2.4.1空间直角坐标系.pptx

1、2.4空间直角坐标系,1.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.会推导空间两点间的距离公式,并能在具体问题中正确应用.,1,2,3,1.空间直角坐标系的建立 为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直. 轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面yOz,xOz,xOy叫做坐标平面,三个坐标平面把空间分

2、成八个卦限,如图.,1,2,3,xOy平面:由x轴及y轴确定的坐标面; xOz平面:由x轴及z轴确定的坐标面; yOz平面:由y轴及z轴确定的坐标面.,1,2,3,2.点在空间直角坐标系中的坐标 取定了空间直角坐标系后,就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系. 点M为空间一已知点,在空间直角坐标系中,过这点作两条坐标轴所确定平面的平行平面,交另一条轴于一点,交点在这条轴上的坐标就是点M相应的一个坐标.设点M在x轴,y轴,z轴的坐标依次为x,y,z.于是空间的点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,记为(x,y,z),并依

3、次称x,y和z为点M的x坐标、y坐标和z坐标.反之,设(x,y,z)为一个三元有序数组,过x轴上坐标为x的点,y轴上坐标为y的点,z轴上坐标为z的点,分别作平面yOz,xOz,xOy的平行平面,这三个平面的交点M便是三元有序数组(x,y,z)唯一确定的点.所以,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.,1,2,3,八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点: :(+,+,+);:(-,+,+);:(-,-,+); :(+,-,+);:(+,+,-);:(-,+,-); :(-,-,-);:(+,-,-).,1,2,3,归纳总结坐标轴及坐标平面上点的坐标

4、形式,1,2,3,【做一做1】 若半径为r的球在第卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是() A.(r,r,r)B.(r,r,-r) C.(-r,-r,r)D.(r,-r,r) 答案：B,1,2,3,3.空间两点的距离公式 空间两点的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广,如图. M1(x1,y1,z1),P(x2,y1,z1),M2(x2,y2,z2),N(x2,y2,z1), |M1P|=|x2-x1|,|PN|=|y2-y1|,|M2N|=|z2-z1|, |M1N|2=|M1P|2+|PN|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, |M1M2|2=|M1N|2+|NM2|2=

5、(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.,1,2,3,1,2,3,【做一做2】 求下列两点间的距离: (1)A(1,1,0),B(1,1,1); (2)C(-3,1,5),D(0,-2,3).,求空间一点A(x,y,z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标. 剖析：对称点坐标问题,无非就是中点与垂直问题.空间点关于点的对称点,与平面内点关于点的对称点定义一样,已知点与其对称点连接所得线段的中点即为对称中心;空间点关于已知直线的对称点,与平面内点关于已知直线的对称点的定义一样,已知点与其对称点连接所得线段被对称轴垂直平分;连接空间点与其关于已知平面的对称点的线段垂直于平面,

6、且中点在平面内.,A(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点A1(x,y,-z); A(x,y,z)关于坐标平面yOz的对称点A2(-x,y,z); A(x,y,z)关于坐标平面xOz的对称点A3(x,-y,z); A(x,y,z)关于x轴的对称点A4(x,-y,-z); A(x,y,z)关于y轴的对称点A5(-x,y,-z); A(x,y,z)关于z轴的对称点A6(-x,-y,z); A(x,y,z)关于原点的对称点A7(-x,-y,-z).,题型一,题型二,题型三,题型四,空间点的坐标,【例1】 已知一个长方体的长、宽、高分别为5,3,4,试建立适当的空间直角坐标系,将长方体的各个顶点表示

7、出来. 分析：可以以长方体的一个顶点为原点,建立空间直角坐标系,也可以以长方体的中心作为原点. 解如图,以A为坐标原点,AB=3所在的直线为x轴,AD=5所在的直线为y轴,AA1=4所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz. 则A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,5,0),A1(0,0,4),C(3,5,0),D1(0,5,4),B1(3,0,4), C1(3,5,4).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上,进而使得点的坐标表示比较简单.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD,如

8、图,建立空间直角坐标系,试写出正方体各顶点的坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,空间点的对称问题,【例2】 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3),求它分别关于三个坐标平面、三条坐标轴和原点的对称点的坐标. 分析：此题要类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解. 解M(1,-2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1,-2,-3),关于xOz平面对称的点是(1,2,3),关于yOz平面对称的点是(-1,-2,3);M(1,-2,3)关于x轴对称的点是(1,2,-3),关于y轴对称的点是(-1,-2,-3),关于z轴对称的点是(-1,2,3);M(1,-2,

9、3)关于原点的对称点是(-1,2,-3).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 本题反映了求对称点时的一个规律:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 点(5,-6,-2)关于yOz平面对称点的坐标是,关于x轴对称点的坐标是,关于原点对称点的坐标是. 答案：(-5,-6,-2)(5,6,2)(-5,6,2).,题型一,题型二,题型三,题型四,求空间中两点间的距离,【例3】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.如图,建立空间直角坐标系. (1)写出点D,N,M的坐标

10、; (2)求线段MD,MN的长度.,题型一,题型二,题型三,题型四,分析：根据所给空间直角坐标系,先求出相关点的坐标,再用距离公式求解.,解(1)因为D是原点,所以D(0,0,0). 由|AB|=|BC|=2,|D1D|=3, 得A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3). 因为N是AB的中点, 所以N(2,1,0). 同理可得M(1,2,3). (2)由两点间的距离公式,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 在运用两点间的距离公式时,注意不要弄错坐标相减的顺序,要记准“同类相减,平方相加再开方”这一规律.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 若点M

11、(2,a,0)与点N(-1,0,a)之间的距离等于5,则实数a的值为.,题型一,题型二,题型三,题型四,空间两点的距离公式的应用,【例4】 在三棱锥A-BCD中, |AD|=|BC|=1,|AC|=|AB|=|DC|=|DB|=2,求该三棱锥的体积. 分析：三棱锥的六条棱长都已知,且比较特殊,我们不难求得ACB的面积,但点D在平面ABC内的射影位置不明显,三棱锥的高比较难求.于是,我们以点A为原点,建立空间直角坐标系,问题便转化为求点D的坐标,而这不难用空间两点的距离公式求解.,解以点A为原点,ABC所在平面为xOy平面,将AB置于Oy轴的正半轴上,建立空间直角坐标系,如图.,题型一,题型二,

12、题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 本题采用建立空间直角坐标系,将问题转化为求点D的坐标问题的方法,避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算,思路也比较自然,求解也不复杂.这种通过建立空间坐标系来解决的立体几何问题,显得有规律可循,而且少了立体几何的空间想象.,题型一,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,5,6,1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在() A.y轴上B.xOy平面上 C.xOz平面上D.第一卦限内 解析：因为点(2,0,3)的纵坐标为0,所以此点一定在xOz平面上.故选C. 答案：C,1,2,3,4,5,6,2在空间直角坐标系中,下列各点中位于yOz平面内的是 () A.(3,2,1)B.(2,0,0) C.(5,0,2)D.(0,-1,-3) 解析：位于yOz平面内的点的横坐标一定是0. 答案：D,1,2,3,4,5,6,3点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点坐标是() A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1) 答案：A,1,2,3,4,5,6,4如图,正方体的棱长为1,M是所在棱的中点,N是所在棱的四分之一分点,则M,N之间