高中数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》学案5 新人教A版必修

1、第九章 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标 1理解并会应用平面的基本性质 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图 2掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法3会作几何体的截面图知识点归纳 1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2平面的画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图

2、形符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的

3、直线推理模式：且且唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要

4、从“存在性”和“唯一性”两方面来论证推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形题型讲解 例1 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23求证：EF、GH、BD交于一点分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3

5、就可知它们共面在ABD和CBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及可得EGAC，HFAC，所以EGHF, 直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，因此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线AC上即可事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知PBD证法一：(几何法)连结GE、HF，E、G分别为BC、AB的中点，GEAC又DFFC=23，DHHA=23，HFACGEHF故G、E、F、H四点共面又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCD=BDEF、

6、GH、BD交于一点证法二：（向量法）由 ，从而故G、E、F、H四点共面又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCD=BDEF、GH、BD交于一点点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线例2 已知n条互相平行的直线l1,l2,l3,ln分别与直线l相交于点A1，A2，An，求证：l1,l2,l3,ln与l共面分析：证明多条直线（三条或三条以上）共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合证法一：因为l1l=A1,所以l1与l确定平面，设

7、lk是与l1平行的直线中的任一条直线，且lkl=Ak,则,Ak,lkl1,设lk与l1确定平面，则,Ak,因此l1与Ak既在平面内又在平面内，根据公理的推论1知过l1和其外一点的平面有且只有一个，所以重合，从而由lk的任意性知l1,l2,l3,ln共面证法二：l1l2,l1l3 直线l1和l2及直线l1和l3分别确定一个平面l1l=A1, l2l=A2, l3l=A3, A1,A2,A2,A3,l,且l, 和都是过相交直线l1和l的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个l1,l2,l3,l共面，同理可证l4,l5,ln都在由直线l1和l所确定的平面内例3 如图，已知四边形ABCD中，ABCD，

8、四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线证明：ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H共线例4 如图，在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？解：使过三点M，N，D的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D三点所作正方体的截

9、面的形状连结DM并延长DM交D1A1的延长线于P，则点P既在截面内又在底面A1B1C1D1内，连结PN交A1B1于E，连ME，ND，则过M，N，D的截面就是四边形DMEN，易证MEDN且MEDN，因而它是一个梯形小结：1证明“线共点”的方法，一般是先证两条直线相交于一点，然后再证其它的直线过这一点2证明“线共面”的问题，一般先由公理3或推论确定一个平面，再证明其它的直线在这个平面内3证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决4作几何体的截面图时，常利用平面的性质，设法确定所作截面上的关键点，从而确定截面图形学生练习 1将命题“Pl,Ql,且P，Ql”用文字语言表述是

10、2若平面平面=直线l，点A，A则点 l ,其理由是 3下列命题中正确的是（ ）A空间不同的三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线确定一个平面C空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内4一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一底角为45，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）A2+ B1+ C D5E、F、G、H是三棱锥A-BCD的棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，则点P（ ）A 一定在直线AC上 B 一定在直线BD上C只在平BCD内 D只在平面ABD内6空间三条直线中的一条直线与其它两条都相交，那么由这三

11、条直线最多可确定平面的个数是（ ）个A1 B 2 C 3 D 4 7用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ ）A 三 B四 C 六 D八 8“直线上有一点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件9已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 10下列说法正确的是 空间四边形的对角线一定不相交 四个角都是直角的四边形一定是平面图形 两两相交的三条直线一定共面 在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面11已知直线c和d与异面直线a,b都相交，则由直线c,d可确定的平面的个数为

12、 12不重合的三个平面把空间分成n个部分（不包括平面本身）则n的可能值是 13已知不共面的三条直线a,b,c两两相交，求证：这三条直线交于一点14已知A,B,C是空间不共线的三点，画直线AB,BC,CA设X,Y,Z分别表示直线BC,CA,AB上的任意一点，试问直线AX,BY,CZ是否共面？并证明你的结论课前后备注第九章 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标 1理解并会应用平面的基本性质 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图 2掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法3会作几何体的截面图知识点归纳 1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2平面的

13、画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：应用：是

14、判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：确定平面；证明两个平面重合

15、 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得5平面图形与空间图形的概念

16、:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形题型讲解 例1 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23求证：EF、GH、BD交于一点分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们共面在ABD和CBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及可得EGAC，HFAC，所以EGHF, 直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，因此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线AC上即可事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面ABC和平

17、面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知PBD证法一：(几何法)连结GE、HF，E、G分别为BC、AB的中点，GEAC又DFFC=23，DHHA=23，HFACGEHF故G、E、F、H四点共面又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCD=BDEF、GH、BD交于一点证法二：（向量法）由 ，从而故G、E、F、H四点共面又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCD=BDEF、GH、BD交于一点点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交

18、线例2 已知n条互相平行的直线l1,l2,l3,ln分别与直线l相交于点A1，A2，An，求证：l1,l2,l3,ln与l共面分析：证明多条直线（三条或三条以上）共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合证法一：因为l1l=A1,所以l1与l确定平面，设lk是与l1平行的直线中的任一条直线，且lkl=Ak,则,Ak,lkl1,设lk与l1确定平面，则,Ak,因此l1与Ak既在平面内又在平面内，根据公理的推论1知过l1和其外一点的平面有且只有一个，所以重合，从而由lk的任意性知l1,l2,l3,ln共面证法二：l1l2,l1l3 直线l

19、1和l2及直线l1和l3分别确定一个平面l1l=A1, l2l=A2, l3l=A3, A1,A2,A2,A3,l,且l, 和都是过相交直线l1和l的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个l1,l2,l3,l共面，同理可证l4,l5,ln都在由直线l1和l所确定的平面内例3 如图，已知四边形ABCD中，ABCD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线证明：ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H

20、共线例4 如图，在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？解：使过三点M，N，D的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D三点所作正方体的截面的形状连结DM并延长DM交D1A1的延长线于P，则点P既在截面内又在底面A1B1C1D1内，连结PN交A1B1于E，连ME，ND，则过M，N，D的截面就是四边形DMEN，易证MEDN且MEDN，因而它是一个梯形小结：1证明“线共点”的方法，一般是先证两条直线相交于一点，然后再证其它的直线过这一点2证明“线共面”的问题，一般先由公理3或推论确定一个平面，再证明其它的直线在这个平面内3证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决4作几何体的截面图时，常利用平面的性质，设法确定所作截面上的关键点，从而确定截面图形学生练习 1将命题“Pl,Ql,且P，Ql”用文字语言表述是 2若平面平面=直线l，点A，A则点 l ,其理由是 3下列命题中正确的是（ ）A空间不同的三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线