高中数学《函数的概念和图象》学案4 苏教版必修

1、课时10 函数的图象【考点指津】1掌握描绘函数图象的两种基本方法（1）描点法：列表描点连线成图运用描点法作图前，必须对图象的特征（包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势）做到胸中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处（2）图象变换法：包括平移、对称、伸缩、旋转2掌握知识之间的联系，能用数形结合、分类讨论及转化变换等数学思想与数学方法综合解决数学问题，不断提高观察、分析、归纳、概括和综合分析能力y1Oxy-1Oxxy1Oy1OA B C D【知识在线】x1 函数的图象是 （ ）Oxy函数y = f(x)的图象OxyOxyOxyOxyABCD2已知函数y

2、 = f(|x|)的图象如左图所示，则函数y = f(x)的图象不可能是 （ ）3函数y = f(x)与函数y = f(-x)的图象 （ ）A关于y轴对称 B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线y=x对称4函数y = 的图象关于点 对称5把函数y=22x+3的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移2个单位，所得图象的函数解析式是 【平台】Oxy11图1Oxy11图2Oxy图3123例1 作出下列各函数的图象： （1）y=10|lgx|；（2）y=x -|x-1|；（3）y= |x2-4x+3|分析 以上图象用列表描点法作图有困难，为此应先对函数式进行变形，再利用熟悉的函

3、数图形作图解 （1）因|lgx| = ，于是，当x1时，10|lgx| =10lgx = x；当0x1时，10|lgx| = 10-lgx = 故y=10|lgx| = 根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象，如图1所示（2）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y=，可见其图象是由两条射线组成，图象如图2（3）解法一 去绝对值，得y=，即y=，其图象由两条抛物线的部分图形组成，图象如图3解法二 先作函数y = x2-4x+3的图象，然后将其在x轴下方的图象翻折到x轴的上方，原x轴上方的图形及其翻折上来的图形便是所要求作的函数的图象点评 作不熟悉的函数图象，可以先将函数式变形，化为基本

4、初等函数的图象再作图但要注意变形的等价性，不要扩大或缩小未知数的取值范围例2 设有三个函数的图象分别是C1、C2、C3，其中函数y=f(x)的图象是C1，C2与C1关于原点对称，C3与C2关于直线y=x对称（1）与图象C3对应的函数是（ ）；Ay= f 1 (-x) By= - f 1 (x)Cy= - f 1 (-x)Dy= - f (-x)（2）图象C3与图象C1关于直线（ ）对称 Ax轴 By轴 C直线y=x D直线y= -x分析 （1）因C2与C1关于原点对称，故C2对应的函数是y= -f(-x)又C3与C2关于直线y=x对称，于是，C3对应的函数是y= -f(-x)的反函数由y= -

5、f(-x)得-x = f 1(-y)，即x= - f -1 (-y)，交换x、y得：y= - f 1 (-x)，即与C3对应的函数是y= - f1 (-x)，答案选C（2）可用排除法：与函数y=f(x)图象关于x轴、y轴、直线y=x对称的函数依次是y= -f(x) ，y= f(-x)， y= f -1 (x)，排除A、B、C，选D点评 本题涉及函数图象的对称变换，可联系点的对称规律来理解和记忆例如，点(x，y)关于直线y= -x对称的点(-y，-x)，因此，只需用 y、-x同时换y=f(x)中的x、y，得到-x= f (-y)，即 -y= f -1 (-x)，也就是y= -f -1 (-x)故

6、函数y= -f -1 (-x)与函数y=f(x)图象关于直线y= -x对称ABCD图4VH hO例3 向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图4的左图所示，那么水瓶的形状是 （ B ） 解 解法一 根据题意，V=f(h)的图象是一段曲线，V随h的增加而增加，而且开始阶段V的增加较快，以后渐渐变慢，故水瓶的形状必是下口大上口小，于是答案选B解法二 D是圆柱形，注水量V与水深h的关系为正比例关系，其图象应是一条直线段，不合；C是中间细两头粗，注水量V随水深h的增加而增加，开始阶段增加较快，然后变慢，当注水量达到一半后，增加又逐渐变快，故图象也不合；对于A图，注水量应是

7、随着h的增加V增加得越来越快，图象也不合排除A、C、D，答案选B解法三 设注水量V与水深h的关系为：V=f(h)，则由题图知，即当用水达到一半时，水上升的高度还未达到一半，也就是开始阶段用水较多，从而有水瓶的形状为下口大上口小，答案选B点评 本题是一道应用题，不涉及具体的计算和画图，而突出考查分析和观察能力，属创新题型题中只是给出了曲线的大概特征，因此，我们在解题时，应用其图，察其形，舍其次，抓其本，全方位分析思考和判断，一举得出问题的解例4 设方程x+2x =4的根为m，方程x+log2x=4的根为n，求m+n的值分析 求出m与n的准确值，不可能，怎么办？画个图形，利用数形结合的思想进行求解

8、注意到函数y=2x与函数y= log2x互为反函数，故可在同一坐标系内作出y=2x、y=log2x及y= 4-x的图象，研究它们交点的横坐标的关系，并求得其值解 在同一直角坐标系内作y=2x、y=log2x及y=4-x的图象，如图5所示，则xyomn2A(2，2)QPy=4-xy=2xy=log2x44图5y=xm为曲线y=2x与直线y=4-x交点P的横坐标，n为曲线y=log2x与直线y=4-x交点Q的横坐标因为函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x成轴对称，于是点P与点Q关于点A（2，2）对称，从而m+n=22=4点评 函数图象在研究方程解（大小的估算、根的

9、个数以及根的分布等）中的作用是较大的利用图象研究方程解的情况，就是将方程根的情况转化为图象交点的横坐标间的关系，这样使得抽象的数的问题变成了直观的形的判断变题1 方程log2(x+4) = 3x 的实数解的个数是 （ B ）A3 B2 C1 D0变题2 方程log3(x+3)=3x的根的情况是 （ A ）A一个正根，一个负根 B两个正根C两个负根 D仅有一个根变题3设f(x)表示 2x+2与-2x2+4x+2中的最小者，求函数f(x)的最大值提示：，最大值为2【知能集成】1掌握图象的三种变换（1）平移变换函数y = f(x+a)（a0）的图象可以由y=f(x)的图象向左（a0）或向右（a0）平

10、移|a|个单位而得到；函数y = f(x)+b（b0）的图象可以由y=f(x)的图象向上（b0）或向下（b0）平移|b|个单位而得到（2）伸缩变换函数y = Af(x)（A0，且A1）的图象可由y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍，横坐标不变而得到；函数y=f(x)（0，且1）的图象可由y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（1）或伸长（01）到原来的倍，纵坐标不变而得到（3）对称变换函数y= - f(x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到；函数y= f(- x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到；函数y=

11、- f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到；函数y=f1(x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到；函数y= |f(x)|的图象可通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到；函数y= f(|x|)的图象是：函数y= f(x)在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分2掌握基本初等函数的图象基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数【训练反馈】1函数y= 的图象是 （ ）2当a0时，函数f(x)=ax+b和g(x)=bax的图象只可能是 （ ）1

12、xyO111xyOxyOxyOA B C D3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则实数c的取值范围是 （ ） A（0，+） B（0，1）C（1，2） D（-，0）abxyOabxyOabxyOabxyOA B C D4任取x1，x2（a，b），且x1x2，若，则称f(x)是(a，b)上的凸函数在下列图像中，是凸函数图像的是 （ ）5图象通过平移或翻折后不能与函数y=的图象重合的函数是 （ ）yO-11x图ayO-11x1-1图bAy = 2 x By = 2log4x Cy= D6已知函数f(x)及函数g(x)的图象分别如图a、b所示，则函数y=f(x)g(x)的图象可

13、以是（ ） yO-11xyO-11xyO-11xyO-11x A B C D 7已知函数y=f(x)的图象与x轴有三个不同的交点(m，0)，（n，0），(p，0)试分别就下列情况求m+n+p的值（1）函数f(x)为奇函数；（2）函数f(x)为偶函数；（3）函数f(x)的图象关于直线x=3对称8已知函数的图象经过点（1，3），其反函数的图象经过点（2，0），试问函数y=f 1(x)的图象可由函数y=4x的图象经过怎样的变换而得？9已知函数y=f(x)满足f(x+a)=f(a-x)，定义域为R（1）求证：y=f(x)的图象关于直线x = a 对称；（2）当a=2，且方程f(x)=0恰有四个不同实数根，求这些实根之和；（3）若函数y=log2|mx-1|的图象的对称轴是x=2，求非零实数m的值参考答案：【知识在线】1C 2B 3A 4（-2， 3） 5y=2+3【训练反馈】