多题一解

19、”、“一题多解”类参考书对于数学，一般的，“多题一解、一题多解”类参考书，仅适用于数学处于高级阶段者，初级、中级阶段者一般不要使用，以免造成混乱。非常好的“一题多解、多题一解”类参考书有些参考书，会把某些题目的各种方法都尽量列出来。如果你的数学到达一定的境界，并且数学的学习时间很充裕，你可以做这本参考书，并总结和深入思考。这几种解题技巧中，哪些是基本的解题技巧？哪些是通用的解题技巧？哪些是特殊的解题技巧？如果一道题目有多种通用的解题技巧可以解出来，这时，你就要仔细总结一下，“为什么我只想到这一种解题技巧，没有想到另外一种通用的解题技巧？”，如果其原因是你对另外一种通用的解题技巧掌握的不熟悉，那

20、么你考试时往往就想不起来这种解题技巧。而如果你很不熟练，那么，你考试时往往就无法用它解决问题。对于很少用到的解题技巧，很怪异的解题技巧，你就不要理会了。随意练在一个各种数学参考书非常丰富的图书馆里，你可以随意找各种参考书，凭借感觉随意从某本参考书中找几道题目做，能否把某道题目做出来，并不在意，然后再随意找下一本，接着做。这种方法，适用于数学处于各个学习阶段者。这种方法，不但能提高对数学的兴趣，延长每次最长学习时间，还能提高你的灵活性。提高速度、准确性和灵活性做限时模拟题，可以提高速度、准确性和灵活性。你要选择好的参考书，书中的模拟题的难度要适合你，书中题目既不能都不会做，也不能很轻松的都做对。

21、每隔一段时期，如几周之后，你要测试一下，看看自己的速度、准确性和灵活性是否提高了。不要因参考书过多，把自己弄乱了你可以有多本数学参考书，但每本参考书，都要有不同的策略，有的参考书可以精做，有的用来查漏补缺，有的用来提高速度、准确性和灵活性，有的用来形成解题技巧的体系，但你不能把一本本的参考书，从头到尾的一道道往后做，否则，很容易自己把自己弄乱了。这是因为，不同参考书中的某些题目是重复的，有些参考书选择的题目过难、过偏，有些参考书中的题目的解题方法过于怪异，有些参考书把一些很少见的题目都收入了，有些参考书则是，明明可以用简单方法做出的题目，却故意用复杂的或者少见的解题方法。 6.2.5.深入思考

22、、总结、回忆再现 - 数学进入中级、高级阶段之后，要不断加大深入思考时间在所有学习数学时间中的比例。总结 做题贵精不贵多。做一道题，不是为了考试时能够碰到这道题，而是为了能够在考试时会做类似的题目。因此，在做这道题的过程中，你要有清晰的思路，思考这道题用了什么基本原理、基本概念、基本技巧、公式等。你要养成这样思考的习惯，慢慢的，你的分析问题的能力就增强了。做完题目要总结一下，可以用几句话记在本子上，可以记录下解题技巧、所用公式、定理，可以联想一下类似的题目，将这道题目归结到某一类题型中去。王散以前学习数学时主要就是做练习，做练习的方法就是一道题一道题的往后做，做出来就完事，做不出来就换一道接着

23、做。做题前后很少深入思考。后来，他改进了学习方法，做题时仔细想想到底用了什么原理、公式、概念、基本技巧等。这样，做题速度下降了，考试成绩暂时下降了，但他继续坚持，几个月后，他的数学进步很快。总结和深入思考自己的解题技巧与老师（参考书）的差异如果你做的题目少（例如很多数学初级阶段者），你主要是积累各种解题技巧。当你做了比较多题目后，你就要每过一段时间总结一下，找出自己的解题技巧与老师（参考书）的差异。进入高级阶段之后，如果你发现很多情况下，你的解题技巧比老师（参考书）的更清晰更巧妙。琢磨命题人的思路用长时间反复、深入思考典型题目（尤其是历年考题中的思路巧妙的题目），思考命题人是从哪个角度出题的，

24、命题人目的是为了考察哪个概念和公式的，某道题目是如何从其他题目改头换面出来的。在这个过程中，你会总结出一些规律，例如：“所有类似的题目都可以转化为函数！所有同一类型的题目都可以转化为方程（组）试一下！”你总结规律时，无论自己总结出的规律多么怪异和可笑，都应记下来，并确信它们。在未来的学习中，你通过思考和练习，将某些自己总结出的不实用的或者错误的规律抛弃，把正确的有效的规律保留下来。解题思路对于数学的某一道题目，有了正确的解题思路，即使你没有做对，也算基本掌握了。反之，一道题目你即使做对了，但如果这道题目的解题思路仍然含混不清，这道题目也不算掌握。积累解题思路：每做出一道“新”题，你就要把解题思

25、路总结出来并加以记忆，这样，你就积累了一个解题思路。此外，你也可以不做题，通过“看题”，来积累解题思路，例如，看自己以前做过的题目的解题思路，看有详细解题过程的习题集的参考书，等等。有了解题思路就不必再做：除非很典型的好题目，某道题目你看一眼就马上有了正确的解题思路，就不必再做了，赶紧去做下一道题目吧！容易题的解题过程：弄清楚题目的已知条件和所求的结果后，思考出如何从已知条件推出结果，或者如何从结构推出已知条件，就是找到解题思路了，把解题思路用公式、文字等表述出来，题目就算解决了。题目做完后总结解题思路：题目解出之后，要通过思考总结出解题思路和解题技巧的规律，然后把这些解题规律记在脑子里和笔记

26、本中，规律积累多了，要深入思考各种规律的深层联系，规律越来越简化和全面。只深入思考值得思考的题目如果你发现了一道你感觉很好的、很典型的题目，你想了几分钟，仍然不会做时，你就要深入思考，无论是花几十分钟甚至数个小时，都决不能轻易放弃，也不能轻易看答案、看解题过程。通过深入思考，你终于把一道典型题目做出来之后，你还要仔细总结，使解题技巧清晰化。例如，你可以总结出这道题给的条件和解题思路是怎么联系起来的；你还可以总结出如果改变条件，如何找到新的思路；你还可以总结出这道题目是如何借助解题技巧来运用知识点的；你还可以总结出这道题目的解题技巧能否运用到其他题目中去；你还可以总结出这道题目的解题技巧中更普遍

27、的东西，找到解决所有类似题目的通用的解决方法。然后，把你总结的东西记在笔记本上。笔记本平时做题时，要把学习心得，如对某些概念和知识点的理解、自己总结的解题技巧等等，记在笔记本上，如“此类题型可以先用替换法尝试，如果不行，就用数形变换的方法，如果还是不行，就转化为方程。”这样，你更容易形成解题技巧的体系。知识点和解题技巧：做完一道典型题目后，你要把题目所运用和对应的知识点，如概念、公式、定理记在笔记本上。把这类题目的解题技巧记在笔记本上。解题技巧的系统化和简化：把你自己总结的和从老师、参考书上积累的解题技巧记在笔记本上，解题技巧积累到一定程度，你就应该进行系统化：把重复的解题技巧合并起来，把无用

28、的解题技巧抛弃，把类似的解题技巧简化，把相关的解题技巧联系起来。最终，你要达到这样一个境界：所有的基本题、多数中等题、典型的难题和综合题的解题技巧都掌握的非常清晰、非常系统，并且通过使合并、抛弃、简化、联系，使解题技巧的数量达到最小。必须使用的方法、可以选择使用的方法、一定不能使用的方法：每隔一段时间，你要把以前做过的典型题目放在一起深入思考，找出相同的规律。你既要找出解决某类问题必须使用的方法，也要找出可以选择的其他方法，还要找出一定不能使用的方法。这些规律可以用一、两句话记在笔记本上。回忆再现（主要适用于已经形成解题技巧体系、数学处于高级阶段者） 有的人，考试时稍微紧张时，就不能做出本来应

29、该能做出来的题目，记住以前做过的题目的最好的学习方法就是“回忆再现”。 你要经常回忆再现你以前做过的题目，回忆再现你已经形成的解题技巧体系外。此外，你还要： 从整体上找出思维上的漏洞、混乱之处。好的数学老师、好的参考书，会形成一套完整、清晰的解题技巧和解题思路的知识体系。抽出专门的时间，借助某些典型题目，从整体上回忆、找出自己思维上的漏洞、混乱之处。 经常回忆再现笔记本上的内容。 建立题库题库：随意练之后，你可以把笔记本、课本、参考书上的典型的、解题思路变化多的、解题技巧妙的、自己经常做错的题目收集起来，用剪刀、胶水和大本子做成一个题库，以备随时复习，随时思考，随时总结回忆。利用最新技术建立题

30、库：如果你的经济实力强，对新技术使用能力强，你可以借助计算机网络、电脑、数码相机、复印机等软硬件，就能很快建立起自己的题库，这样，更容易找到自己想做的习题。你甚至可以自己编写一些计算机程序和数据库，更方便归类和搜索。常见的数学解题方法记忆、总结一些常见的数学解题方法，对某些人来说，是有效的，但你必须把这些解题方法运用到具体的题目中，并自己总结出清晰的、确切的、完整的解题技巧体系。常见的数学解题方法有：配方法、换元法、消去法、待定系数法、数学归纳法、转化为三角、转化为方程（组）、拆分与组合、变量代换、构造平面几何图形，反证法，从结论出发进行逆推、找出隐含条件、由特殊到一般、由一般到特殊、利用三角

31、、直线、圆的特性解方程和方程组、利用方程和方程组解决解析几何、类比、用物理学的基本原理解某些数学题、整体代换、局部代换、对称代换、逆向代换、构造恒等式、构造方程、构造函数、构造数列、构造复数、构造几何图形、构造物理模型、构造解析模型、用几何解代数、用代数解几何、用几何解三角、用三角解几何逆用公式等。但是，随着你做的题目越来越多，随着你数学的进阶，你要越来越淡化这些解题方法，不断强化“题感”。只有这样，你考试时，才能又快又准又灵活。深入思考长长练、深入思考无间隙（适用于数学处于高级阶段者） 由于数学的高度抽象性，很多人在学习其他课程时，如果突然转到数学，往往不易很快把思维转换到要解决的数学问题上

32、。通过“深入思考长长练”这种方法、养成深入思考无间隙的习惯等等，能很好的提高思维转换速度。 有时，在做某道数学题时，你会突然想到某些以前做过的其他习题。这时，你可以先把其他习题记在笔记本上，等做完了正在做的题目，再仔细思考其他习题。有时，你会发现它们的深层联系。高级方法把握数学核心思想数学的特征一旦把握了某门课程的核心思想，这门课程往往会学习的非常好。数学也不例外。数学的特征：高度抽象性、严格准确性、紧密逻辑性、广泛应用性、完整系统性、灵活多变性。一、高度抽象性：很多数学概念是从现实生活中抽象出来的，如连续性和不连续性等概念、无穷多和无穷小的概念等等。因此，在学习新的数学概念，深入思考以前学过

33、的某些数学概念时，你可以尝试着用你对现实生活的思考、对某些“常识”的理解来抽象出某些数学概念。例如，一个人是不连续的，但大城市下班后的人流可以看成连续的。一条直线可以看成无穷多个无穷小的点组成。养成了经常从现实中抽象出数学概念很重要这个习惯后，你就不再对数学的应用题，甚至生物、化学、物理的应用题感到害怕了。因为在你的心目中，抽象的东西不过如此。数学的高度抽象性决定了它只是反映了事物的某一个方面，这要求我们在做数学应用题时，你要善于将事物具备数学特征的东西抽象出来，而不要被其他的东西所迷惑。 二、严格准确性：数学的严格准确性决定了你必须做相当数量的习题，而且，对于某些题目，你还要反复训练，确保解

34、题步骤和答案准确无误。三、数学的高度抽象性和严密逻辑性决定了我们在面对数学难题时，碰到较难理解的数学概念时，必须深入思考；而且，有时，你必须加大学习强度和提高“狠劲”。四、广泛应用性：数学本身的抽象的数学体系推导出的纯理论的东西，仍然会在现实生活中得到应用：日常生活中经常使用最普通的数学概念和结论；“精确科学”如力学、物理学、天文学等等都是用公式来表达自己的定律，都很深刻、很广泛的应用了数学；化学、地理、生物、经济学等等学科也在不同程上应用了数学。因此，你要经常思考如何用数学解决物理、新技术、生物、化学等。五、数学的完整系统性决定了你要想学好数学，就必须形成完整的知识体系和解题技巧的体系。六、

35、数学的灵活多变性决定了你要想学好数学，就要不断的精炼和简化你大脑中的数学体系，并寻求“一题多解、多题一解”的方法，甚至“自己出题”。高级方法养成用数学思维思考的习惯（适用于数学处于高级阶段或者学习数学的时间比较充裕的人）数学具备高度抽象性、严格准确性、紧密逻辑性等特性，养成用数学思维思考问题的习惯，学会把自己的思维变成数学思维，你的数学会非常好。这要求你在平时细心体会并不断训练。经常抽象出数学概念很重要，你不断从现实生活、从某些“常识”中抽象出某些数学概念，养成了这个习惯后，你就不再对数学的应用题，甚至生物、化学、物理的应用题感到害怕了。因为在你的心目中，抽象的东西不过如此。 数学的广泛应用性

36、，你要养成如何用数学工具解决物理、新技术、生物、化学等问题的习惯，这样，你对数学工具的运用就会越来越精确，你的反应就会越来越快。课本上的某些不要求掌握其证明过程的公式、定理可以自己尝试着证明一下，即使证明不出来，也有助于你养成用数学思维思考问题的习惯。 6.2.6.形成框架、形成知识体系、形成解题技巧体系-6.2.6.1.定义：形成解题技巧体系积累了一定量的解题思路、题型、解题技巧之后，不断总结、回忆和深入思考，把不同的解题技巧的“联系”和区别找出来，并进行梳理，慢慢的，你就会形成解题技巧体系。形成了解题技巧体系之后，再通过一题多解、多题一解、自己出题、小题大做等方法，不断补充解题技巧体系、简

37、化解题技巧体系，这样，你在考试时，碰到“新”题，就可以迅速找到对应的解题技巧了。 -6.2.6.2.为什么？对于数学，为什么要形成整体框架、形成知识体系、形成解题技巧体系？因为，要学好数学，就必须做相当数量的习题，但是，你不可能做完所有的数学题。你做完一定量的数学题目、数学进入中级阶段之后，通过形成框架、形成知识体系和解题技巧体系，就可以做尽量少的题目，取得尽量大的进步。 -6.2.6.3.方法初步形成数学的知识体系通过“快速浏览”、“反复训练”、“总结”、“回忆再现”等各种学习方法，形成完整的基本概念、定理、公式的整体框架或知识体系。形成数学的基本解题技巧体系形成基本题目的解题思路、解题技巧

38、、考试技巧的整体框架或完整体系。水平高的老师（或参考书），能帮助你很快的形成基本的体系，但要真正形成自己的体系，还必须自己来。找出知识点的联系通过把学过的知识点，如概念、公式等放在一起记忆，总结以前做过的题目所运用的知识点，找出知识点的联系。例如，找出课本上不同章节的公式的联系，从某个基本公式推导出另外的公式等等，逐步形成数学的知识体系。寻找不同题目的联系某些看似完全不同的题目，可能有深层的联系，可能采用了同样的解题技巧，也可能与相同的知识点相关。总结以前做过的题目，思考某些典型题目和综合题目的解题技巧的共同之处，等等，就能逐步形成数学的解题技巧体系。一般的，形成解题技巧体系之后，你总结出的深

39、层的联系越多，总结出越多的不同题目的相同解题技巧，你的解题技巧体系就越简化，你考试时做题速度就越快。借助参考书形成解题技巧体系有些参考书会总结出一些很好的解题技巧、方法和规律，在看这些参考书时，你应该用它们启发自己的思路，借助它们形成自己的体系，而不是被动的接受。有些参考书，通过题型、套路等形式，总结出了完整的数学解题技巧体系，这些参考书能帮助你形成解题技巧体系。再好的参考书，总结的再好，但总是不如你自己总结的好。这是因为，自己总结出解题技巧，你就积累了解题经验，你就感悟到如何灵活运用数学，体味到数学的变化，并记准一些东西。根据做题的量，对数学题目进行分类对于一个高考者，数学解题技巧是一个“无

40、穷多”的东西，如果你无选择的大量做练习，妄图可以做完所有的习题，从而考试时所有的题目都“见”过，是很愚蠢的学习方法。有两种方法，可以使数学非常好：一种是，你有选择的做一定数量的习题，在做题时深入思考，做完题目后仔细总结。随着做练习的积累，解题技巧就不断积累，于是，你不断调整要做习题的难度和类型，使自己做尽量少的题目掌握尽量多的解题技巧。这样，就逐步掌握了高考范围的各种类型题目的解题套路和解题方法，最终，就形成了完整的解题技巧体系。这种方法适合于大多数人。另外一种方法随心所欲的做习题，在做习题的过程中自然形成了一套有效的完整的解题技巧体系，这种方法只适合于极少数数学已经达到很高境界的人，例如，受

41、过长期系统的数学竞赛、数学智力等训练的人，对于一般人，使用这种方法，很容易自己把自己弄乱。从解题技巧的角度，对数学题进行分类从解题技巧的角度，可以把所有的数学题目分为四类：第一类题目：直接用概念和知识点，不必借助任何解题技巧就可以做出的题目。 对于这类题目，你就不必再寻求解题技巧了。第二类题目：采用“通用”的解题技巧可以做出的题目。对于此类题目，只要你记住了通用的解题技巧，你就可以把所有的同类题目做出来了。对于此类题目，你无需记忆其他的解题技巧，你只需熟练掌握这些通用的解题技巧就可以了。 第三类题目：必须使用固定的解题技巧才能做出来。这类题目，如果你找不到固定的解题技巧，你是无法做出这些题目的

42、。对于此类题目，你必须把这些习题对应的解题技巧记住。第四类题目：无法找到固定的解题技巧，或者很难总结出明显的解题技巧。对于此类题目，有的题目实际上是另外的题目的条件略有变化而产生的题目，有的题目则是综合题目，有的则是灵活性很大的题目。对于此类题目，你要靠猜测、尝试和“题感”，例如用类似的解题技巧尝试一下。各种解题技巧要均衡对于上面说的第四类题目，你只能靠猜测、尝试和“题感”了。一般的，你往往要把很多解题技巧逐一尝试，才能做出第四类题目，这时，就要求你把各种解题技巧掌握的都很均衡。有些人，擅长使用某些解题技巧，而另外一些解题技巧，就掌握的很不好。例如，你善于使用“类比”、“逆推”等解题技巧，而另

43、外一些解题技巧，如“代换”、“数形变换”等，掌握的不好。这样，考试时，你就总是尝试几种你擅长的解题技巧，而想不到或者运用不好那些不熟悉的解题技巧。因此，你要想把第四类题目做出来，就要把各种基本的解题技巧都运用的很熟练。对于掌握的不好的解题技巧，要强化训练；对于已经很熟练的解题技巧，就不必再强化训练了。你擅长各种解题技巧，虽然你不可能把各种解题技巧都掌握的非常好，但至少要掌握的都不很差。这样，考试时，碰到不会做的题目，你就可以把各种解题技巧逐一尝试，由于你掌握的解题技巧很均衡，你就更容易找到对应的解题技巧。到了后来，能与武士抗衡的人越来越少。虽然武士的拳头不是最快的，腿也不是最硬的，刀法也不是最

44、好的，暗器也不是最准的，但他的拳、腿、刀、暗器都不错，各个方面很均衡。所以，武士碰到刀法很好的敌人，也能应付，而且再加上几腿，对方往往就吃不消了，因为对方虽然刀法好，但腿不行。“一题多解”、“多题一解”“一题多解”和“多题一解”的目的，是在你已经掌握了各种题型的应该使用的解题技巧之后，碰到一些仍然无法做出的题目，你可以用联想到类似的解题技巧去解出某些题目。一般的，对于可以直接运用知识点，用“通用”的方法可以解出的题目，你何必再寻求一题多解呢？的确，你又掌握了一种新的解题技巧，但这种解题技巧很少用的上，结果，你把“通用”的解题技巧给忘掉了。因此，一般的，第一、第二、第三类题目，不必采用“一题多解

45、”和“多题一解”进行训练；只有第四种类型题目，才有必要进行“一题多解”和“多题一解”训练。少见和怪异的解题技巧，不要理会有时，你会碰到一些很怪异的解题技巧、很少见的解题技巧。这些解题技巧能解出某道题目，往往是个特例，并没有太多的普遍的意义，你就不要理会了。喜欢怪路子的参考书有些参考书，不提供给你“通用”和基本的解题技巧，却提供一些少见的甚至很怪异的解题技巧。而有些人，看到题目时，自己不先做一下，就看书中的解题技巧，然后就把这些解题技巧记在脑子了。这样，怪异的解题技巧积累多了，你往往会越来越混乱。 -6.2.6.4.为什么做了很多题目，还不能形成解题技巧体系?要形成解题技巧体系，你必须要做一定数

46、量的习题，你连最基本的知识点和最基本的解题技巧都没有掌握，你怎么可能形成解题技巧体系呢？但是，即使你做了很多题目，如果你不总结，你也不能形成解题技巧体系。即使你做了很多题目，也经常总结，但解题策略不对，也往往很难形成解题技巧体系。练习积累到一定的量，你就要总结，一方面，总结出各种解题技巧，总结出解题技巧之间的联系。另一方面，制定出下一步做题策略：到底该做哪些题目？例如，仔细总结，你会发现，其实你做了很多没用的题目。例如，有类题目用“通用”的解题技巧就可以做出来，但你却记忆了一些很怪异的解题技巧；有些解题技巧你已经掌握的非常熟练了，不必再训练了，你却又做了很多题目，其实这些题目还是只用了那么几个

47、解题技巧。你的记忆能力是有限的，你的学习时间也是有限的，你多记忆了一些不该记忆的东西，该记忆的东西就少了。 -6.2.6.5.简化解题技巧的体系 （适用于已经形成解题技巧体系、数学处于高级阶段者） 已经形成了解题技巧体系之后，例如形成了较完整的高中数学的解题技巧体系之后，或者形成了高中数学的某部分知识如平面几何的解题技巧体系之后，你就可以简化解题技巧体系。一般的，形成了完整的解题技巧的体系后，你的灵活运用的能力就大大增强了。而简化知识体系，使你需要记忆的东西更少，你的反应更快，直觉更强。具体方法：“总结”、“回忆再现”，“多题一解、一题多解”等等。策略：把很少用、很怪异的解题技巧剔除掉（从笔记

48、本中划掉、大脑不再记忆，就是剔除掉），把相同的解题技巧合并，把复杂的解题技巧简化，把基本解题技巧进一步熟练，把“通用”的解题技巧运用的非常准确，把必须使用特定解题技巧的题型记忆的非常精确。 6.2.7.数学练习的具体方法-数学练习的初级方法看题 （主要适用于数学处于初级阶段者）（也适用于物理、化学、地理、生物等课程）数学处于初级阶段者，可以不做题目，快速浏览一些题目的解题过程和步骤，总结出这些题目是如何运用知识点，如何借助解题技巧的。“看题”的过程中，有了心得，就要记在笔记本上，以备后来翻阅。 “看题”的过程中，碰到不懂的概念和知识点，要赶紧回头看课本、看参考书，或者请教老师和同学。“看题”的

49、过程中，发现了非常好的、非常典型的题目，你要强行记忆下来，并记在笔记本上，以备以后随时复习。达到一定的量：看而不做，是学习强度很低的学习方法，因此，要产生效果，就必须达到一定的量。一般说来，不坚持看几十道到上百道题目，你是不会找到感觉的。记住，在学习的初级阶段，延长学习时间，加大学习的量，往往是必经之路。要看好题：如果你的数学老师水平很高，你只要反复看老师的题目就可以了。但你以前的东西可能掌握的不好，因此，在反复看了老师的东西之后，你应该找几本好的参考书，看以前学过但你没有掌握的、或者掌握的不好的部分的题目。例如，你在学习方程组时，发现好多代数、几何、三角的知识都不会，你应该回过头去看这些方面

50、的题目。物理、化学、地理、生物：不同学科可以采用相同的学习方法。本方法可以运用到物理、化学、地理、生物等课程上。 -数学练习的初级方法看练（主要适用于数学处于初级阶段者） 如果你光看例题而不做题，那么，看例题时似乎理解了，但考试时仍然会感觉无从下手。自己独立做题是学好数学的前提。但对于数学处于初级阶段者，“看练”也是一种很有效的学习方法。从历年考题、课本、参考书中选择难度适宜的有详细解题过程的习题，先看看解题过程，找出与这道题目相关的知识点，凡是不清楚的知识点一定要返回到课本，将这些知识弄清楚。然后自己独立往下做这道题目，尽量想，碰到哪一步实在做不出来时，才看具体的解题步骤。只看自己“卡壳”的那一步，后面的步骤不要看。等自己把“卡壳”的那步弄明白了之后，再接着往下做，又碰到实在想不出来的地方时，再看书。一遍完后，若其中还有必须看原题的解题步骤才能做下去的地方，那就需要来第二遍，直至可以独立完整地将这道题做下来时，才算完成。这道题做顺