高中数学 第二章《函数的奇偶性》导学案 苏教版必修

1、江苏省响水中学高中数学 第二章函数的奇偶性导学案 苏教版必修11.理解函数的奇偶性及其几何意义,会判断函数的奇偶性.2.了解奇、偶函数图象的对称性.美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映.问题1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对称性?第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形.问题2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的?(2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征?(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作偶函数.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

2、,那么f(x)就叫作奇函数.(2)偶函数的图象关于对称,奇函数的图象关于对称.问题3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在x=0处有定义,能得出什么结论?函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于对称).若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则必有f(0)=,即函数图象必过.问题4:奇偶性与单调性有什么联系?(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.1.下列图象是函数图象且具备奇偶性的是.2.下列函数是偶函数的是.y=

3、x; y=2x2-3;y=; y=,x0,1.3.函数y=-|x|是函数.4.判断下列函数的奇偶性:(1)； (2)f(x)=|x-2|-|x+2|.函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x+; (2)f(x)=2-|x|;(3)f(x)=+; (4)f(x)=.利用奇偶性求值或求范围若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)0时,f(x)=x|x-2|,求当x0时,f(x)的解析式.(1)判断下列函数的奇偶性.f(x)=x2,x-1,2;f(x)=;f(x)=;f(x)=.(2)画出函数f(x)=的图象,通过图象判断函数的奇偶性.

4、(1)若f(x)为奇函数,且在(0,+)上是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)0的解集为.(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.已知函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数.当x(-,0)时,f(x)=x-x4,则当x(0,+)时,f(x)的解析式为.1.函数f(x)=x(-10时,f(x)=x2-2x+3,求f(x).(2013年山东卷)已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于().A.-2B.0C.1D.2考题变式(我来改编):第6课时函数的奇偶性知识体系梳理问题2:(1)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

5、(2)y轴原点问题3:原点0原点问题4:(1)相同(2)相反基础学习交流1.先看图象是否是函数图象,再判断函数图象是否关于原点或y轴对称,只有中的图象符合.2.中是奇函数;中是偶函数;中的定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数.3.偶f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),函数y=-|x|为偶函数.4.解:(1)函数的定义域为x|x0,关于原点对称,设y=f(x)=x4+,又f(-x)=(-x)4+=x4+=f(x),函数为偶函数.(2)设y=f(x)=|x-2|-|x+2|,f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x),函数为奇函数.重点难点探究探究一:【解

6、析】(1)函数f(x)的定义域是x|x0,关于原点对称,又f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x).f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),f(x)为偶函数.(3)函数f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,且f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为x|x1,不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数.【小结】判断函数奇偶性的步骤:(1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具有奇偶性.(2)考虑f(-x)与f(x)的关系,若f(

7、-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)既等于f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若f(-x)既不等于f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数.探究二:【解析】由题意知,函数f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)0的x的取值范围为-2x2.【答案】(-2,2)【小结】在求解与奇偶性有关的抽象函数不等式时可画出函数的大致图象,利用数形结合思想求解.探究三:【解析】设x0,f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),-f(x)=-x|x+2|,f(x)=x|x+

8、2|.故当x0时,f(x)=x|x+2|.【小结】(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里.(2)转化为已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).思维拓展应用应用一:(1)它的定义域不关于原点对称,函数f(x)为非奇非偶函数.x-20且2-x0,x=2,即f(x)的定义域是2,不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数.函数的定义域是R.f(-x)+f(x)=+=0,f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数.由得f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,此时f(x)=0,f(-x)=f(x)=-f(-x)=0,f(x)既是奇函数

9、又是偶函数.(2)画出函数f(x)的图象(如图),由图象易知它关于原点对称,因此函数f(x)为奇函数.应用二:(1)(-3,0)(0,3)(2)-26(1)(法一)由题意可知,xf(x)0或或或x(-3,0)(0,3).(法二)采用数形结合法.(2)(法一)令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函数,从而g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8,f(-2)=g(-2)-8=10,g(-2)=18,g(2)=-g(-2)=-18.f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.(法二)由已知条件,得+得f(2)+f(-2)=-16.又f(-2)=10,f(2)=-26.应用三:f(x)=-x-x4设x(0,+),则-x(-,0),当x(-,0)时,f(x)=x-x4,f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4,又函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,f(-x)=f(x),当x(0,+)时,f(x)=-x-x4.基础智能检测1.非奇非偶定义域不关于原点对称.2.f(x)+f(-x)=0根据奇函数的定义可得.3.00易知f(0)=0,m=0,又f(-x)=-f(x