第6章 直流电路的暂态分析

1、第6章 直流电路的暂态分析6.1 暂态过程概念与换路定则6.1.1 暂态过程概念人的身高是由一日三餐的能量逐渐累积起来的。人的身高不能突然改变。设人到18岁身高停止生长,那么人身高参数在0到18岁之间就是暂态过程，而在18岁以后进入稳态过程。还有，像“地冻三尺非一日之寒”也说明地冻三尺是由于热量即热能逐渐散失。电感、电容也能储存能量。电感磁场能量为电容电场能量为 凡是能量或与能量直接相关的量的改变都有一个渐进过程。这种能量逐渐变化的过程就叫做暂态过程。能量本身其实并不太容易测量。热能、磁场能和电场能都不太容易直接测量。但是与热能直接相关的身高、冻土层深度、与磁场能直接相关的电流、与电场能直接相

2、关的电压就比较容易测量。因此，通常用电流衡量电感中存贮的磁场能量的变化，用电压衡量电容中存贮的电场能的变化。凡是电路中有电感或电容这样的储能元件存在时，电路开或关以后，即开关状态变化后，就有一个暂态过程。暂态过程的研究有三个基本问题：一是从什么起点(初始值)开始过渡；二是如何过渡，即以什么规律或曲线过渡；三是过渡到何时就达到稳态。6.1.2 换路定则换路定则就是根据能量不能突变确定暂态过程的初始值的法则。设开关动作时间为t=0，动作前的那一瞬间为t=0-，动作后的那一瞬间为t=0+，动作前稳态能量为w(0-),动作后的那一瞬间的能量为w(0+),根据能量不能突变原理有w(0+)=w(0-)这样

3、已知w(0-),就可以确定w(0+),这就是换路定则.根据换路定则可以找到开关动作后那一瞬间的能量即暂态过程的起始点。具体有电感换路定则: iL(0+)=iL(0-)电容换路定则: uC(0+)=uC(0-)6.2 用微分方程分析RC电路的响应6.2.1 RC电路的零输入响应零输入，就是切断电源，就是没有电源输入，依靠电容上已经存有的电荷放电，形成暂态过程。例6-1 试分析图6-1中开关动作后的暂态过程。uC(0-)=E根据换路定则uC(0+)=uC(0-)=E设暂态过程开始后电容电压为uC，则电流为，开关合上后电路平衡方程为图6-1 RC电路的零输入响应这是一阶线性微分方程，其解的形式为其中

4、U为待定系数。令t=0得=12V于是暂态方程其中乘积RC量纲应为时间单位。当电阻单位为欧姆，电容单位为法拉时，RC单位为秒。图6-2 RC电路自然放电的负指数曲线理论上，电容电压uC(t)无论如何也放不完。实际上，一般认为用(35)时间就是基本放完了。表6.1 电容放电电压与时间的关系01234510.3680.1350.050.0180.007例如, 对于R=20k, C=50, , 一般认为开关闭合后经过35s电容上的电荷基本放完。把，U=12V代入到上式有，要注意，将指数函数中的时间常数换为具体数值时，必须以秒为单位。6.2.2 RC电路的零状态响应零状态响应，就是从零值开始的暂态过程。

5、图6-3 RC电路的零状态响应（自零开始充电）例6-2 试分析图6-2中开关合上后的暂态过程。uC(0-)=0根据换路定则uC(0+)=uC(0-)=0设暂态过程开始后电容电压为uC，则电流为，开关合上后电路平衡方程为这是一阶线性微分方程，其解由特解和补函数组成，特解与方程等号右边函数项成正比=E补函数令t=0得E+于是U=-E暂态方程图6-4 电容从零开始充电的负指数曲线理论上，电容电压uC(t)无论如何也充不到电源电压U。实际上，一般认为用(35)时间就基本充满了。表6.2 电容充电电压与时间的关系123450.6320.8650.9500.9820.993例如, 对于R=1k, C=1,

6、 , 一般认为开关闭合后经过35ms电容基本充满。把，U=12V代入到上式有，6.3 用三要素法分析一阶电路暂态过程6.3.1 一阶电路概念暂态过程可以用微分方程描述。如果描述暂态过程的微分方程是一阶的，这种电路就是一阶电路。电路中肯定有电阻，然后根据有无电感、电容分为一阶电路和二阶电路。电路中除了电阻外，只有电容，没有电感，是一阶电路；电路中除了电阻外，只有电感，没有电容，也是一阶电路。电路中除了电阻外，既有电容，又有电感，是二阶电路，不是现在研究的对象。一阶电路暂态过程按照衰减的负指数曲线变化。6.3.2 三要素法1. 一阶电路暂态过程万能表达式衰减的负指数曲线方程的主因子为,或写为。一阶

7、电路暂态过程函数可表达为其中M、N为待定系数。令、可获得方程组其解为于是获得RC电路的暂态过程万能表达式和LC电路暂态过程的万能表达式将暂态过程三要素填入到万能表达式中稍加化简，即能获得暂态过程函数。2. 暂态过程三要素从暂态过程万能表达式可以看出暂态过程三要素：初始值uC(0+)或iL(0+)；稳态值或；时间常数，或。3. 确定暂态过程三要素的要领电容在稳态电路中相当开路。 电感在稳态电路中相当短路。如果没有特殊说明，就认为：开关动作前接电源的电容上的电荷会充满到电源电动势，有uC(0+)=E，或者由电阻分压确定uC(0+)。开关动作前接电源的电感里的电流由电阻限定，通常iL(0+)0；开关

8、动作前不接电源的电容上的电荷要通过并联的电阻或自身漏电阻放掉，一般有uC(0+)=0；开关动作前不接电源的电感里的电流要通过并联的电阻衰减到0，没有电阻则会通过空气放电到0，一般有iL(0+)=0；例6-3：用三要素法分析RC电路从0充电暂态过程图6-3 RC电路的零状态响应（自零开始充电）uC(0-)=0uC(0+)= uC(0-)=0例6-4：用三要素法分析RC电路从非0充电过程图6-5 RC电路从非0开始充电uC(0-)=E1=6VuC(0+)= uC(0-)=E1=6V2=12V图6-6 RC电路自非零充电负指数曲线例6-5：用三要素法分析图6-1 RC电路放电过程图6-1 RC电路的

9、零输入响应（电容放电）uC(0-)=E=12VuC(0+)= uC(0-)=E=12V6.4 多电阻RC电路的暂态过程1双电阻RC电路充电例6-6：试分析图6-8所示RC电路的充电过程。图6-8所示RC电路中含有两个电阻，虽然可以根据电阻分压原理确定初始值和稳态值，但是电路时间常数的计算有一定难度。那就是，是按照R1计算时间常数，还是按照R2计算时间常数，还是按照R1与R2的并联或串联电阻计算时间常数？a）实际电路 b）等效电路图6-8 双电阻充电的RC电路研究电容充电，可以把电容看作为负载，然后用代文宁法将电路其余部分等效为一个简单电源。简单等效电源的内阻显然是R1与R2的并联电阻R=R1/

10、R2=3/6=2k简单等效电源电动势为然后可以用三要素法，按照以前讲过的简单RC充电电路进行分析。uC(0-)=0uC(0+)= uC(0-)=0=8V要注意，同样一个电路，放电与充电时参与的电阻数目不一定一样。例如，图6-8所示RC电路，充电时R1、R2都参与，放电时仅有R2参与。就是说，图6-7所示RC电路一方面是双电阻RC充电电路，另一方面又是单电阻RC放电电路。2双电阻RC电路放电a）实际电路 b）等效电路图6-9 双电阻RC电路不完全放电图6-9的两个电阻在开关闭合引起的暂态过程中都起作用，但在开关断开引起的暂态过程中有关的只有一个电阻R1。图6-10 双电阻充电单电阻放电的RC电路

11、图6-10的两个电阻在开关闭合引起的暂态过程中都起作用，但在开关断开引起的暂态过程中有关的只有一个电阻R2。图6-11 双电阻RC电路完全放电开关无论如何动作，图6-11的两个电阻都与暂态过程有关，但在开关闭合时的时间常数计算与断开时的时间常数计算不同，开关闭合时时间常数计算中两电阻并联，开关断开时时间常数计算中两电阻串联。总之，某个电阻在暂态过程中是否起作用，如何起作用，要结合实际电路和开关动作进行具体分析，不能一概而论。3三电阻RC电路充电图6-12 三电阻充电两电阻放电的RC电路图6-12所示三电阻电路中，开关合上充电时的暂态过程与所有三个电阻都有关，时间常数4电流源作用下的RC电路暂态

12、过程例6-7：已知开关长期处于关断状态，试分析开关闭合后电流源RC电路的暂态过程中的电容电压uc。图6-7 电流源作用下的双电阻RC电路充放电解：uC(0+)= uC(0-)=54V这里有两个电阻，且两个电阻都与暂态过程有关。考虑电流源不能开路，电流源作用的RC电路中的电容C不能独立成回路，必须与电阻并联。5多电阻RC电路充放电总结(1)开关动作的影响开关闭合不一定就是给电容充电，而断开不一定就是电容放电。开关动作到底引起充电还是放电，要看开关在电路中的位置。与电源直接相接的开关闭合，引起一个充电过程；断开则引起一个放电过程。没有与电源直接相接的开关，即接在并联支路中的开关，闭合则引起一个放电

13、过程；断开则引起一个充电过程。(2)暂态过程中涉及的电阻双电阻RC电路的暂态过程，可能与两个电阻都有关系，也可能只与其中一个电阻有关系。一般讲，哪个电阻对电容充放电有影响，暂态过程就与该电阻有关系。6.5 RL电路暂态过程6.5.1 RL电路电流从0开始过渡图6-13 RL电路从0开始过渡时间常数iL(0-)=0根据换路定则得初始值iL(0+)=iL(0-)=0 根据稳态时电感相当于短路得稳态值根据三要素法得过渡电流方程6.5.2 RL电路电流衰减到0（a）无保护 （b） 二极管保护图6-14 电阻电感性负载有触点开关的典型保护电路根据换路定则得初始值iL(0+)=iL(0-) 根据三要素法得

14、过渡电流方程图6-15 电阻电感性负载保护电路中电流衰减曲线1自然快速衰减电感感应电压 电感线圈两端电压断开的开关承受电压无保护时，电路时间常数为0，开关断开时电流变化率很大，电感中产生很大的感应电压，将空气隙击穿，产生火花，烧损开关触点。1人工保护下平稳衰减电感感应电压电感线圈两端电压断开的开关承受电压就是说，在二极管保护下，从断开那一瞬间起，开关承受电压就始终等于电源电压。有二极管保护时，二极管为电感电流继续流动提供一个路径，开关断开时电流按照负指数曲线变化，变化率比较小，感应电压小，不足以使空气击穿，开关得到有效保护。a）无保护 b） 二极管保护图6-16 电阻电感性负载电子开关的典型保

15、护电路如果说二极管保护电路对有触点开关尚且可有可无，那么可以说二极管保护电路对电子开关就是必须的。因为若无保护，则电子开关在一次关断过程中就会彻底击穿损坏。与电阻电感性负载，例如继电器线圈反向并联一只二极管，是目前广泛应用的开关保护措施。很多继电器出厂前已经把保护二极管并联在线圈上，透过继电器壳体可以看到保护二极管。6.6 暂态过程计算要点1计算时间常数的两个要点(1) 应当按照开关动作后的电路进行；(2) 只考虑对暂态过程有影响的元件。图6-10中开关断开时电阻R1显然不影响暂态过程，计算时间常数时不需考虑R1。图6-11中开关闭合时电阻R2虽然接在电路中，但是也不影响暂态过程，计算时间常数

16、时不需考虑R2。2. 如何求电容电流和电感电压(1) 求电容电流电容电压可以代表其上的能量，可以用换路定则求电容电压初始值。但是，电容电流不能代表其上的能量，可能电容电流很大而其上电荷量很小甚至为0，也可能电容电流很小而其上电荷量很大。因此，切记不能用换路定则求电容电流初始值。要求电容电流，应当先求电压，然后根据q=Cu求电容电流。或者根据串联电路分压等原理,根据电容电压计算电阻电压,再求电流。(2) 求电感电压电感电流可以代表其上的能量，可以用换路定则求电感电流初始值。但是，电感电压不能代表其上的能量，可能电感电流很大而其两端感应电压很小甚至为0，也可能电感电流很小而其两端感应电压很大。因此

17、，切记不能用换路定则求电感电压初始值。要求电感电压，应当先求电流，然后根据求电感电压。 电感电压（降）的参考方向与电流参考方向相同。或者根据串联电路分压等原理,根据电感电流计算电阻电压,再求电感电压。表6.3 三大电子元件电压电流关系汇总瞬态,万能公式 稳态参考方向电阻U=RI电感与i相同电容进入电容3. RL电路暂态过程与RC暂态过程的区别电荷可以暂存，电流不能暂存，因为电流一刻也不能停止流动。因此电容引线允许断开一定时间后才开始放电，但电感引线一刻也不允许断开，否则就会造成过高的感应电压而产生火花。与继电器线圈反并联的保护二极管，利用其单向导电性，能在开关断开瞬间就导通，给电感线圈电流提供

18、继续流动的回路，所以把与线圈反向并联的二极管称为续流二极管。教材6.5节所讲断开电感线圈后再接上一个低阻值电阻提供电流衰减流动的方法，是不十分科学的，大约30年以前曾经使用类似方法，目前已经不用。应当注意，教材6.5节整体上只有理论分析价值，但已经没有任何实用价值。6.7 微分电路与积分电路6.7.1 微分电路把图6-17电容C左端接正直流电源，相当于给电路加上一个正矩形脉冲，电容C开始充电，假设电路时间常数远远小于矩形脉冲宽度，即，则矩形脉冲施加后，电容C很快充满，电路电流很快降到0，电路暂态过程很快结束，在电阻上输出一个很窄的正尖脉冲，见图6-18。再把图6-17电容C左端接地，电容C开始

19、放电，假设电路时间常数远远小于矩形脉冲宽度，即，则接地后，电容C上的电荷很快放完，电路电流很快降到0，电路暂态过程亦很快结束，在电阻上输出一个很窄的负尖脉冲，见图6-18。图6-17 微分电路电阻上的窄脉冲在矩形波上升沿和下降沿即矩形波变化时出现，所以把这种RC电路叫做微分电路。把图6-17电容C左端周期性地接直流电源和接地，相当于给电路加上一系列矩形脉冲，就能在电阻上输出一系列正负相间的尖脉冲，见图6-18。图6-18 微分电路的输出与输入微分电路实际上工作在连续的暂态过程中。微分电路的作用：将宽脉冲变换为窄脉冲，将脉冲上升沿变换为正窄脉冲，将脉冲下降沿变换为负窄脉冲。微分电路的两个特征：1电容输入，电阻输出；2时间常数远远小于脉冲宽度，。6.7.2 积分电路把图6-19电阻左端接正直流电源，相当于给电路加上一个正矩形脉冲，电路开始充电暂态过程，电容电压呈指数曲线上升，见图6-20。再把图6-19电阻左端接地，电路开始放电暂态过程，电容电压呈指数曲线下降，见图6-20。图6-19 积分电路把图6-19电阻R左端周期性地接直流电源和接地，相当于给电路加上一系列矩形脉冲，就能在电容C输出一系列