高中数学二项式定理知识点+练习

1、二项式定理 高考要求要求层次重难点二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B二项式定理 能用计数原理证明二项式定理 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题例题精讲板块一：二项式展开的通项与系数（一）知识内容1二项式定理：2通项公式：展开式的第项3杨辉三角4二项式系数的性质：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；当时，二项式系数是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的是偶数时，中间项最大；是奇数时，中间两项相等且最大二项式系数之和：（二）典例分析【例1】 的展开式中共有_项是有理项【例2】 的展开式中的系数是_（用数字作答）【例3】 展开式中的常数项为_（用

2、数字作答）【例4】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例5】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例6】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例7】 求展开式中含项系数【例8】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）【例9】 的展开式中常数项为 （用数字作答）【例10】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_（用数字作答）【例11】 在的展开式中，项的系数是（用数字作答）【例12】 的展开式中的系数等于_（用数字作答）【例13】 若，则的值为_（用数字作答）【例14】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 【例15】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于

3、（用数字作答）【例16】 的展开式中，常数项为15，则 【例17】 已知的展开式中没有常数项，且，则_【例18】 展开式中的系数是_（用数字作答）【例19】 展开式中的常数项为_（用数字作答）【例20】 在的展开式中的系数是（ ）A14 B14 C28 D28【例21】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例22】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）（A） （B）85 （C） （D）274【例23】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例24】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等 【例25】 若的二项展开式中的系数为则（用数字作答

4、）【例26】 设常数，展开式中的系数为，则_【例27】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 【例28】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）A3个 B2 C1 D0【例29】 求展开式中的系数【例30】 的展开式中共有_项是有理项【例31】 的展开式中的系数是_（用数字作答）【例32】 展开式中的常数项为_（用数字作答）【例33】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【变式】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【变式】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例34】 求展开式中含项系数【例35】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）【例36】 的展开式中常

5、数项为 （用数字作答）【例37】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_（用数字作答）【例38】 在的展开式中，项的系数是（用数字作答）【例39】 的展开式中的系数等于_（用数字作答）【例40】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围【例41】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 【例42】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）【例43】 的展开式中，常数项为15，则 【例44】 已知的展开式中没有常数项，且，则_【例45】 展开式中的系数是_（用数字作答）【例46】 展开式中的常数项为_（用数字作答）【例47】 在的展开式中的系

6、数是（ ）A14 B14 C28 D28【例48】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例49】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）（A） （B）85 （C） （D）274【例50】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例51】 若的二项展开式中的系数为则（用数字作答）【例52】 设常数，展开式中的系数为，则_【例53】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 【例54】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）A3个 B2 C1 D0【例55】 （2009浙江4）在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A B C D【例

7、56】 的展开式中常数项为_；各项系数之和为_（用数字作答）【例57】 的展开式中的系数是_，的系数为_【例58】 关于二项式有下列命题：该二项展开式中非常数项的系数和是：该二项展开式中第六项为；该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；当时，除以的余数是其中正确命题的序号是_（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例59】 若展开式的各项系数之和为，则_，其展开式中的常数项为_（用数字作答）其中正确命题的序号是_（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 的展开中含的项的系数为（ ）ABCD【例61】 求二项式的展开式中：常数项；有几个有理项（只需求出个数即可）；有几个整式项（只需求出个数即

8、可）【例62】 展开式中的常数项为（ ）ABCD【例63】 若展开式的各项系数之和为32，则_，其展开式中的常数项为_（用数字作答）【例64】 已知，则二项式 展开式中含项的系数是 【例65】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）A B150 C D500【例66】 的展开式中的系数是（ ）A B C3 D 4【例67】 若的二项展开式中的系数为，则（用数字作答）【例68】 ，则_【例69】 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是【例70】 在的展开式中常数项是，中间项是【例71】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实

9、数，那么【例72】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为【例73】 已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值【例74】 二项式的展开式中：求常数项；有几个有理项；有几个整式项【例75】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则A1 B C D【例76】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 【例77】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则_【例78】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_【例79】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项【例80】 求展开式中的系数；【例81】 求展开式

10、中的常数项【例82】 在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 （用数字作答）【例83】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A B C D【例84】 的展开式的常数项是 （用数字作答）【例85】 的展开式中的系数是（ ）A B C D【例86】 的展开式中的系数为 【例87】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则_【例88】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 【例89】 的展开式中的系数是_；其展开式中各项系数之和为_（用数字作答）【例90】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ ）【例91】 已知为实数，展开式中的系数是，则_【例92】 求的二项展开式中含

11、的项的二项式系数与系数【例93】 的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是 【例94】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数【例95】 的展开式中，的系数与的系数之和等于_板块二：二项式系数与最值（一）知识内容1二项式定理：2通项公式：展开式的第项3杨辉三角4二项式系数的性质：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；当时，二项式系数是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的是偶数时，中间项最大；是奇数时，中间两项相等且最大二项式系数之和：（二）典例分析展开式【例1】 求的二项展开式【例2】 若（，为有理数），则（ ）ABCD二项式系数的和【例3】 若，求的值

12、【例4】 若，则 【例5】 若，则的值为_（用数字作答）【例6】 若，则_【例7】 已知，求【例8】 若，求的值【例9】 若，则的值为（ ）A B C D【例10】 设，则等于（ ）A B C D【例11】 若，则（ ）A B C D【例12】 已知，求： ； ； 【例13】 若，求的值【例14】 若，则_（用数字作答）【例15】 若，则 【例16】 若，则的值为（ ）ABCD最值问题【例17】 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_（用数字作答）【例18】 展开式中系数最大的项是第几项？【例19】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围【例20】 如果的

13、展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_（用数字作答）【例21】 展开式中系数最大的项是第几项？【例22】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为_【例23】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值；求展开式中系数最大的项【例24】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项【例25】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_ A B C D【例26】 的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项【例27】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求【例28】 求

14、的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项【例29】 已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：含的项；系数最大的项【例30】 设，的展开式中，的系数为求展开式中的系数的最大、最小值；对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数板块三：二项式定理的应用（一）知识内容1二项式定理：2通项公式：展开式的第项3杨辉三角4二项式系数的性质：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；当时，二项式系数是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的是偶数时，中间项最大；是奇数时，中间两项相等且最大二项式系数之和：（二）典例分析【例1】 计算的近似值（精确到）【例2】 利用二项式定理证明：是64的倍数

15、【例3】 若，证明：能被整除【例4】 证明：能被整除【例5】 证明：能被整除【例6】 求证：【例7】 证明：【例8】 求证：【例9】 证明：【例10】 证明：【例11】 且，求证：【例12】 求证：【例13】 求证：【例14】 已知：，求证：，【例15】 ，求证：【例16】 ，求证：【例17】 设数列是等比数列，公比是的展开式的第二项用表示通项与前项和；若用表示【例18】 已知数列（）满足：求证：对于任意正整数，【例19】 除以的余数_；除以的余数是_；除以的余数是【例20】 求证：【例21】 对于，【例22】 求证：【例23】 若（，为有理数），则（ ）ABCD【例24】 若，则等于（ ）A B C D【例25】 请先阅读：在等式的两边求导得，由求导法则得，化简得利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；对于整数，求