高考新题型巧解点悟 专题十二 立几中的计算问题

1、专题十二 立几中的计算问题一、新题型内核表解主干知识点知能转化点(1)异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离(2)点到平面的距离(3)直线和平面所成的角(4)平行平面间的距离(5)二面角及其平面角(6)简单的几何体(7)柱体和锥体的体积(8)多面体欧拉公式(9)球、球面距离、球体积、球表面积(1)除球面距离，求其它的点点距、点线距等七种距离的基础是会求点点距，重点是点线距，解决问题的依据是转化思想的合理运用(2)求线线角、线面角、面面角，往往是降维化为平面角，通过求解三角形来计算(3)求角和距离的基本步骤应包括作、证、算，注意“先证后算”、“以算代证”的运用解题关键点常见障碍点(1

2、)掌握定义，正确理解线及面的平行与垂直的判定与性质，理解并记忆常见结论，为解题思路的迅速得出创造条件(2)掌握一些常规方法，如求角的“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平面角”；求二面角的定义法、垂面法、射影法；求两异面直线所成角的平移法、补形法等(3)掌握多面体的概念，理清概念间的关系(1)不能正确理解各类多面体的特征，忽视概念间的包含关系(2)忽视两异面直线所成角的范围的限制(3)解计算题时，往往缺少必要的证明推理或作图的过程(4)对翻折问题，不能正确地认识翻折前后的不变量(5)缺乏一定的空间想象能力，不善于将空间问题转化为平面问题(6)对各种定义概念区分不清二、新题型巧解点悟1分类讨论

3、法【例1】以两个腰长均为1的等腰直角ABC1和等腰直角ABC2为面组成60的二面角，试求C1与C2两点间的距离【分析】先考虑两等腰直角三角形的各种可能位置关系，然后对每一种情形画出与它对应的立体图，作出它们的二面角的平面角，并将C1与C2放置于三角形中进行计算C1ABC2111(3)BC1C2111(2)图1ABC1C21111O(1)ABC1C2O(1)ABC1C2(2)ABC1C2D(3)图2【解】如图1，有一条公共边的腰长均相等的两等腰直角三角形的平面位置关系有三种情况，对应它们的空间图形也有相应的三种情况，分别为图2的(1) (3)对于(1)，取AB中点O，连C1O、C2O，则C1OA

4、B，C2OAB，于是 C1OC2为二面角C1-AB-C2的平面角，从而C1OC2=60因C1O= C2O = ，故C1OC2为正三角形于是C1C2= 对于（2），因C1BAB，C2BAB，故C1BC2为二面角C1-AB-C2的平面角，于是C1BC2=60又C1B=C2B=1，故C1BC2为正三角形，从而C1C2=1对于（3），给出两种解法：解法一（作出二面角的平面角）在平面ABC1内作矩形C1ABD，于是ABBD因ABBC2，故DBC2为二面角C1-AB-C2的平面角，从而DBC2=60因BC2=AC1=BD=1，故BC2D为正三角形，从而C2D=1又ABBC2，ABBD，故AB平面BC2D，

5、于是ABC2D，而ABC1D，故C1DC2D由C1D=AB=1，得C1C2= = 解法二（利用异面直线上两点间的距离公式）因ABAC1，ABBC2，且AB与AC1和BC2均相交，故AB为异面直线AC1、BC2的公垂线段由异面直线两点间距离公式，得C1C22=AB2+AC12+BC22-2AC1BC2cos60=2，BMNmnd图3于是，C1C2= 综合上面诸情况可知，C1与C2两点间的距离为或1或【点悟】解题关键点：分清各类情况，准确作出二面角的平面角，正确使用两点间的距离公式或余弦定理等解题技巧：异面直线上两点间的距离公式为：MN= ，其中d为两异面直线的公垂线段AB的长度，为两异面直线所成

6、的角，m、n分别为两异面直线上点M与N到点A与B的距离，如图3所示当M、N在直线AB的同侧时，取“-”；异侧时，取“+”解题易错点是考虑问题不全面，从而造成漏解【例2】线段AB平面 ，面的斜线A1A、B1B与所成的角分别是30、60，且A1AB=B1BA=90，AB=a，A1B1=b，ba，试求AB与面的距离【解】作AC面于C，BD面于D，故ACBD，且AC= BD，即为所求直线AB与面的距离，AA1C、BB1D分别为A1A、B1B与面所成的角，AA1C=30，BB1D=60因AB面 ，CD= 面 面ABCD，故ABCD又CDCA，于是ABAC因ABAA1，故AB平面AA1C同理，AB平面BB

7、1D于是，面AA1C面BB1D因A1C、B1D为面截两平行平面AA1C与BB1D所得的截线，故A1CB1D(1)6030ABA1B1CDEaaabxx60ABA130aaabEDCxx(2)B1图4考虑到A1、B1在CD的同侧或在CD的异侧的情形，故须分两种情况讨论解之如图4（1），A1、B1在CD的同侧在面内作B1EA1C于点E，则B1DCE为矩形，B1DCA1为直角梯形设BD =AC=x，则CE=B1D = x，A1C= x，于是A1E = A1C CE = x在RtA1B1E中，A1E= = 从而，x = ，解得，x = 如图4（2），A1、B1在CD的异侧在内作A1EB1D，交B1D的

8、延长线于E设BD=x，则B1E=A1C+DB1=x+x= x在RtA1B1E中，B1E= = 从而，x = ，解得，x = 综上所述，AB与面的距离为或【点悟】解题关键点：对空间图形的想像力以及对线面位置关系的准确把握解题规律：由于图形的位置的不确定性而引起的分类讨论的情况很普遍例如，例1中边的重合情况、例1的点悟中关于两异面直线上两点M、N在直线AB的同侧或异侧、本例的点A1、B1分布在CD的两侧或同侧，等等2定义法【例3】如图5，三棱锥P-ABC中，ABC为正三角形，D平分AP，PCAC，二面角P-AC-B为120，PC=2，AB=，求BD与底面ABC所成角的正切值【分析】不妨先作出二面角

9、的平面角，而这可利用定义，在棱AC上取一点，分别在平面PCA与平面ABC内过该点作垂直于AC的射线即可本题的问题要求的是线面角，也不妨先用定义作出线面角，而这又可由刚刚作的面面角得到一些启发ABCDPE图5【解】取AC中点E，连DE、EB因D平分AP，故DEPC因PCAC，故DEAC又ABC为正三角形，故BEAC于是，DEB为二面角P-AC-B的平面角，从而DEB=120，且AC平面DEB因AC平面ABC，故平面ABC平面DEB，从而BD在平面ABC内的射影为BE，故DBE为BD与平面ABC所成的角在BDE中，DE= PC=1，BE= AB=3，DEB=120，故BD2=DE2+BE2-2DE

10、BEcosDEB=13故 cosDBE= = 于是 sinDBE= = ， tanDBE= ，即为所求【点悟】解题规律：解立几计算题，通常应包括“作、证、算”的过程首先，应对照题问，紧扣定义，作出必要的辅助平面或辅助线；其次通过必要的推理，证明所作就是问题所求，而这也正是解题的主干；最后辅以简练的计算得到问题所求之值应注意“先证后算”、“以算代证”以及“边作边证（算）”的合理灵活运用【例4】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=3，CC1=8，求异面直线A1C1与BD1所成的角ABCDMA1B1C1D1O1383图6【分析】利用“线线角抓平移”，作两条异面直线的平行线，则它们所成

11、的角就是两条相交直线所成的较小的角（见解法一）；也可利用定义通过补形的办法作出满足条件的角（见解法二）【解】解法一 如图6，连B1D1与A1C1交于点O1，取BB1中点M，连O1M、A1M，则O1MD1B，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）在A1O1M中，A1O1= = =3，O1M= = =5，A1M= =5，ABCEFDA1B1C1D1F1E1图7故由余弦定理，得 cosA1O1M = 于是，A1O1M = arccos 即为所求解法二 如图7，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面B1BCC1的长方体BCEF-B1C1E1F1，连BE、D1E，则A1C1B

12、E，于是D1BE即为异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）在D1BE中，D1B=10，BE=6，D1E=10，由余弦定理得cosD1BE= ，故D1BE = arccos 即为所求【点悟】解题技巧：“回到定义去”这是著名数学教育家G波利亚先生给广大解题者提出的一个建议立体几何中的定义，许多都是操作性的，它带有很强的指导性，利用好定义，作出符合条件的示意图，所求问题已经求解了一半能作出所求的距离或角，本身已经对问题有了一种全面而深刻的认识因为作图的过程，本身就是利用定义、性质、常用结论的过程ABCDEFGHMPOK图8【例5】在如图8所示的几何体EF-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=

13、9，BC=8，EF平面ABCD，且EF=3，EA=ED=FB=FC=13（1）求直线EF到平面ABCD的距离；（2）求点F到AB的距离；（3）求异面直线AE与CF所成角的余弦值；（4）求直线BF与平面ABCD所成角的余弦值；（5）求平面FBC与平面ABCD所成二面角的正切值【分析】本题5小题涉及5个方面的问题，即线面距、点线距、线线角、线面角、面面角，求解时可直接根据定义，作出所求问题的示意图，借助图形利用定义解决问题【解】（1）作FO平面ABCD于O，EP平面ABCD于P，连OB、OC、PA、PD，则FO=EP即为直线EF到平面ABCD的距离，且EFOP因FB=FC，故OB=OC取BC的中点

14、K，连OK、FK，则FKBC，OKBC又ABBC，故OKAB取AD中点M，连PM，同理可得PMAB因线段MKAB，故M、P、O、K四点共线于是，EFMK，EFAB因FB=FC=EA=ED，故OB=OC=PA=PD，从而MP=OK又MK=AB=9，PO=EF=3，于是MP=OK=3而BK=4，故OB= =5，FO = =12，即为所求（2）在平面ABCD中，作OGAB于G，连FG，则FGAB，于是FG为点F到AB的距离因OG=BK=4，故FG= = ，即为所求（3）延长CO交AB于H，连FH则BH=2OK=6，AH=AB-BH = 3，故AHEF，于是四边形EFHA为平行四边形，从而AEFH，故

15、CFH为异面直线AE与CF所成的角（或其补角）因cos(CFH) = cosOFH = = ，故cosCFH =2cos2OFH-1 = ，即为所求（4）因FO平面ABCD，故FBO为BF与平面ABCD所成的角而cosFBO = = ，故BF与平面ABCD所成角的余弦值为（5）因FKBC，OKBC，故FKO为平面FBC与平面ABCD所成二面角的平面角而tanFKO = = 4，故平面FBC与平面ABCD所成二面角的正切值为4【点悟】解题规律：本题线条较多，图形也较复杂，但却也很规则；所求问题很多，但题意非常明确，要做什么，该怎么做，仅需对照定义，即可顺利完成解题易错点：为什么对于求两条异面直线

16、所成角的问题，当将两线平移后，得到某个交角，我们说该交角或它的补角才是所求的呢？因为两异面直线所成角的范围为（0，而两线的交角可能大于，于是当交角大于时，两异面直线所成的角应取它的补角；当交角小于时，就取该交角本身3构造法【例6】据扬子晚报报道：随着人们生活水平的提高，夜生活日趋丰富多彩，晚间的大排档（小吃）生意兴隆，这些个体户一般用两种炉灶，一个炉灶要求火旺一点，用于应急和炒菜；另一个炉灶火要小一点，用于慢炖、温热煤厂生产的蜂窝煤有两种，大蜂窝煤的直径是小蜂窝煤直径的2倍，3个大蜂窝煤垒起的高度相当于4个小蜂窝煤垒起的高度（假设不同大小的蜂窝煤是用同样质量的煤做的）同样质量的两种蜂窝煤，在两

17、个炉灶中燃烧，哪一个火旺些？哪一个更节省煤？【分析】由于煤质相同，则同样体积的两种蜂窝煤有同样的热量设大蜂窝煤的半径为R，高为H；小蜂窝煤的半径为r，高为h，则R=2r，H= h一个大蜂窝煤的体积为V大 =R2H；一个小的蜂窝煤的体积为V小 =r2h依题意有V大 =R2H =(2r)2 h = r2h = V小 即 V大V小 = 163由上述数据，我们可以作出多种设计，如图9所示，就是一种较为简单的两种炉膛设计这两种炉膛内所放蜂窝煤的体积相同，能释放出同样的热量但是，两种炉膛内的燃烧表面积不相同，燃烧表面积大的释放热量快，火焰猛若不考虑蜂窝煤中间的小孔，其燃烧的表面积应该是两端底面积（煤球之间

18、重叠部分不计）加上各个侧面之和所以S大 = 2R2 + 32RH = 2(2r)2 + 32 2r h = 8r2 + 16rh，S小 = 24r2 + 442rh = 8r2 +32rh，显然，S大 0）设为异面直线EF与AC所成的角，为异面直线EF与BD所成的角，则 +的值是（ ）A B C D3有一山坡，它的倾斜角（坡面与水平面所成的二面角度数）为30，某一同学骑车沿山坡一条与斜坡底线成60角的直路向上走了100米，则该同学比水平面升高了 （ ）A20米 B50米 C25米 D25米4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列除平面（ ），其余平面均与正方体12条棱所在直线成等角AADC

19、1 BACD1 CAD1B1 DA1BC1ABCA1B1C1第6题图5夹在两个平面间的两条线段之和为255cm，它们在其中一个平面内的射影长分别为35cm和50cm，则这两个平行平面间的距离为 6已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，如图， ABC = 90，BC=2，AC = 2，且AA1A1C，AA1=A1C（1）求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面AB1B所成二面角的大小7直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1= 4，AC=BC=2，ACB=90 （1）求点B到平面AB1C的距离； （2）求直线B1B与平面AB1C所成角的正切

20、值；第8题图 （3）求以平面AB1C与平面AB1C为半平面的二面角的正切值8小明到朋友的木工房，看到一个如题图所示的立方体工件，棱长为50cm已知从立方体的各个表面上看，都有两个相通的正方形孔，请你算一下这个立方体剩下的体积的是多少？9一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子中不能到达的空间的体积四、参考答案点拨1C(设E在平面AC上的射影为F，则F在AC上，FAB = 45由cosEAFcosFAB = cosEAB得，cosEAF= 面EF = 1，故在 RtEAF中，斜边AE=)2D（在BC上取点P，CPPB=m，则 =PEF， =PFE可证明ACBD ）3C（100sin60sin30）4A（画图观察即得BC平面ADC1，而AB不平行于平面ADC1）5120cm（设两条线段分别为xcm，(255-x)cm，两平行平面间的距离为hcm，则解得x=125，h=120）6（1）45（作A1DAC交AC于D，由面A1ACC1平面ABC得，A1D平面ABC，故A1AD为A1A与面ABC所成的角由AA1A1C，AA1=A1C，可得A1AD=45为所求）（2