版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值、最值作业本理

1、第三节导数与函数的极值、最值A组基础题组1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是() A.y=x3 B.y=ln(-x)C.y=xe-x D.y=x+2x2.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是()A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值3.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数4.函数y=xln x有极值,为.5.如图是y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断:f(x)在-2,-1上是增函数;x=-1是f(x)的极小值点;f(x)在-

2、1,2上是增函数,在2,4上是减函数;x=3是f(x)的极小值点.其中正确的判断是.(填序号)6.函数y=x+2cos x在区间0,2上的最大值是.7.(2017北京丰台二模,18)已知函数f(x)=ex-aln x-a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)证明:a(0,e), f(x)在区间ae,1上有极小值,且极小值大于0.8.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-ax,其中a0.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)在区间1,e上的最小值g(a).(其中e是自然对数的底数)B

3、组提升题组9.已知函数f(x)=x3-32ax2+b(a,b为实数,且a1)在区间-1,1上的最大值为1,最小值为-1,则a=,b=.10.(2016北京,14,5分)设函数f(x)=x3-3x,xa,-2x,xa.若a=0,则f(x)的最大值为;若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.11.(2017北京西城一模,18)已知函数f(x)=ex-12x2.设直线l为曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线,其中x0-1,1.(1)求直线l的方程(用含x0的式子表示);(2)设O为原点,直线x=1分别与直线l和x轴交于A,B两点,求AOB的面积的最小值.12.(2017北京海淀期中)

4、已知函数f(x)=x3-9x,函数g(x)=3x2+a.(1)若直线l是曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线,且l与曲线y=g(x)相切,求a的值;(2)若方程f(x)=g(x)有三个不同的实数解,求实数a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.DA选项中,函数y=x3单调递增,无极值,B,C选项中的函数都不是奇函数,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.D由题意得xR,y=1-11+x2(1+x2)=1-2x1+x2=(x-1)21+x20,所以函数y=x-ln(1+x2)无极值.3.D函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,图象开口向上,对称轴为x=a,a1.g(

5、x)=f(x)x=x+ax-2a.若a0,则g(x)=x+ax-2a在(-,0),(0,+)上单调递增.若0a0),当y=0时,x=e-1;当y0时,0x0时,xe-1.y=xln x在(0,e-1)上是减函数,在(e-1,+)上是增函数.y=xln x有极小值y|x=e-1=-1e.5.答案解析f (x)在-2,-1)上是小于0的,f(x)在-2,-1上是减函数,不对;f (-1)=0且在x=-1附近两侧的导数值为左负右正,x=-1是f(x)的极小值点,对;在(-1,2)上导数值大于0,在(2,4)上导数值小于0,所以f(x)在-1,2上是增函数,在2,4上是减函数,对;x=3附近左右两侧导

6、数值的符号都为负,所以x=3不是f(x)的极值点,不对.6.答案6+3解析y=1-2sin x,令y=0,结合x0,2,解得x=6,易知当x0,6时,y0;当x6,2时,y0,故在0,2上,函数y=x+2cos x在x=6时取最大值6+3.7.解析(1)f(x)的定义域为(0,+),因为a=e,所以f(x)=ex-e(ln x+1),所以f (x)=ex-ex.因为f(1)=0, f (1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=0.(2)证明:因为0ae,所以f (x)=ex-ax在区间ae,1上是单调递增函数.因为f ae=eae-e0,所以x0ae,1,使得ex0

7、-ax0=0.所以xae,x0, f (x)0,故f(x)在ae,x0上单调递减,在(x0,1)上单调递增,所以f(x)有极小值f(x0). 因为ex0-ax0=0,所以f(x0)=ex0-a(ln x0+1)=a1x0-ln x0-1. 设g(x)=a1x-lnx-1,xae,1,则g(x)=a-1x2-1x=-a(1+x)x2,所以g(x)g(1)=0,即f(x0)0,所以函数f(x)的极小值大于0.8.解析(1)当a=2时,f(x)=x-3ln x-2x,f (x)=(x-1)(x-2)x2,此时,f(1)=-1,f (1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=-1

8、.(2)f(x)=x-(a+1)ln x-ax的定义域为(0,+),f (x)=1-a+1x+ax2=(x-1)(x-a)x2,令f (x)=0,得x=a或x=1.当00,f(x)在1,e上单调递增,f(x)min=f(1)=1-a;当1ae时,列表如下:x(1,a)a(a,e)f (x)-0+f(x)极小值f(x)min=f(a)=a-1-(a+1)ln a;当ae时,对任意的x(1,e),f (x)0,f(x)在1,e上单调递减,f(x)min=f(e)=e-(a+1)-ae.由可知,g(a)=1-a,0a1,a-1-(a+1)lna,1a1,所以当x变化时, f (x)与f(x)的变化情

9、况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f (x)+0-f(x)-1- 32a+b极大值b1- 32a+b由题意得b=1.则f(-1)=-3a2, f(1)=2-3a2, f(-1)0.当x0时, f(x)=-2x0;当x0时, f (x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x0, f(x)是增函数,当-1x0时, f (x)0, f(x)是减函数,f(x)f(-1)=2. f(x)的最大值为2.在同一平面直角坐标系中画出y=-2x和y=x3-3x的图象,如图所示,当a2时, f(x)max=a3-3a.综上,当a(-,-1)时, f(x)无最大值.11.解析(1)对f(x)求导,得f

10、(x)=ex-x,所以直线l的斜率为f (x0)=ex0-x0,由此得直线l的方程为y-ex0-12x02=(ex0-x0)(x-x0),即y=(ex0-x0)x+(1-x0)ex0+12x02.(2)依题意B(1,0),设A(1,y1),在切线方程中令x=1,得y1=(ex0-x0)+(1-x0)ex0+12x02=(2-x0)ex0-12x0.所以SAOB=12|OB|y1|=12(2-x0)ex0-12x0=1-12x0ex0-12x0,x0-1,1.设g(x)=1-12xex-12x,x-1,1,则g(x)=-12ex-12x+1-12xex-12=-12(x-1)(ex-1).令g(

11、x)=0,得x=0或x=1.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1g(x)-0+g(x)3212+1e112e-12所以g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=1,从而AOB的面积的最小值为1.12.解析(1)函数f(x)=x3-9x的导函数为f (x)=3x2-9,f(0)=0, f (0)=-9,所以直线l的方程为y=-9x,设l与曲线y=g(x)相切于点(m,n),易知g(x)=6x,所以g(m)=6m=-9,解得m=-32,又g(m)=-9m,即g-32=274+a=272,所以a=274.(2)记F(x)=f(x)-g(x)=x3-9x-3x2-a,则F(x)=3x2-6x-9,令F(x)=0,得x=3或