高考数学文化题目的命制背景及年新课标数学试卷的对策：浅谈高中数学新旧教材中有关数学文化内容的对比分析及年新课标试卷预测

1、高中数学新旧教材中有关数学文化内容的对比分析 目 录第1章 引言11.1 研究背景11.1.1 新课程改革特别强调数学文化的教育理念11.1.2 高中一线教师对数学文化的认识现状11.2 研究的意义21.3 国内外数学教材中有关数学文化内容的研究综述21.3.1 国外研究现状21.3.2 国内研究现状31.4 研究的方法4第2章 数学文化概述52.1 数学文化的界定52.1.1 文化与数学文化52.1.2 数学文化的内涵62.2 高中数学教材中数学文化的主要内容82.2.1 对数学的认识82.2.2 数学的知识和语言92.2.3 数学思想方法112.2.4 数学史122.2.5 数学的价值13

2、2.2.6 数学与日常生活、社会及其他学科的联系14第3章人教版新旧高中数学教材中数学文化内容编写情况的对比研究173.1 人教版新旧教材关于“数学文化”的教学目标的对比173.1.1 对“数学的认识”的比较173.1.2 对“数学知识、思想方法”要求的比较173.1.3 对“数学语言、数学与实际的联系”要求的比较183.1.4 对“数学价值”要求的比较193.2 人教版新旧教材关于“数学文化”的教学内容的对比193.2.1 教学内容的变化情况193.2.2 从数学文化角度对增加和强化的教学内容的分析213.2.3 从数学文化角度对删减和淡化的教学内容的分析233.2.4 从数学文化角度对移动

3、的教学内容的分析243.3 人教版新旧教材关于“数学文化”的例题、习题的对比263.3.1 统计结果263.3.2 统计结果分析273.4 人教版新旧教材内容关于“数学文化”的呈现方式的对比283.4.1 封面设计比较283.4.2 前言设计比较293.4.3 章头设计比较303.4.3.1 章头图303.4.3.2 章头引言313.4.4 概念引入比较323.4.5 栏目设置比较343.4.5.1 栏目列表343.4.5.2 两版教材栏目比较343.5 对比研究的结论39第4章 反思与建议414.1 反思414.2 教学建议41第1章 引言1.1 研究背景1.1.1 新课程改革特别强调数学文

4、化的教育理念 2004年开始试行的普通高中数学课程改革，自2010年9月已在全国全面展开。本次数学课程改革特别强调了数学文化的理念，认为在数学教育的全过程充分体现数学文化的本质是实现数学素质教育目标必不可少的途径。 2017年新发布的关于2017年普通高考考试大纲数学修订内容。针对数学文化，相信听到这个词大家一定会比较迷惑：考什么？怎样考？首先从他的意义谈起：（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.（2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.1.1

5、.2 高中一线教师对数学文化的认识现状虽然我国的教育专家、学者从20世纪80年代就开始研究数学文化，但对一线的数学教师来说，数学文化还是一个模糊甚至陌生的概念。吴梅俏1等人采用问卷调查、访谈两种方式分地区、教龄、学历对80多位高中数学教师的数学文化观念及教学现状进行了调查和分析，得出如下结论：一、教师普遍对数学文化重视不够，而与教师的来源学校、学历、教龄无显著相关；二、教师对数学文化缺乏了解，很多教师仅仅将数学文化等同于数学史；三、对数学文化的教育理念认识欠缺。调查显示，对数学文化感兴趣的只有21.04%，对“数学文化”较为熟悉仅占17.1%，而绝大多数都不太感兴趣，也不了解；四、教师对数学文

6、化教育的认同感较高，但教学信心不足。对数学文化的教学现状的调查显示，认识到数学文化作用的老师已达74.2%，但认为操作很难和不知怎么操作的人却达到88.6%。浙江师范大学金益洪、张维忠等人通过对浙江省105名高中数学教师进行问卷测量，也得出类似的结论：教师对数学文化。因此，尽管新课程改革已经使大多数教师意识到了数学文化的作用，但是数学文化对于大多数一线教师来说，还是一个模糊的概念，每个人心中都有自己的看法，但又不能确切知道它的具体含义，更谈不上在实践中体现数学文化的教育价值。综上，让一线教师深入而系统地了解数学文化是新课程改革顺利进行的当务之急。目前，关于数学文化的研究和讨论越来越多，但往往倾

7、向于其学术层面，特别是对数学文化概念的思辨分析，很少落实到具体的教材中。基于一线教师本身工作任务重，理论修养还不高的实际情形，很多研究的结论和建议不免缺少可操作性。高中数学新课程标准（实验）在教材编写建议部分指出：“在教材编写中，应将数学的文化价值渗透在各部分内容中”。因此，系统地分析高中数学教材中数学文化的内容不失为让一线教师省时省力了解数学文化的一个好途径。而大多数高中一线教师对旧教材比较熟悉，其教材处理的方式也臻于成熟，在面对新理念指导下编写的新教材时，容易出现“穿新鞋走老路”的情形，因此，对比旧教材（人教03版），对新教材中关于数学文化的内容的变化情况进行研究，更容易让教师理解什么是数

8、学文化，新教材在哪些地方、从哪些方面加强了数学文化。1.2 研究的意义首先，本研究的工作之一在于清楚界定高中教材中的数学文化内容，以期为高中一线教师认识数学文化内容、在教学实践中落实数学文化教学提供一点有价值的帮助。正如冯光庭在基于“体现数学的文化价值”的数学教学策略探究中所提到的：“要在数学教学过程中有效地体现数学的文化价值，并使数学教育真正成为数学文化的教育，第一要素是教师的认识问题，第二才是具体的操作问题”。 其次，本研究的工作之二在于分析比较新旧两版教材在数学文化内容编写情况方面的异同，以期让教师更深入地了解人教A版教材与03版教材的差异：深入认识新教材的编写理念，避免“穿新鞋走老路”

9、的错误教材处理方式。最后，虽然数学文化是近几年来研究的热点问题，但关于数学文化的概念一直未有统一的认识，对数学文化的研究也缺乏成熟的路径。本研究试图清楚界定数学文化的内涵，并结合高中教育的特点，界定出高中教材中主要的数学文化内容，为教材中数学文化的研究提供新的方向。1.3 国内外数学教材中有关数学文化内容的研究综述自美国学者怀尔德在作为文化系统的数学一书中提出数学文化的概念，强调其他文化对数学发展的重要影响之后，数学文化就引起世界各国的学者专家的高度重视。各国纷纷对数学课程进行改革，提出的数学课程目标虽然侧重不同，但反映出的共同特点在于：注重问题解决、数学应用、数学交流、数学思想方法和学生的情

10、感态度。虽然没有直接给出数学文化，但从某种意义上来说，它们统一于数学文化，反映在数学文化的内涵中。对教材中数学文化的研究，起始于最近几年,研究成果相对较少。1.3.1 国外研究现状新加坡朱燕、范良火于2006年对比分析了中美两国初中数学教材中有关问题描述的差异性，致力于改进数学教材中的数学问题表征，使其更有利于学生学习。另外，在2007年他们对比分析了中国、新加坡和美国三个国家初中数学教材中关于问题解决的程序的描述。土耳其学者DEDE于2006年通过分析六七年级数学教材的内容，研究教材中的价值取向问题，得出六、七年级数学教材更重视数学价值中的理性、集中和开放的价值观。虽然以上研究中并没有直接使

11、用“数学文化”一词，但是很显然，问题描述、问题解决的程序、数学价值都是数学文化的一部分。1.3.2 国内研究现状我国针对教材中数学文化内容的研究起始于2001年开始的课程改革，主要的研究成果有：小学教材方面：孙卫红通过调查研究小学生学习西师版新教材中“数学文化”的效果，得出小学数学新教材中的“数学文化”以连环画的形式出现，生动有趣，有利于提高学生的学习兴趣、拓展学生的视野和激励学生学好数学，深受学生欢迎。在另一项研究中，她对数学文化在西师版小学教材中的编写设计情况作了研究，将教材中的数学文化分为显性呈现和隐性呈现，并采取案例举样进行分析。同样，陈倩也对小学数学新教材中“数学文化”的编写作了一些

12、探索和分析，并给出实施建议。王九红根据素材内容，将小学教材中“你知道吗”这个栏目分为数学史、数学知识介绍、生活中的数学、生活常识与信息四个方面，对四个版本的教材进行统计与分析，并给出教材编写建议。初中教材方面：赵青蕾通过对初中教材中“读一读”栏目中的素材进行分析，认为初中数学教材中的数学文化主要体现在数学史料的介绍、与其他学科的联系、现代信息技术和数学游戏四个方面。王小燕采用文本分析法研究分析了华东师大版的初中数学教材在数学文化渗透方面的情况,认为该套教材在体现数学文化方面做了许多有益的尝试，提供的素材有益于学生数学文化观的培养。李开慧等人采用对比分析法对中国和新加坡、美国初中数学教材中的数学

13、史内容作了研究。廖运章等人通过对95名教师和470名初中生进行以“读一读”为主要内容的“数学文化教育”调查，得出“读一读”的不完善之处，并提出相应的教材编写建议。贾金平通过在调查初中学生和教师对数学文化认知的基础上，对新课标四个版本初中教材中的数学文化内容的数量和分布进行了比较研究，得出四个版本在体现人文价值和应用价值的数学文化内容结构基本相似，但新版本都首先重视数学联系日常生活，其次是社会，最后是其他学科，并且内容比旧版教材更丰富。高中教材方面：章勤琼等人采用文本分析法对新版高中数学教材中的数学文化进行研究，将教材中的数学文化分为体现科学价值、应用价值、人文价值和美学价值的内容，并得出教材中

14、所选取的数学文化的类别是跟数学内容相关的。张国良、陈丽琴认为相对于旧教材，苏教版高中教材更重视数学文化，教材的所有栏目构成一个完整的体系，注重数学的应用价值和文化价值，并通过例子得出从数学史，图片，引言和阅读材料，链接知识和探究、实习作业四个方面开发和利用教材中的人文资源。陆书环、张蕾对人教A版和日本现行高中教材中数学史与教材内容的整合情况作了对比分析研究，认为在数学史与教材内容的整合过程中，我国教材比较强调数学史的人文价值，但要适当削弱数学史与数学课程整合方式的形式化，加强数学史与人类生活关系之间的介绍。以上的研究都是国内外学者对教材中的数学文化内容进行的研究，可以看出，其研究方法主要有：一

15、、采取文献法、文本比较法对教材内容进行分析；二、通过调查法和座谈法，了解教材中的数学文化情况。而研究的对象主要采取选取教材中某一栏目或选取数学文化某一内容（如数学史）进行研究，很少有对教材中的数学文化内容进行全面、系统的研究成果，更不用说教材间的比较研究。因此有必要从这个角度对高中新旧数学教材中的数学文化内容进行研究。1.4 研究的方法首先，本研究采用文献分析法，对数学文化的相关研究资料进行整理、分析，梳理出数学文化的内涵，然后结合高中教育的基础性、高中教师理论基础薄弱的现状以及高中生的心理特点，给出高中教材中主要的数学文化。其次，本研究采用文本分析法和比较研究法对人教03版教材和人教A版（必

16、修）教材中的数学文化内容进行对比分析，定性研究与定量研究相结合，分析两版教材中数学文化内容编写情况的异同。第2章 数学文化概述2.1 数学文化的界定2.1.1 文化与数学文化“文化”一词，从古至今，有不少中外学者都试图给出一个确定的概念。然而，迄今为止仍没有获得一个公认的、令人满意的定义。更有学者认为，“文化”是一个模糊的概念，它犹如许多细胞构成的一个整体，边缘不整齐，内涵不确定，外延也就不确定。因此也只能暂时给出一个模糊的、不完全确定的定义。然而，纵观“文化”的诸多概念，虽然表述各异，但从文化的外延来看，不难分为广义和狭义两种理解。一般来说，广义的文化是指“人类社会实践过程中所创造物质财富和

17、精神财富的总和”。是相对于自然而言的，即把一切非自然的，由人类所创造的事物或对象看成是文化。狭义的文化19主要有两种理解：是指“社会的意识形态, 及其所适应的社会制度与社会组织机构”,如文化观念,文化团体等词语中的文化即具有这一意义。可见，狭义的文化强调的是文化的精神特性，即文化对人的行为、观念、态度和精神等方面的影响。是泛指一般的知识，如文学、艺术、教育、科学等。数学是研究空间形式和数量关系的科学，其研究对象并不是物质世界的真实存在，而是人类思维的产物。例如，数学中的数，并不是客观存在的，而是人类在长期的社会实践过程中，从“一只羊”、“二个人”、“三棵树”中抽象出来的描述事物某一共同属性的东

18、西,属于人类抽象思维的结果。又如数学中的点、线、面，世界上并不存在没有部分的那种东西，即“点”，也不存在两端无限延伸，没有粗细的同其中各点看齐的“线”，更不存在只有长度和宽度的那种东西，即“面”。它们都是为了描述某一属性而抽象出来的东西，从这个角度来说，数学是人类创造的，而非自然所有，因而数学是一种文化。从狭义的文化来讲，首先，数学是一门科学知识，这是一个不争的事实,因而数学是一种文化。其次，作为意识形态的数学，它的思想、精神对整个人类文明产生了重大的影响，深刻地改变了人类的世界观。在西方，数学的理性精神一直在思想意识层面对人类文化的变革发挥着主导作用。欧几里得坚信万物的根本关系就是数量关系，

19、上帝就是按照这个数量关系来设计世界的。因此，找到这个数量关系就找到了现实世界通往神的道路，就可以知道上帝的本性和行为以及上帝安排宇宙的方案。于是他设定空间之物皆存在的“点、线、面、角”为一切存在的始基，利用很少的自明公理、定义，推演出四百余个命题，成为人类理性丰碑，也完成了人类第一次对空间的认识。从此，“上帝是位几何学家”的观念响了几个世纪，使人们开始以理性的精神探索宇宙的奥妙，在一定程度上使人类脱离了原始的盲目崇拜，使其从宗教的严格束缚下不断解脱出来。正因为如此，我国齐民友先生在数学与文化一书中将数学视为一种精神理性精神，并把数学作为一门科学的产生和发展的过程看做是“人类理性的觉醒”的过程。

20、他将数学对人类精神生活的深刻影响概括为：“它大大地促进了人的思想解放，提高与丰富了人类的整个精神水平”。无独有偶，李文林先生也将数学概括为一种精神“对理性与完美的追求”为要素的探索精神。他说：“数学由于其不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性而往往成为思想解放的决定性武器。”21因此,从这个角度来说,数学对人类的行为、观念、精神和态度产生了极大的影响，因而数学也是一种文化。因此，无论是从数学非自然的属性，还是从对思想意识层面的影响来讲，数学都是作为一种文化而存在，是一种特殊的文化，即“数学文化”。它是人类文化系统中的一个子系统，是人类文化的有机组成部分，与其他各种成分密切相关，并在相互影响

21、中共同发展。因此，数学文化的含意不仅仅是指把数学看成文化，而且是指把数学放在文化背景下加以考察。传统的数学观将数学视为独立的、封闭的知识体系，盲目追求知识形态的形式化，使数学出现了脱离一般文化的孤立主义倾向。而数学作为一种文化 ,必然地与其余文化有着密切的联系 , 这就决定了对数学的认识绝不能仅仅停留在内部将数学视为知识 ,孤立地看待数学 ,而应该将数学放在文化系统中 ,与其余文化联系起来加以考察。2.1.2 数学文化的内涵基于文化概念的难以界定，数学文化的定义也没有达成统一的共识，许多学者从不同的认识角度纷纷给出了数学文化不同的解释。总的来说，主要基于广义的或狭义的文化概念来界定数学文化的内

22、涵，只是偏重不一样而已。国内主要有以下几种比较有代表性的观点：以系统的观点来揭示数学文化的内涵。这种观点认为“数学文化可以表述为以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统。”这种观点将数学视为人类文化系统的有机组成部分，强调数学与其他子文化系统之间的相互作用，并将数学文化的基本要素分为数学科学体系本身和相关文化系统（即数学与其他文化系统之间的联系）两个。从课程论的角度来揭示数学文化的内涵。这种观点认为“数学文化是指人类在数学行为活动中所创造的物质产品和精神产品，物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和

23、数学语言等知识性成分；而精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分。”这种观点是从数学系统内部将数学文化的基本要素分为物质产品和精神产品两类，不强调数学与外部的联系性，属于一种静态的数学文化界定。从数学文化的活动主体来揭示数学文化的内涵。这种观点认为数学在长期的发展过程中已经发展为一种跨越地域和民族界限的文化。“数学家在创造数学文化的同时，也在创造和改造着自身。在长期的数学活动中形成具有鲜明特征的共同的生活方式（这种方式是数学观念成分所制约的），并形成了一个相对固定的文化群体数学共同体（数学文化的主体）。”这个观点内部又有两种看法：一种认为数学文化即是指“数学家的行为方式”即

24、数学家在长期的数学活动中所特有的行为、观念、态度和精神等，偏重数学文化的精神特性。另一种认为数学文化是数学家在长期的数学活动中所创造的文明成果，包括知识性成分和观念性成分，物质与精神并重。总的来说，这种观点从数学活动的角度，提出数学文化的主体数学家，认为数学文化是由数学家创造的。我们认为仅仅将数学共同体局限为数学家，忽视了数学的传播和应用、数学与人类文化的联系，比如民俗数学这些数学在应用过程中沉淀起来的民间智慧等是不妥当的。从数学的精神方面来揭示数学文化的内涵。这种观点认为“数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面它既包括对于人的观念、思想和思

25、维方式的一种潜移默化的作用，对于人的思维的训练功能和发展人的创造性思维的功能，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等。”这种观点强调数学文化的历史性和精神性，以及教育价值。具体表现为：一方面从数学发展史的角度强调数学对人类的观念、思想和思维方式等精神性方面产生的重大影响，另一方面强调数学活动过程中所体现出来的数学精神。比较有代表的学者有齐民友先生的“数学就是一种理性精神”、李文林的“数学就是一种对理性和完美的追求为要素的探索精神”等观点。综合以上几种观点，我们认为数学文化的内涵应包括以下几点：（1）数学文化的内涵应反映数学文化的历史性。数学总是在一定

26、的人类文化背景之下产生和发展起来的，数学的产生很大程度上依赖于生产和生活实际的需要，因而不可避免地受大文化背景的制约，同时作用于整个人类文化。此外，数学不同于其他学科，它是一个连续的发展整体，新的知识总是在旧的知识的基础之上发展起来，因而就数学体系内部也表现出一种历史的关联性。（2）数学文化的内涵应反映数学文化的主体性。数学总是与人类活动紧密相连，这也就决定了数学活动的主体是从事与数学密切相关的活动的社会群体数学共同体，从数学的产生、发展、完善、应用和传播的过程中，都集中体现了相关社会群体的智慧，因而我们认为数学共同体不仅包括数学家，还包括数学教育工作者、从事数学转化与应用的相关人员以及数学学

27、习者。（3）数学文化的内涵包括以某种载体或形式体现出来的物质范畴和精神范畴。物质范畴主要是指以物质形式存在的，如数学命题、数学语言和数学方法等知识性成分。精神范畴只要是指以精神形式存在的，如数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分。（4）数学文化的内涵应是一个动态的文化系统。数学文化总是在一定的文化背景下，体现数学与其他文化系统相互作用的一个体系，因而在不同的历史背景下，会有不同的内涵，如数学对其他学科的作用，对社会发展的作用，社会发展对数学的推动作用等总是与具体的科学技术发展水平，以及人类的社会需求、价值取向等相关联，不同的时期表现出不同的意义和价值。因而，数学文化应是一个动态的文化

28、体系。因此，综合已有观点，以广义的文化概念为依据，我们认为，数学文化的内涵是指在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。从文化的结构层次来看，数学文化可以理解为数学体系本身，与其它科学的关系层面以及与社会生活的关系层面。因此，数学文化是一个内涵丰富，外延广阔的概念。但本研究结合高中教育的具体情况：首先，研究素材为高中教材，服务的对象主要是高中一线教师和高中生。基于高中教育乃基础性教育、高中教师的理论水平有限，以及高中学生的心理特点，作为高中教材中的数学文化内容不宜具备太深入而具体的内涵。本文认为多角度、全景式、感性地把握高中课程中的数学文化内容，

29、更有利于一线教师的接受和把握，更有利于提高学生的素质、促进学生的全面发展。其次，教材作为数学文化的一个载体，是一个相对封闭的、静态的系统，不可能完全体现出数学文化的内涵。因此，本研究认为高中教材中的数学文化内容主要包括：对数学的认识；数学史；数学的知识、语言和思想方法；数学的价值；数学与日常生活、社会及其他学科的联系。2.2 高中数学教材中数学文化的主要内容2.2.1 对数学的认识数学是什么？古往今来，许多数学家、哲学家都给出了很多精辟的见解。随着人类社会的进步和科学的发展，人们对数学的认识也不断加深，总结出数学最引人注目的特点在于它的确定性、抽象性、精确性、应用性、广泛性和它的理性美和方法美

30、。然而，要给数学下一个科学的、公认的定义绝非一件易事。南京大学的方延明教授在数学文化一书中，搜集了14种“定义”，这14种定义都有一定道理，也都有片面性，但可使我们从不同的角度考察、理解数学，现列举最主要的七种表述如下：“符号说”：数学是一种高级的符号语言。这种认识是从数学的表现形式来看的，并且认为数学因为符号而变得简洁，因为符号，脱离了具体文字的束缚，最后因为全世界符号的统一，而变成全世界通用的语言；“科学说”：数学是一门科学，是科学的皇后。这种认识是根据数学的相对独立性来说的，数学既不属于自然科学，也不属于社会或艺术类科学；“工具说”：将数学定义为工具或十分看重它的工具性，主要强调了数学学

31、科的应用性；“精神说”：认为数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性精神；“集合说”：数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述；“审美说”：数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。“模型说”：数学是研究各种形式的模型，微积分是物体运动的模型，欧式几何是现实空间的模型，非欧几何是宇宙空间的模型，主要强调数学模型法的重要性。同时，方延明教授也给出了自己的定义：“数学是研究现实世界（包含宇宙空间）中数与形之间各种模型的一门结构性科学。”作者指出这个概念主要强调：一、数学是研究现实世界的，并不是一套形而上学的空洞的理论；二、这种研究重在数与形；三、数学是一门结构性科学，这种

32、结构是指数学抽象后的模型意义和结构关系。这个定义主要吸取了马克思关于数学的认识-数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，和“结构说”的观点而成。而普通高中数学课程标准（实验）则结合“工具说”和“符号说”和马克思的观点，指出：“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。”主要强调数学的研究对象数与形，以及数学的语言性和工具性。综上，目前对数学的认识是丰富多彩的，但多数又是偏于片面的。不同的认识强调数学的不同特性，因而也会产生不同倾向的数学表现风格。这种认识反映在教材中，就体现为不同的编撰风格和素材选取，因而是教材中数学文化内容的一个重要组成。2.2.2 数

33、学的知识和语言数学知识，迄今为止，是全世界学习和应用最多的一种知识，受到比其他科学知识更特殊的尊重。它何以有如此大的魅力？爱因斯坦回答说：“一个理由就是，它的命题是绝对可靠的和无可争辩的”,也就是说，数学知识具有确定性和可靠性的特点。这可以从产生于希腊背景下的数学的研究对象和研究方法两个方面来说明。源于古希腊人永久的信念-宇宙在最深处是一个伟大的、统一的而且简单的设计图，这是一个数学设计图。因为简单、合理，因而可以被理解。对于数学研究则还要加上一点：这个世界的合理性，首先在于它可以用数学来描述。基于上面的信念，数学的研究对象不应该是具体的事物，而是某种统一的，而且永恒不变的东西，也就是今天我们

34、提到的形与量。而数学的研究方法，则需要从毫无争论的命题开始，并服从明确无误的推理规则，以达到正确的结论。这个过程，除了接受逻辑的要求和实践经验的检验外，不受任何习俗的、迷信的、权利的影响。这是一种试图用求真的态度和理性的精神来探索宇宙和人类的真面目的尝试。这个伟大的理性探索是数学知识产生、发展必不可少的文化背景，同时，数学知识中蕴含的对思维力量的要求，成为直接促进人类思想解放的巨大力量。除了数学知识确定性和可靠性以外，爱因斯坦说：“还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这种科学是达不到这种可靠性的。”这反映了数学知识的广泛应用性。数学进入一门科学的开始，就意味着这

35、门科学开始以精确的、可靠的姿态来展现自身的成果。除了自然科学，社会科学、哲学、政治，甚至神学都直接受它的影响。可以说，数学知识进入各个领域后，极大地促进了这一领域的空前发展，从而带动了整个人类文明的发展。综上，数学知识之所以是人类文化的一部分，首先在于数学知识的产生、发展的大文化背景人类追求“认识宇宙，也认识人类自己”；其次在于，数学知识本身的应用以及所蕴含的促进人类文明发展的思维力量对这个人类文化的贡献。语言是表达思想的，是人类相互交流的工具。数学语言则是人们进行数学表达和交流的工具。它是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言，一般分为符号语言、文字语言和图表语言三类。数

36、学语言具有严密性、规范性、简洁性和形式化等特点。相比于自然语言：首先，作为一门严密性、规范性的语言，它克服了自然语言容易有歧义的毛病：自然语言最难克服的就是一词多义的现象，甚至在汉语中，还会因为语气、停顿的差异而有不同的含意，如：需要相信/自己的人，需要相信自己/的人。而数学语言是准确而清晰的，它的每一个符号、术语、式子都有明确的指向，如“或”、“不小于”、“sin”的意思，数学共同体的每一个成员都有统一的认识。 其次，作为一门简洁性的语言，它能更形象、直观地反映事物的本质和变化趋势，如：勾股定理在周髀算经中的描述如下：勾股各自乘，并而开方除之得邪至日，而用数学语言就能清楚表达其意。诸如更加复

37、杂的变化图像，如股市的走势图，炮弹的轨迹等，用数学语言还能降低自然语言描述的难度。正因为如此，M.克莱因说：“数学语言的严密性和简洁性提高了思维的效率”。最后，作为一门形式化的语言，它一方面能克服了地域、民族的差异。数学语言虽然以自然语言为载体，但它是形式化语言，在形式化的方面，不随民族、地域的不同而不同，如：任何一个地方的人只要学习过数学都能明白这是平方和公式；另一方面，数学语言的形式化，避免了自然语言具体的指向，更具有一般性和概括性，如：儿歌“1只青蛙4条腿，2只眼睛，1张嘴n只青蛙4n条腿，2n只眼睛，n张嘴”，用n来指代具体的数，就达到了自然语言难以表达清楚的层面。正因为这些不同于自然

38、语言的特点，数学语言不仅大力应用于自然科学，而且社会科学和管理科学等门类中的很多概念、规律和法则等都是用数学语言来精确刻画的，如人口密度、人口增长规律等。可以预见，随着社会数学化程度的发展，数学语言作为人类创造的一种精确简约的高级语言，在人类社会交流和储存信息方面将发挥越来越大的作用。因此，对数学语言的研究，也是数学文化研究的一个重要组成部分。2.2.3 数学思想方法数学文化中的数学思想方法，主要是指数学在其发展和应用过程中解决问题的一些主要思想、途径和方法。关于数学思想、数学方法、数学思想方法的研究和论述很多，定义和分类都有不同。我们这里采用方延明教授的分类方法，从两个角度来划分:一是从数学

39、文化的辩证角度来划分，主要包括：具体和抽象、演绎和归纳、发现与证明、分析与综合;二是列举数学文化的一般性方法：类比法、归纳法、化归法、论证法、约定法、迭代法、公理法、数学模型法等等。我们选取在中学教材中常见的，但在长期的数学教育中经常被忽视的几点来重点介绍：（1）具体与抽象具体就是社会实践，是客观存在的东西。抽象，就是主观的、思维的、非原型的。恩格斯说：“全部所谓纯数学都是研究抽象的，它的一切数量严格来说都是想象的数量。”恩格斯又说：“自然界对这一切想象的数量都提供了原型。”也就说，一方面，数学是研究抽象“模型”的一门学科，但数学又绝不仅仅是纯思维的产物，而是对客观存在的高度抽象和反映，这种客

40、观存在就是恩格斯所讲的“原型”。另一方面，毕竟抽象不是原型，对抽象的符合性和科学性的特别重视就显得很必要，因此，数学需要客观存在的检验，因为只有那些在自然科学和技术中找到了应用位置的数学才有可能得到持续的发展。因此，数学是一门形式化的学科，具有高度抽象性，但无论抽象程度如何，数学在自然界中总有一定的原型，总能找到实践性的应用，并且也只有如此，才能充分说明它不仅反映了客观实际，同时也促进了社会的进步。辩证地看待数学的抽象和具体无论是对数学的发展还是应用、学习来说都显得尤为重要。（2）类比与归纳类比法和化归法，常常被统一归为合情推理，是一般数学方法中最基本、最重要的其中两个内容。德国数学家开普勒就

41、曾说：“我珍视类比胜于任何的东西”。类比法的基础是数学对象形式结构的相似或接近,基本思想是通过两个及其以上的类似对象的比较,去获得新的思路和新的发现。归纳法，就是基于从特殊到一般的推理方法。两种方法的共同特点就是“猜想”。关于猜想的重要性，波利亚有很精辟的论述：“数学家的创造性工作成果是通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映数学发明过程的话，那么应当让猜想、合情推理占有适当的位置”。而对猜想重要性的认识，一直是我国数学教育缺失的态度。这无疑是抛弃了数学那些“火热的思考”，单纯追逐直接呈现的“冰冷的美丽”，最终的结果是使大众与数学的距离越来越遥远，数学素质的提高成为一个遥远的理想。（3）数

42、学模型法所谓数学模型就是指针对或参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构。狭义地理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构。而数学模型法指的就是利用数学模型解决问题的方法。因此,数学模型法是将问题（理论的或实践的）转化成数学问题,进而研究,最后得出解决方案的一种方法。最早使用数学模型法的是中国古人，九章算术广泛采用了模型化的方法。它的各章要么由相应的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它们，然后由原型中抽象出数学模型来，要么先给出模型，然后再举出可以应用的原型。直至目前，数学模型法已广泛应用于各门科学中，并产生了深远的影

43、响。例如：1609年，开普勒通过建立太阳系行星运动的数学模型，初步证明了哥白尼的日心说；牛顿建立经典力学体系的数学模型-微积分，使微积分广泛于现代科学技术；加勒通过建立模型发现海王星，麦克斯韦建立电磁理论，预言电磁波的存在等等。因此，数学模型法是将数学转化为科学力量的重要工具，在数学发展史上具有长远的应用背景，也显示出巨大的力量，可以预测，数学模型法在将来的发展中将因更深、更多地进入各领域而得到长远的发展。基于此，我们应该特别重视这种方法的学习和应用。2.2.4 数学史所谓数学史就是研究数学产生、发展进程及其规律的一门科学。它主要包括：“关于数学的重大历史事件、重要的数学成果、重要的数学家人物

44、及影响数学发展的各种社会、政治、经济和一般文化因素。”因此，数学的发展史是在一定人类历史长河中的发展，其发展的背景、发生的重大历史事件、得出的成果和做出贡献的人物必然与整个人类文化的发展相互联系，相互促进。从这个意义上来说，整个数学史也是人类文化史的一部分，它从一个侧面反映了相应时代的人类文化。因此，数学史就是一种数学文化。“读史可以明智”，对数学史的研究，具有多方面的意义：（1）数学史是学习数学、认识数学的重要工具。它可以让我们弄清数学的概念、数学思想方法的发展过程，使我们对数学概貌有整体的把握和了解，并通过对数学过去的追溯，现在的了解，来预测数学的将来。（2）数学史是培养思维能力的好教材。

45、数学史可以还原数学家当年创造性思维的真实过程，充分展示数学家如何发现问题、提出问题和解决问题的完整过程，是培养思维能力的一部原滋原味的好教材。（3）了解数学的来源与发展。数学史记载了数学起源、发展的每一个足迹，从数学史中，我们可以看到数学起源于人类的实际生活，而数学的每一次发展无不是社会实际的需要或是数学内部的需要。（4）数学史就是一部关于精神的巨著。数学史充满艰辛的漫长进程，就是人类不断追求理性精神的历史，而数学家在追求数学真理的过程中所表现出来的探索精神、求实精神、理性精神、怀疑精神、创新精神、永不放弃的精神都能给我们以精神的洗礼。（5）提供经验教训和历史借鉴。数学的发展过程并不是一帆风顺

46、的，它的每一次挫折与奋起，都可以给我们以启示，让我们在以后的研究中少走弯路。如长达20年之久的“微积分发明权之争”，争论使欧洲科学家分成势不两立的两派：英国派和大陆派，争论使双方发展到停止学术交流，并延伸到自然科学领域。以致最终的结果是：英国派使用牛顿以几何为工具的思想，沿用不简洁的符号；大陆派使用莱布尼兹的分析法和先进符号。最终这种狭隘对抗的悲剧是英国的数学进展推迟了近100年。从这个史实我们可以看到数学交流的重要性，数学符号、数学语言的重要性，以及时刻防止思想中的狭隘主义，用一种博大、包容的科学精神对待差异和争论的重要性等。2.2.5 数学的价值张岱年先生认为：“价值的基本含义是能满足一定

47、的需要，这是功用价值；价值的更深一层含义是其本身具有优异的特性，这是内在价值。”功用价值是某种事物由于别的某事物的关系的结果而具有的价值。而内在价值是某种东西本身具有或存在的价值，它作为价值就不依存于其他事物，“人类不能去规定它，只能去利用它。在人类利用它之前，它的价值对于人类并非无”。因此,从这个角度来说，数学的价值，一方面指数学能满足人的需要的特性，一方面是指数学本身具有优异的特性。数学以其语言的通用性和方法的普适性，对日常生活和其他学科产生的影响，展示了它的科学价值；而数学在解决日常生活和其他学科中出现的问题的工具性作用，体现了它的应用价值。这二者都是依靠作用于其他学科和人类社会表现出来

48、的价值，属于工具性的价值。除了工具性价值，数学还有其内在价值：人文价值和美学价值。数学在其产生和发展的漫长历史进程中，表现出来的对人及人的文化的全面发展所具有的意义和价值，特别是指对人的生存、发展、自由和解放等所具有的意义和价值，即数学的人文价值，如数学的理性精神在人类摆脱权威、迷信、习俗，帮助人类思想解放过程中所产生的作用；数学家的求实精神、探索精神、坚持不懈的精神等这些数学共同体所放映出来的优良品质等，这些都不以我们的评价为转移，而是自数学产生之日起，就存在于数学这个体系中的优异特性。而数学的美学价值更是一种内在价值。维塞尔曾经就美是一种内在价值而举例说：“美不仅仅是人类主观的事物。美比人

49、的存在更早。蝴蝶和鲜花以及蜜蜂之间的配合都使我们注意到美的特征，但这些特征不是我们造出来的，不管我们看到没看到，它们都是美的。”美的这种固有性特点使我们认识到，数学的存在就代表了数学的美学价值。对数学的美学价值，我们只能不断发现，而不能判断。现在就人们已经发现了的数学美举例如下：有从表现形式来讲的和谐美，如统一性、对称性、简洁性、协调性等；有从符号演化来讲的符号美，如抽象性、简洁性；有从数学本身来说的奇异美，意奇，如：英国的海岸线有多长的问题；形奇,如：7*15873=11111，14*15873=22222,21*15873=33333，；当然，数学价值的内涵是很丰富的，除了这四种价值，还有

50、其它价值的存在。引导学生探索和领会数学的价值，可以加深学生对数学的理解，激发学生学习数学的热情，从而提高数学素养。2.2.6 数学与日常生活、社会及其他学科的联系华罗庚先生曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在”一句话就道出了数学与生活及其他领域的广泛联系性。数学与日常生活的联系。数学最初是从数数、测量等人类生活的实际需要发展起来的，可以说，在数学发展的原始阶段，大部分数学内容都融于人们的日常生活和生产中。但随着数学的发展，复杂的符号、抽象的定理，使人们感觉到数学离自己的生活越来越远，数数、测量、简单的加减乘除成为大部分人对生活中的数学的全部

51、认识。其实不然，数学在我们生活中所占的比例，远远超过我们的预想。如果把整个人类生活比作一幕大型的历史剧，那么数学就是这幕历史剧的导演和编剧。但往往我们看到的却是：当人们在为演员欢呼喝彩时，却没看到导演和编剧。在深层起作用的数学，就这样被我们所忽视。举一个简单的例子：当我们在一个特定的时间去某个不熟悉的地方见一个重要的人这种场合，我们最通常的举动就是计划，我们会说我得怎样去这个地方,需要多长的时间, 我需要至少几点出发，我需要为塞车、迷路等意外情况预留多少时间，以致我才能提前或者准时见到这个人。这个思维的过程很少有人意识到与数学的关系，但仔细想想，这难道不就是一个数学的推理过程吗?不就是一种理性

52、精神吗?除此以外，还有我们经常听到的商家之间的价格战与广告战、小商家在经济活动中搭便车、中奖率、股市的走势图、任意13个人一定有2个人是在同一月份出生的等等，这些不都是数学在生活中的经典应用吗?因此，数学与日常生活的联系，不仅反映在数学在日常生活中的直接应用，更反映在数学的精神、思想、方法对我们日常生活的影响。数学与社会的联系。普通高中数学课程标准（实验）中将数学与社会的联系概括为一句话：“数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用。”数学的发展与社会的发展相互联系，相互促进。总的来说，二者的发展具有一致性。我们可以从数学史上数学中心的转移与社会发展之间的关系来看。

53、数学史上数学中心的转移经历了：希腊中国意大利英国法国德国美国，而相应的社会发展背景是：1.奴隶制社会时期，希腊是最发达的地区；2.封建社会时期，中国则是政治经济繁荣昌盛的中心；3.15世纪欧洲资产阶级革命的兴起，1617世纪意大利是文艺复兴的圣地；4.17世纪后英国的资本主义发展建立了有海上霸权的日不落帝国；5.18世纪法国的大革命在“平等、自由、博爱”的旗帜下，巴黎成了世界的中心城市；6.19世纪70年代，德国统一，使之成为欧洲首强；7.希特勒丧心病狂，德国成了第二次世界大战的战败国，美国政治、经济、军事跃升为世界第一。一方面，数学的准确性、严格性和广泛应用性是现代文明的重要思维特征，数学成

54、为促进社会文明最重要的力量之一；另一方面，一个文明高度发展的社会也是数学赖以发展的基本条件。因此，二者相辅相成，在发展上表现出一致性。 二者相互影响的方式，可以大致归结为两种情况：一是，社会发展提出需要、诱发新的数学工具或理论，反过来，数学应用于社会生产，有时推动了产业革命，如微积分的产生与发展就是典型例子。二是，现有数学知识的直接应用。这类情况在社会中普遍存在，人们大多习以为常，一个被传为数学应用之佳话的典型例子就是1865年第一条横越大西洋的海底电缆线安装成功。三是，为解决数学内部矛盾产生的纯数学成果，而在社会发展中获得意外的重要作用。如用数学形式描述逻辑思维规律而建立的布尔代数，后来却成

55、为计算机线路设计不可缺少的法宝；为证明第五公社而产生的非欧几何，后来却成为广义相对论的基础，成为人们认识宇宙空间的重要工具。除此以外，从数学文化下的数学教材来说，数学与社会的联系还体现在：数学教材中对社会需求、社会发展、社会现实的反映。如数学教材选取人口问题、环保问题、人民生活质量问题、GDP增长、出国、上网等问题，不仅仅是一种作为引入的素材在起作用，而且也是对社会现实的一个客观反应，成为一种潜移默化的德育教育素材。数学与其他学科的联系。数学因其研究对象的抽象性、结论的精确性、应用的广泛性，对其他学科产生了深远的影响，并因此获得“科学的皇后”之美誉。它几乎涉及所有的科学领域，这个观点现在已经被

56、公认。数学与物理、化学、生物、天文等领域的联系，不仅体现为数学知识在这些学科中的直接应用，还体现在数学的思想方法对这些学科建设的直接影响，如：公理化的方法对其他学科建立成一个系统的知识体系的影响。不仅如此，数学与文学、美术、音乐等这些看起来关系不大的学科也有很重要的联系。静静的顿河是肖洛霍夫写的一部世界名著，但后来却被指认为抄袭克留科夫的作品。为了弄清谁是真正的作者，捷泽等学者采用数理统计原理并借助计算机检索分析，获得可靠的数据，撇清了谣言，这是数学在文学上的一次典型应用；文艺复兴以前，绘画被看作没有技术含量的低贱职业。而文艺复习以后，画家们开始引入数学的原理，如平面几何、三视图、平面直角坐标

57、系等指导绘画艺术，如达芬奇的透视论，逐步使绘画步入艺术的殿堂。数学与绘画直接联系的例子还有：20世纪荷兰画家埃舍尔的几幅画：利用拓扑学创造的莫比乌丝带、利用悖论创造互绘的双手、利用变换创造的自由；在音乐方面，数学的应用更不少，乐谱的表示、和声理论、乐器制作及乐曲的创作上，都需要数学或暗含数学的规律。比如钢琴的制造就是一个对数函数的应用，随身携带的MP3，高档的音响设备，都是数学的功劳。综上，数学几乎涉及所有的领域，它对其他学科的重要性不言而喻，马克思甚至说：“一种科学只有成功地运用数学时，才算真正达到完善的程度”。第3章 人教版新旧高中数学教材中数学文化内容编写情况的对比研究结合数学文化的理论

58、研究，本章将分教学目标、教学内容、教材的例习题和呈现方式四个部分对人教版新旧教材中的数学文化内容进行比较研究，基于人教版新旧教材在教学内容和教材的例、习题部分的有很大的继承性，相同点太多，本研究对这两部分的处理，主要采取揭示相异内容为主，对相同的内容不作过多阐述。3.1 人教版新旧教材关于“数学文化”的教学目标的对比人教版新旧教材中都没有对教学目标的直接表述，但本研究认为，中学教材是根据国家的纲领性文件-教学大纲或课程标准来编写的，一本广为使用的教材总是能很好地把握和体现教学大纲或课程标准中的要求，因此，我们认为对人教版新旧教材教学目标中数学文化内容的研究，可以直接参照全日制普通高级中学数学教学大纲（以下简称大纲）和普通高中数学课程标准（实验）（以下简称课标）中