高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（1）学案 新人教A版必修

1、3.4 基本不等式（1）学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式知识点一算术平均数与几何平均数思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案|PO|.易证RtAPQRtPBQ，那么|PQ|2|AQ|QB|，即|PQ|.梳理一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.其几何意义如上图中的|PO|PQ|.知识点二基本不等式及其常见推论思考如何证明不

2、等式(a0，b0)?答案ab2()2()22()20，当且仅当ab时，等号成立，ab2，当且仅当ab时，等号成立梳理(a0，b0)当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab()2(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)当ab0时，2；(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)类型一常见推论的证明例1证明不等式a2b22ab(a，bR)证明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究证明不等式()2(a，bR)证明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，两边同除以4，即得()2，当且仅当ab时，取等号反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a，bR

3、，与基本不等式不同(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.证明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，当且仅当abc时，等号成立类型二用基本不等式证明不等式例2已知x、y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.证明(1)x，y都是正数，0，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2

4、)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立反思与感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.证明a，b，c都是正实数，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)

5、2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时，等号成立类型三用基本不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)则()Ax BxCx Dx答案B解析第二年的产量为AAaA(1a)，第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2.依题意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x.反思与感悟基本不等式一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和跟踪训练3

6、设ab1，P，Q，Rlg ，则P，Q，R的大小关系是()ARPQ BPQRCQPR DPRQ答案B解析ab1，lg alg b0，即QP.又，lg lg(lg alg b)，即RQ.综合，有PQR.1已知a0，b0，则2的最小值是()A2 B2 C4 D5答案C解析a0，b0，2224 4，当且仅当ab1时，等号成立2若0ab BbaCba Dba答案C解析0aab，b.ba0，aba2，a.故ba.3设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D8答案B解析ab3，2a2b2224，当且仅当ab时，等号成立4设a0，b0，给出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a2

7、96a.其中恒成立的是_(填序号)答案解析由于a21a20，故恒成立；由于a2，b2.4，当且仅当ab1时，等号成立，故恒成立；由于ab2，2，故(ab)4，当且仅当ab时，等号成立，故恒成立；当a3时，a296a，故不恒成立综上，恒成立的是.1两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取等号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式40分钟课时作业一、选择题1若a，b，c0且a(abc)bc42，则2abc的最小值

8、是()A.1 B.1C22 D22答案D解析由a(abc)bc42a(ab)(ab)c(ab)(ac)42，而2abc(ab)(ac)222(1)22.当且仅当abac，即bc时等号成立2若a，bR且ab0，则下列不等式中恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2答案D解析a2b22ab(ab)20，A错误；对于B、C，当a0，b0，2 2，当且仅当ab时，等号成立3若x0，y0且xy4，则下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.1答案B解析若x0，y0，由xy4，得1，(xy)(22)1，当且仅当xy2时，等号成立4设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()

9、A8 B4C1 D.答案B解析由题意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因为a0，b0，所以(ab)222 4，当且仅当ab时，等号成立5已知a，b(0，)，则下列不等式中不成立的是()Aab2 B(ab)4C.2 D.答案D解析ab2 2，当且仅当ab时，等号成立，A成立；(ab)224，当且仅当ab时，等号成立，B成立；a2b22ab0，2，当且仅当ab时，等号成立，C成立；ab2，且a，b(0，)，1，.当且仅当ab时，等号成立，D不成立6设0a12答案C解析0a1b，logab0，logba0，logba0，(logab)(logba)(logab)2，当且仅当ab1时，等号成立，logablogba2.二、填空题7若a1，则a有最_(填“大”或“小”)值，为_答案大1解析a1，a10，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，8(当且仅当ab时，等号成立)(2)方法一a0，b0，ab1