二次函数综合题(含解析)

1、 二次函数综合题一、选择题（共4小题）1（2013淄博）如图，RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线y=ax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A（，）B（2，2）C（，2）D（2，）2（2011金台区二模）如图，A1、A2、A3是抛物线y=ax2（ a0）上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点CA1、A2、A3三点的横坐标为连续整数n1、n、n+1，则线段CA2的长为（）AaB2aCnDn13如图已知A1，A2，A3，An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=

2、A3A4=An1An=1，分别过点A1，A2，A3，An作x轴的垂线交二次函数y=x2（x0）的图象于点P1，P2，P3，Pn，若记OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1A2P2于点B1，记P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2A3P3于点B2，记P2B2P3的面积为S3，依次进行下去，最后记Pn1Bn1Pn（n1）的面积为Sn，则Sn=（）ABCD4如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）ABCD条件不足，无法求二、填空题（共4小题）（除非特别说明，请填准确值）5（2013河南模拟

3、）如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi则=_6（2013石峰区模拟）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（xm）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为_7（2012峨眉山市二模）如图，抛物线y=x2+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等分，设分点分别为P1，P2，P3，P2011，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，Q3，Q2011，把RtOP1Q1，RtP1P2Q2，RtP2P3Q3，RtP20

4、10P2011Q2011的面积分别记为S1，S2，S3，S2011，则=_8（2011金东区模拟）已知抛物线与x轴相交于点A，B（A点在B点左边），点C为抛物线上一个动点，直线y=m（0m2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，在x轴上的点P，使得DEP为等腰直角三角形，则点P的坐标为_三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）9（2013长宁区一模）在直角坐标平面中，已知点A（10，0）和点D（8，0）点C、B在以OA为直径的M上，且四边形OCBD为平行四边形（1）求C点坐标；（2）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）判断：（2）中抛物线的

5、顶点与M的位置关系，说明理由10（2013丰南区一模）阅读材料：如图，过ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h）”我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：SABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及SCAB；（3）在第一象限内求一点P，使SP

6、AB=SCAB11（2013莒南县一模）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1直线AD交抛物线于点D（2，m），（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QEAD交BD于E，连结DQ，当DQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标12（2013十堰）已知抛物线y=x22x+c与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，抛物线的

7、顶点为D点，点A的坐标为（1，0）（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求E的度数；（3）如图2，已知点P（4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当PMA=E时，求点Q的坐标13（2013嘉定区二模）已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线经过点A（3，0）、C（0，）（1）求该抛物线顶点P的坐标；（2）求tanCAP的值；（3）设Q是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q的横坐标为t，当点Q在第四象限时，用含t的代数式表示QAC的面积14（2013普洱）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接

8、AB、BC（1）求抛物线的解析式（关系式）（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的BCE和RtAOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使SBCD：SABC=1：4，并求出此时点D的坐标15（2013廊坊一模）如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（2，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为_；（3）在x轴是否存在一点P，使ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条

9、件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由16（2013河西区一模）如图1，抛物线y=x2+x4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C（1）求点A的坐标；（2）当b=0时（如图2），求ABE与ACE的面积（3）当b4时，ABE与ACE的面积大小关系如何？为什么？（4）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由17（2013赣州模拟）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（其

10、中a0，b0，c0）的图象与y轴的交于点C，其顶点为A；直线CDx轴、且与抛物线的对称轴AE交于点B，交抛物线于另一点D（1）试用含b的代数式表示的值；（2）如图2，连接AC与AD，我们把ACD称为抛物线的伴随三角形当ACD为直角三角形时，求出此时b值；若ACD的面积记为S，当抛物线的对称轴为直线x=2时，请写出伴随三角形面积S与b的函数关系式18如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F

11、的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式二次函数综合题参考答案与试题解析一、选择题（共4小题）1（2013淄博）如图，RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线y=ax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A（，）B（2，2）C（，2）D（2，）考点：二次函数综合题专题：综合题分析：首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；解答：解：RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线y=ax2上，4=a（2）2

12、，解得：a=1解析式为y=x2，RtOAB的顶点A（2，4），OB=OD=2，RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，CDx轴，点D和点P的纵坐标均为2，令y=2，得2=x2，解得：x=，点P在第一象限，点P的坐标为：（，2）故选：C点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可2（2011金台区二模）如图，A1、A2、A3是抛物线y=ax2（ a0）上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点CA1、A2、A3三点的横坐标

13、为连续整数n1、n、n+1，则线段CA2的长为（）AaB2aCnDn1考点：二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；梯形中位线定理专题：计算题；压轴题分析：根据题意知：A1B1A2B2A3B3，B1B2=B2B3，得到A1C=CA3，求出B2C的长，把x=n代入解析式求出A2B2的长，相减即可得到答案解答：解：根据题意知：A1B1A2B2A3B3，B1B2=B2B3，A1C=CA3，B2C=（A1B1+A3B3），=a（n1）2+a（n+1）2，=an2+a，A2B2=an2，CA2=B2CA2B2=a故答案为：a点评：本题主要考查了梯形的中位线定理，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解

14、此题的关键是求出B2C的长3如图已知A1，A2，A3，An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=An1An=1，分别过点A1，A2，A3，An作x轴的垂线交二次函数y=x2（x0）的图象于点P1，P2，P3，Pn，若记OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1A2P2于点B1，记P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2A3P3于点B2，记P2B2P3的面积为S3，依次进行下去，最后记Pn1Bn1Pn（n1）的面积为Sn，则Sn=（）ABCD考点：二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积专题：计算题；压轴题；规律型分析：把x=n和x=n1代入二次函数求出y的值

15、，即可求出三角形的边长，根据面积公式计算即可解答：解：二次函数y=x2，由图象知：当x=n时，y=n2，当x=n1时，y=（n1）2，Sn=1n2（n1）2，=故选A点评：本题主要考查了二次函数的点的坐标特征，三角形的面积等知识点，解此题的关键是求出三角形的边长4如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）ABCD条件不足，无法求考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：观察图形在y轴两边阴影部分面积，将y轴左边的阴影对称到右边得到一个半圆的阴影，就是所求的图中阴影面积解答：解：由分析知图中阴影面积等

16、于半圆的面积，则s=故选B点评：此题主要考抛物线的对称性质，把不规则图形面积如何用规则的图形面积表示，从而来求面积二、填空题（共4小题）（除非特别说明，请填准确值）5（2013河南模拟）如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi则=考点：二次函数综合题专题：压轴题；规律型分析：根据函数图象上的坐标的特征求得A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）An（n，n2）；B1（1，）、B2（2，1）、B3（3，）Bn（n，）；然后由两点间的距离公式求得A1B1=|（）|=1，A2B2=|2（1）|=3，A3B3=|（）|=6，AnBn=|n2（）|=

17、；最后将其代入求值即可解答：解：根据题意，知A1、A2、A3、An的点都在函与直线x=i（i=1、2、n）的图象上，B1、B2、B3、Bn的点都在直线与直线x=i（i=1、2、n）图象上，A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）An（n，n2）；B1（1，）、B2（2，1）、B3（3，）Bn（n，）；A1B1=|（）|=1，A2B2=|2（1）|=3，A3B3=|（）|=6，AnBn=|n2（）|=；=1，=，=，=1+，=2+，=2（1+），=2（1），=故答案为：点评：本题考查了二次函数的综合题解答此题的难点是求=1+的值在解时，采取了“裂项法”来求该数列的和6（2013石峰区模拟）如图

18、，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（xm）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为8考点：二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式专题：计算题；压轴题分析：当抛物线y=a（xm）2+n的顶点在线段AB的A点上时，点C的横坐标最小把A的坐标代入即可求出a的值，因为抛物线y=a（xm）2+n的顶点在线段AB上运动，所以抛物线的a永远等于，根据题意可知当抛物线的顶点运动到B时，D的横坐标最大，把B的坐标和a的值代入即可求出二次函数的解析式，再求出y=0时x

19、的值即可求出答案解答：解：当抛物线y=a（xm）2+n的顶点在线段AB的A点上时，点C的横坐标最小，把A（1，4）代入得：y=a（x1）2+4，把C（3，0）代入得：0=a（31）2+4，解得：a=，即：y=（x1）2+4，抛物线y=a（xm）2+n的顶点在线段AB上运动，抛物线的a永远等于，当抛物线的顶点运动到B时，D的横坐标最大，把a=和B（4，4）代入y=a（xm）2+n得：y=（x4）2+4，当y=0时，0=（x4）2+4，解得：x1=0，x2=8，C在D的左侧，点D的横坐标最大值是8故答案为：8点评：本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二

20、次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目7（2012峨眉山市二模）如图，抛物线y=x2+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等分，设分点分别为P1，P2，P3，P2011，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，Q3，Q2011，把RtOP1Q1，RtP1P2Q2，RtP2P3Q3，RtP2010P2011Q2011的面积分别记为S1，S2，S3，S2011，则=（或.5）考点：二次函数综合题专题：计算题；压轴题；规律型分析：S1、S2、S2011中，所有三角形在y轴上的直角边都是1，因此只需考虑它们的另一

21、条直角边即可；也可以看作，这些三角形面积的平方和等于所有Q点横坐标的平方和，可先表示出点Q的横坐标的平方，结合等差数列即可求出代数式的值解答：解：设点Q（，y）；（0y2012）那么 Qn（，n）（1n2011）S12=（20121）=2011S22=（20122）=2010S32=（20123）=2009S20112=（20122011）=1S12+S22+S32+S20112=（2011+2010+2009+1）=故填：点评：此题的难度适中，把握住每个直角三角形一条直角边都是1是解答题目的关键，此外，还需牢记等差数列的求和公式Sn=8（2011金东区模拟）已知抛物线与x轴相交于点A，B（A

22、点在B点左边），点C为抛物线上一个动点，直线y=m（0m2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，在x轴上的点P，使得DEP为等腰直角三角形，则点P的坐标为P1（，0），P2（1，0），P3（，0）考点：二次函数综合题分析：若DEP为等腰直角三角形，应分情况进行讨论，需注意应符合两个条件：等腰，有直角解答：解：令=0，解得：x=1或x=3，A点在B点左边，A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0），设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）当DE为腰时，分别过点D，E作DP1x轴于P1，作EP2x轴于P2，如图，则P1DE和P2ED都是等腰直角三角形，DE=DP1=FO=EP2=m，AB=x2

23、x1=4DEAB，CDECAB，=，即=解得m=点D的纵坐标是，点D在直线AC上，2x+2=，解得x=，D（，）P1（，0），同理可求P2（1，0）当DE为底边时，过DE的中点G作GP3x轴于点P3，如图，则DG=EG=GP3=m，由CDECAB，得=，即=，解得m=1同1方法求得D（，1），E（，1），DG=EG=GP3=1OP3=FG=FEEG=，P3（，0）结合图形可知，P3D2=P3E2=2，ED2=4，ED2=P3D2+P3E2，DEP3是Rt，P3（，0）也满足条件综上所述，满足条件的点P共有3个，即P1（，0），P2（1，0），P3（，0）故答案为：P1（，0），P2（1，0），

24、P3（，0）点评：本题考查的知识点较为全面：解一元二次方程，相似的应用以及勾股定理，等腰三角形的性质等，需耐心分析，加以应用三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）9（2013长宁区一模）在直角坐标平面中，已知点A（10，0）和点D（8，0）点C、B在以OA为直径的M上，且四边形OCBD为平行四边形（1）求C点坐标；（2）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）判断：（2）中抛物线的顶点与M的位置关系，说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）作MNBC于点N，连接MC，利用垂径定理求得线段MN后即可确定点C的坐标；（2）用同样的方法确定点D的坐标

25、后利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后配方后即可确定抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）根据抛物线的顶点坐标和点M的坐标确定两点之间的距离，然后根据半径与两点之间的线段的大小关系即可确定顶点与圆的位置关系解答：解：（1）如图，作MNBC于点N，连接MC，A（10，0）和点D（8，0）点M（5，0），点C、B在以OA为直径的M上，且四边形OCBD为平行四边形，M的半径为5，BC=OD=8，在RtMNC中，MC=5，NC=BC=4，MN=3，点C的坐标为（1，3）；（2）点C的坐标为（1，3），点B的坐标为（9，3），设过O、C、B三点的抛物线解析式为y=ax2+bx，解得：解析式为：y=x2+x

26、，y=x2+x=（x5）2+，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，）；（3）顶点坐标为（5，），点M的坐标为（5，0），顶点到点M的距离为，5抛物线的顶点在M外点评：本题考查了二次函数的综合知识，还考查了点与圆的位置关系，本题难度不大，但综合性比较强10（2013丰南区一模）阅读材料：如图，过ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h）”我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：SABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于

27、点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及SCAB；（3）在第一象限内求一点P，使SPAB=SCAB考点：二次函数综合题分析：（1）利用顶点式求得抛物线的解析式，然后求得点A的坐标，从而求得线段AB的长；（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得CD的长，从而求得三角形ABC的面积；（3）设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，表示出h关于x的函数关系式，然后利用面积相等求得x的值，从而确定点P的坐标解答：解：（1）设抛物线的解析式为：，把B（0，3）代入

28、解析式求得a=1所以，令y1=0，得0=x2+2x+3，解得x1=1，x2=3A点的坐标为（3，0）AB=3；（2）设直线AB的解析式为：y2=kx+b由A（3，0），B（0，3）直线AB的解析式为y2=x+3 （4分）因为C点坐标为（1，4），所以当x=1时，y1=4，y2=2，所以CD=42=2，（平方单位）；（3）设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则；由SPAB=SCAB得：，解得x=2或x=1（舍）所以P（2，3）点评：此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，以及待定系数法求解析式和三角形面积求法，综合性较强11（2013莒南县一模）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a0）

29、的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1直线AD交抛物线于点D（2，m），（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QEAD交BD于E，连结DQ，当DQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）根据点C（0，4），点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1可得关于a，b，c的方程组，解方程求得a，b，c的值，从而得到二次函数的解

30、析式，再将点D（2，m）代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，求得m的值，从而求解；（2）先求得A，B点的坐标，过点E作EGQB，根据相似三角形的判定和性质可得EG=，由于SDQE=SBDQSBEQ，配方后即可得到SDQE有最大值时Q点的坐标；（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F，即F（0，2），再连接DF交对称轴于M，x轴于N，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+FN+MN+MC=CF+DF=2+2，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2时直线DF的解析式为：y=3x2，长而得到满足条件的点M和点N的坐标解答：解：（1）由题意有

31、：，解得：a=，b=1，c=4所以，二次函数的解析式为：y=x2+x+4，点D（2，m）在抛物线上，即m=2 2+2+4=4，所以点D的坐标为（2，4）（2）令y=0，即x2+x+4=0，解得：x1=4，x2=2A，B点的坐标分别是（2，0），（4，0）过点E作EGQB，垂足为G，设Q点坐标为（t，0），QEAD，BEQ与BDA相似=，即=，EG=，SBEQ=（4t），SDQE=SBDQSBEQ=（4t）4SBEQ=2（4t）（4t）2=t2+t+后=（t1）2+3，当t=1时，SDQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）；（3）如图，由A（2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为

32、：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），过点F作关于x轴的对称点F，即F（0，2），再连接DF交对称轴于M，x轴于N，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称则CF+FN+MN+MC=CF+DF=2+2，则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MCCF+FN+MN+MC即四边形CFNM的最短周长为：2+2此时直线DF的解析式为：y=3x2，所以存在点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）点评：此题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法

33、12（2013十堰）已知抛物线y=x22x+c与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（1，0）（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求E的度数；（3）如图2，已知点P（4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当PMA=E时，求点Q的坐标考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；（2）连接CD、CB，过点D作DFy轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得DCBAOC得到CBD=OCA，根据ACB=CBD+E=OCA+OCB，得到E=OCB=45；

34、（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DGx轴于G点，增大DGBPON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在y=x22x3上，得到m2=m22m3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标解答：解：（1）把x=1，y=0代入y=x22x+c得：1+2+c=0c=3y=x22x3=y=（x1）24顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DFy轴于点F，由x22x3=0得x=1或x=3B（3，0）当x=0时，y=x22x3=3C（0，3）OB=OC=3BOC=90，OCB=45，BC=3又DF=CF=1，C

35、FD=90，FCD=45，CD=，BCD=180OCBFCD=90BCD=COA又DCBAOC，CBD=OCA又ACB=CBD+E=OCA+OCBE=OCB=45，（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DGx轴于G点PMA=45，EMH=45，MHE=90，PHB=90，DBG+OPN=90又ONP+OPN=90，DBG=ONPDGB=PON=90，DGBPON=，即：=ON=2，N（0，2）设直线PQ的解析式为y=kx+b则解得：y=x2设Q（m，n）且n0，n=m2又Q（m，n）在y=x22x3上，n=m22m3m2=m22m3解得：m=2或m=n=3或n=点Q的坐标为（2

36、，3）或（，）点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一13（2013嘉定区二模）已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线经过点A（3，0）、C（0，）（1）求该抛物线顶点P的坐标；（2）求tanCAP的值；（3）设Q是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q的横坐标为t，当点Q在第四象限时，用含t的代数式表示QAC的面积考点：二次函数综合题分析：（1）将已知点的坐标代入到给定的函数的解析式中求解即可；（2）延长AP交y轴于G，过C作CHAG，垂足是H，首先求得直线AP的解析式，然后表示出有

37、关线段长，从而求得tanCAP的值；（3）利用 SQAC=SAOC+SQOCSAOQ求解即可解答：解：（1）将A（3，0）、C（0，）代入得 解得 所以抛物线的表达式为y=x2+x其顶点P的坐标为（1，2）（1分）（2）延长AP交y轴于G，过C作CHAG，垂足是H设直线AP的表达式为y=kx+b，将A（3，0）、P（1，2）代入，得，解得y=x3进而可得G（0，3）OG=OA，G=OAG=45，在RtCHG中，HG=CH=CGsin45=在RtAOG中，AG=3，AH=AGHG=tanCAP=（3）设Q（t，t2+t），由Q在第四象限，得|t|=t，|t2+t|=t2t+）联结OQ，易得 SQ

38、AC=SAOC+SQOCSAOQSAOC=|3|=，SQOC=|t=t，SAOQ=|3|t2+t|=t2t+，SQAC=+t（t2t+）=|=t2+t点评：此题主要考查了二次函数的综合题目，利用一般式求二次函数解析式及解直角三角形是考查的重点内容，同学们应学会应用14（2013普洱）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC（1）求抛物线的解析式（关系式）（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的BCE和RtAOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若

39、不存在，请说明理由（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使SBCD：SABC=1：4，并求出此时点D的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）根据函数图象经过的两点的坐标利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）分当BC为斜边时和当BC为直角边时两种情况确定点E的坐标即可；（3）根据SABC利用SBCD：SABC=1：4，求得SBCD=SABC=设D的坐标为（x，），作DEx轴于点E，利用SBCD=S梯形BOED+SDCESBOC即可求得点D的坐标为（1，）或（3，）解答：解：（1）抛物线经过A（2，0），C（4，0）两点，解得抛物线的解析式为（2）在第一象限外存在点E，使得以BC为直角边

40、的BCE和RtAOB相似当BC为斜边时，BOC即为所找的BCE是直角三角形，但是它与RtAOB不相似；当BC为直角边时，若点B为直角顶点，则点E的坐标为（8，4），此时点E不在抛物线上；若点B为直角顶点，则点E的坐标为（4，8），此时点E在抛物线上（3）SABC=，SBCD：SABC=1：4，SBCD=SABC=如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，），作DEx轴于点E，则SBCD=S梯形BOED+SDCESBOC=即x24x+3=0，解得x1=1，xx2=3点D的坐标为（1，）或（3，）点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中涉及到的将点的坐标转化为线段的长更是

41、解决二次函数知识的常用方法15（2013廊坊一模）如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（2，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为（6，0）；（3）在x轴是否存在一点P，使ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质专题：计算

42、题分析：（1）因为y=ax2+x+c的图象经过A（2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；（2）把y=0代入求出x的值，即可得到答案；（3）在RtAOC中根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的性质求出，当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（2，0）；当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（2，0）；当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），P4（，0），即可得出答案；（4）设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=x2+x+3上，得出Q点坐标为（x，x2+x+3），连接OQ，根据S四边形ABQC=SAOC+SO

43、QC+SOBQ，代入求出即可解答：解：（1）y=ax2+x+c的图象经过A（2，0），C（0，3），c=3，a=，所求解析式为：y=x2+x+3，答：这个二次函数的解析式是y=x2+x+3（2）解：（6，0），故答案为：（6，0）（3）解：在RtAOC中，AO=2，OC=3，AC=，当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（2，0）；当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（2，0）；当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），在RtP4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32解得：x=，P4（，0）；答：在x轴存在一点P，

44、使ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（2，0）或（2，0）或（2，0）或（，0）（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=x2+x+3上，即：Q点坐标为（x，x2+x+3），连接OQ，S四边形ABQC=SAOC+SOQC+SOBQ，=3+x+3（x2+x+3）=x2+x+12，a0，S四边形ABQC最大值=，Q点坐标为（3，），答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综

45、合运用这些性质进行计算是解此题的关键题型较好，综合性强16（2013河西区一模）如图1，抛物线y=x2+x4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C（1）求点A的坐标；（2）当b=0时（如图2），求ABE与ACE的面积（3）当b4时，ABE与ACE的面积大小关系如何？为什么？（4）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质专题：计算题分析：（1）将x=0，代入抛物线的解析式即可；（

46、2）当b=0时，直线为y=x，解由y=x和y=x2+x4组成的方程组即可求出B、C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出面积；（3）当b4时，ABE与ACE的面积相等，理由是解由直线和抛物线组成的方程组，即可求出交点的坐标，作BFy轴，CGy轴，垂足分别为F、G，根据点的坐标得到ABE和ACE是同底的两个三角形，即可得出答案；（4）存在这样的b，根据全等三角形的判定证BEFCEG，推出BE=CE，根据直角三角形的性质，当OE=CE时，OBC为直角三角形，代入即可求出b的值解答：解：（1）将x=0，代入抛物线的解析式得：y=4，得点A的坐标为（0，4），答：点A的坐标为（0，4）（2）当b=0时，直线为y=x，由，解得，B、C的坐标分别为B（2，2），C（2，2），答：ABE的面积是4，ACE的面积是4（3）当b4时，SABE=SACE，理由是：由，解得，B、C的坐标分别为：B（，+b），C（，+b），作BFy轴，CGy轴，垂足分别为F、G，则，而ABE和ACE是同底的两个三角形，SABE=SACE答：当b4时，ABE与ACE的面积大小关系是相等（4）存在这样的b，BF=CG，BEF=CEG，BFE=CGE=90，BEFCEG，BE=CE，即E为BC的中点，所以当OE=CE时，OBC为直角三角形，B（，+b），E（0，b），GE=EF=