线性代数-行列式

1、线性代数,数理楼224B,第一章 行列式,行列式的定义与性质 行列式展开定理 克莱姆法则,用消元法解二元线性方程组,1.1.1二阶、三阶行列式,1.1 行列式的定义与性质,一、二阶行列式,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,1.二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,当 时，则二元线性方程组的解为,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,1.三阶行列式的计算,主对角线,副对角线,(2)对角线法则,说明1 对角线法则只适用于二阶与

2、三阶行列式,说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,例2,解,按对角线法则，有,1.1.2全排列及其逆序数,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,问题,定义1,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,一、全排列,定义2 在一个排列 中，若个元素的先后次序与标准次序不同即数 则称这两个数组成一个逆序.,例如排

3、列32514 中，,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,二、排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,1.排列的奇偶性,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,例1 求排列32514的逆序数.

4、,2.计算排列逆序数的方法,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,一、对换的定义,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,1.1.3对换,二、对换与排列的奇偶性的关系,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,当 时，,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.,（1）相邻对换,所以一个排列中的任意两个元素对

5、换，排列改变 奇偶性.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,(2)设排列为,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,一、概念的引入,三阶行列式展开式中的一般项可以写成,行标排成标准次序123,1.1.4 n阶行列式,列标 是1，2，3的某个排列,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,例如:,二、n阶行列式的定义,定义1,例1计算一阶行列式|a|,说明,1、行列式是一种特定的算式;,3、 阶行列式是 项的代数和;,2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,

6、对于D中任意一项,用乘法的交换律可以换成,定义2 阶行列式也可定义为,由定理1的推论,其中s为行标排列 的逆序数.,例2计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以 只能等于 ,同理可得,解,从而 不为零，,即行列式中不为零的项为,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3 计算上三角行列式,例4,同理可得下三角行列式,例5 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,例6 已知,解,含 的项有两项,即,对应于,1.1.5行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,例如：,证明,按定义,性质1.1 行列式与它的转置行列式相等.,说

7、明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质1.2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,于是,则有,当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,性质1.3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,问题： （1）如果行列式的所有行（或列）中所有元素的共同公因子k提到行列式符号的外面，会如何？ （2）如果行列式的所有行（或列）中所有元素都乘以数k得到的行列式与原行列式的关系如

8、何？,性质1.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质1.5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,性质1.6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例,例2 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例3,证明,证明,一、余子式与代数余子式,1.2 行列式展开定理与克莱姆法则,1.2.1行列式展开定理,例1,叫做元素 的代数余子式,例2,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式

9、等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,二、行列式的展开定理,证明,(1)当 位于第一行第一列时,(2)一般情形,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证明,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,例5,求第一行各元素的代数余子式之和,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,设线性方程组,则称此方程组为,非齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,1.2.2克莱姆法则,二、克拉姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,例1 用克拉默则解方程组,解,定理4 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理5 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数