高考总复习数学理科基础轻过关考点巧突破课件第十章第4讲第1课时不等式的证明

1、第4讲 不等式选讲,第1课时,不等式的证明,1常用的证明不等式的方法,(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法,(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与 几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式 (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发， 分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定 这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都 已具备，那么就可以断定原不等式成立,(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 AB，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定 AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命

2、题或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反 证法,(5)放缩法：要证明不等式 AB 成立，借助一个或多个中间 变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法,2绝对值不等式,(1)含绝对值不等式的解法：,设 a0，|f(x)|af(x)a. (2)理解绝对值的几何意义： |a|b|ab|a|b|.,A,的最大值为_.,考点1,比较法证明不等式,例1：已知 ab0，求证：2a3b32ab2a2b.,证明：2a3b3(2ab2a2b) (2a32ab2)(a2bb3) 2a(a2b2)b(a2b2) (a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)， 又ab0，ab0，ab

3、0,2ab0. (ab)(ab)(2ab)0. 2a3b3(2ab2a2b)0. 2a3b32ab2a2b.,【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为：,作差并化简，其化简目标应是n 个因式之积或完全平方,式或常数的形式；,判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论； 得出结论,例2：已知正数 a，b，求证：aabbabba. 思路点拨：根据同底数幂的运算法则，可考虑求商比较法,【规律方法】(1)由于所证不等式对于a，b 具有轮换对称 性，故不妨设ab0，这样处理既不影响结果，又可避免后面 的讨论，尤其是有三个或三个以上的字母，分类讨论不太可能， 这种方法显得更加便利,(2)比较法的关键是第二步

4、的变形，一般说来，变形越彻底，,对下一步的判断就越有利,【互动探究】,1已知 a，b 都是正数，并且 a b，求证：a5b5 a2b3,a3b2.,证明：(a5b5 )(a2b3a3b2) (a5a3b2)(b5a2b3 ) a3(a2b2 )b3(a2b2)(a2b2 )(a3b3) (ab)(ab)2(a2abb2) a，b都是正数，ab0，a2abb20. 又ab，(ab)20， (ab)(ab)2(a2abb2) 0， 即a5b5 a2b3a3b2.,考点2,综合法证明不等式,例3：(2013年新课标卷)设 a、b、c 均为正数，且 ab c1，证明：(导学号 58940196),【规

5、律方法】综合法：利用某些已经证明过的不等式和不 等式的性质时要注意它们各自成立的条件综合法证明不等式 的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发， 逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.,【互动探究】,考点3,分析法证明不等式,1cos(),即证,2,cos cos ，,即证 1cos cos sin sin 2cos cos ， 只需证 1cos()， ，结论显然成立 故原不等式成立,【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从 所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至 使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立当证题不 知从何入手时，有时可以运

6、用分析法而获得解决，特别对于条 件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法,用分析法论证“若A，则B”这个命题的模式是：欲证命 题B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为 真，从而又只需证明命题A为真，今已知A真，故B必真 简写为：BB1B2BnA.,考点4,反证法证明不等式,易错、易混、易漏 放缩法证明不等式中正确把握放缩的度,【失误与防范】(1)在利用放缩法解题时，一定要注意经过 放缩后的结果要尽量接近结论并且有利于运算； (2)在利用放缩法解题时，一定要注意“放缩”都应适度， 放得过大或缩得过小都达不到预想的效果，如在解本题时，我 们是第一、二项没变，从第三项起开始变形，恰

7、好得到我们想,果从第四项开始变形，我们会得到什么结论？是否比原结论更 精确？为什么？,1利用比较法证明不等式时，为了判断作差后的符号，有 时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或 几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判 断其正负,2分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明 过程恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆 过程混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍要注意两 种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误利用反证 法证明问题是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛 盾结果，其推理过程是错误的,3放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传 递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子) 的两个