2018届高三高考数学二轮复习专题训练(六)数列通项公式的求法

1、高三高考数学二轮复习专题训练数列通项公式的求法01一、构造构造辅助数列1、递推公式满足型当为常数 思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列。（待定系数法，构造等比数列） 例1：数列满足，求数列的通项公式。 解： 故由得，即，得新数列是以 为首项，以2为公比的等比数列，即通项。当为类一次函数 思路：利用待定系数法，构造数列，使其为等比数列； 例2：已知数列满足，且，求数列的通项公式。 设，解得，求得。当为类指数函数思路：观察的形式，如果的底数与的系数相同时，则把两边同时除以，从而构造出一个等差数列；如果的底数与的系数不相同时，可以利用待定系数法构造一个等比

2、数列，其具体构造方法有两种，详见例4题。 例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列，得，所以数列的通项公式为。 例4：已知数列满足，（），求数列的通项公式。 解法1：设从而。 解法2：由知，令，则 ，从而。 例5：在数列中，求数列的通项公式。 解：原递推式可化为：， 比较系数得，式即是：。 则数列是一个等比数列，其首项，公比是2。 ，即。补充练习：1、已知数列满足，求数列的通项公式。解：是以为首项，2为公比的等比数列。，即。2、已知数列中，求数列的通项公式。解：在两边乘以得：令，则，解之得：，所以。3、已知，当时，求数列的通项公式。解：

3、设，解得： 是以3为首项，为公比的等比数列；。4、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设.，比较系数得，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。5、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设，比较系数得，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。6、已知数列满足，求数列的通项公式。注：若中不含常数1时，则直接构造等差数列即可，但含常数1时则需累加。解：两边除以，得，则，故因此，则7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设.，比较系数得，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此。8、在数列中，其中。求数列的通项公式。解：由，可得，所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，故，所以

4、数列的通项公式为。2、递推公式满足、等型或其交叉相乘的整式形式思路：递推公式满足型，取倒数，构造数列，使其为等差数列。递推公式满足型或型，构造数列，使其为等比数列。例6：已知数列中，由这个数列的第项为（ C ）A、 B、 C、 D、例7：已知数列满足，求证：是等差数列，并求的通项公式。解：，即数列是首项为1，公差为3的等差数列；。例8：在数列中，已知，求数列的通项公式。解：由可知，对，；，即，又。数列是首项为，公比为的等比数列， 。补充练习：1、已知数列中，其中，且当时，求数列的通项公式。解：将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即。2、已知数列，求数列的通项公式。解

5、：，即，则。3、数列中，求数列的通项公式。解：，设，.，。数列通项公式的求法02二、累加累乘1、递推公式满足：型或（）型思路：利用累加法，将，=，.，=，各式相加，正负抵消，得，即；用求和符号可以表示为：。例1：在数列中，且，求数列的通项公式。解：依题意得，把以上各式相加，得；用求和符号可以表示为：，即，上式对于也成立，所以，。例2：在数列中，求数列的通项公式。解：原递推式可化为：，则.，逐项相加得：，故；用求和符号表示为：，即，上式对于也成立，所以，。例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解：，即，上式对于也成立，所以，。补充练习：1、已知数列满足，（），则数列的通项公式为 。2、已知数列满

6、足，（），则数列的通项公式为 。3、已知数列满足，（），则数列的通项公式为 。4、已知数列满足，则数列的通项公式为 。答案：1、 2、 3、 4、2、递推公式满足：型或（）型思路：利用累乘法，将各式相乘得，得，即，；用累乘符号表示为。例4：在数列中，求数列的通项公式。解：由条件等式得，得。评注：此题亦可构造特殊的数列，由得，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得。例5：设数列是首项为1的正项数列，且，则数列的通项公式是 。解：原递推式可化为：00，则 ，逐项相乘得：，即。补充练习：1、若数列满足，则数列通项公式为（ D ） A、 B、 C、 D、2、已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为

7、，所以，则，故所以数列的通项公式为3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为.所以.用式得则，故；所以.由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为数列通项公式的求法03三、特殊方法1、法，即。思路：如果数列满足的某种关系是由数列的前项和给出时，则可以构造出式和式，然后利用公式，将式和式做差，使其转化为数列的递推关系，再根据递推关系的特点，按照构造辅助数列等的方法求出数列通项公式。例1：已知数列的前项和满足。（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式。解：（1）由，得。由，得，由，得（2）当时，有，即；令，则，与比较得，；是以为首项，以2为公比的等比数列；，故。补充练习：设数列的前项的和

8、，。（1）求首项与通项；（2）设，证明：。解：（1），解得：；所以数列是公比为4的等比数列，所以：；得：，。（2）；所以，。2、对数变换法思路：将一阶递推公式取对数得。例2：若数列中，且（是正整数），则它的通项公式是 。解：因为，将两边取对数得，即，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，即。补充练习：已知数列满足，（），求数列的通项公式。解：由可得， 故。3、平方（开方）法例3：若数列中，2且（），求数列的通项公式。解：将两边平方整理得。数列是以4为首项，3为公差的等差数列，。因为，所以。4、求差（商）法例4：若数列满足，求数列的通项公式。解：当时，设当时，得：，综上，。5、迭代法例5：已知

9、数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。6、换元法例6：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则，故，代入得，即，因为，故，则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。补充练习：1、已知正数数列中，且关于的方程，有相等的实根。（1）求的值；（2）求证：，。解：（1）由得，又，则。（2）由得 ，。2、已知数列中，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为 。解：由知， ，记，则，所以，关于单调递减，的最大值为，又，则，由题意知，又，故的最小值为10。3、（汉诺塔问题）传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱上，自上而下按由小到大的顺序串有64个金盘。要求将左边柱子上的64个金盘按照下面的规则移到右边的柱子上。试问一共移动了多少次？规则：一次只能移一个盘子；盘子只能在三个柱子上存放；任何时候大盘不能放在小盘上面。解：若当上有个