高考数学一轮复习 6.3 正弦余弦定理教案 新课标

1、3.正弦、余弦定理 一、知识点回顾1基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos；（2）面积公式：S=aha , S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)2正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAab时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；absinA时无解。3余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 利用余弦定理，可以解

2、决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。4熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力二、例题讨论：一）正弦定理的应用例1、（1）在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A,C及边c（2）在ABC中，a=8，B=60，C=75.求边b 和c；（3）在ABC中，a，b，c分别是A,B,C 的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2= ac-bc，求A及 的值.解：由正弦定理得：sinA=,因为B=4590且ba,所以有两解A=60或A=120

3、(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75， c=,(2)当A=120时,C=180-(A+B)=15，c=(2)B=60,C=75,A=45.（3）解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60.在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=.解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB.=sinA=.二）余弦定理的应用例2、在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边，且 （1）求角B的大小； （2）若b=

4、，a+c=4，求ABC的面积.三）三角形中的形状判断例3、在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.方法一 已知等式可化为 a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B) 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为： sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin Asin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0sin 2A=sin 2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=

5、B或A= -B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cos Asin B=2b2sin Acos B由正、余弦定理,可得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.例3、在三角形ABC中，已知，给出以下四个判断：（1）；（2），（3），（4）其中正确的是 ；解：由已知可得C=900，易知（2）（4）正确；四）三角形的综合问题例4、在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C. (1)求角B的大小； (2)若b= ,a+c=4,求ABC的面积.三、课后作业：走向高考P86-871.在ABC中，角A、B、C 所对边长分别为a、b、c, 设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 求角A 和tan B的值.解 由b2+c2-bc=a2,得2.在三角形ABC中，a,b,c分别为三内角A，B，C的对边，已知，且三角形ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求三角形ABC面积S的最大值；解：由已知可得到：，结合余弦定理可得，所以；（2）所以，故当A=B=时，S有最大值；3.在三角形ABC中，a