高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数学案（含解析）新人教A版选修

1、33.2函数的极值与导数提出问题如图是函数yf(x)的图象问题1：yf(x)在xa处的导数f(a)等于多少？提示：f(a)0.问题2：当xa时，f(x)取最大值吗？提示：不是，但f(a)比xa附近的函数值都大问题3：在xa附近两侧导数f(x)的符号有什么特点？提示：在xa附近左侧f(x)0，右侧f(x)0.问题4：当xd时，请回答以上问题提示：f(d)0；不是，但f(d)比xd附近的函数值都小；在xd附近左侧f(x)0.导入新知1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，就把点a叫

2、做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值化解疑难1对极值概念的理解(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能极值不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系2极值与极值点辨析(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点

3、的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点利用导数求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x).解(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x13，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增单调递减6单调递增故当x1时，函数取得极大值，且极大值为f(1)；当x3时，函数取得极小值，且极小值为f(3)6.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)，f(

4、x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递增单调递减故当xe时，函数取得极大值，且极大值为f(e).无极小值类题通法(1)求函数极值的步骤：求方程f(x)0在函数定义域内的所有根；用f(x)0的根将定义域分成若干小区间，列表；由f(x)在各个小区间内的符号，判断f(x)0的根处的极值情况(2)表格给出了当x变化时y，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值活学活用求下列函数的极值：(1)f(x)x312x6；(2)f(x)2.解：(1)f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，解得x12，

5、x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减10单调递增22单调递减当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)10；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)22.(2)函数f(x)的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减3单调递增1单调递减由上表可以看出，当x1时，函数取极小值3；当x1时，函数取极大值1.已知函数极值求参数例2已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处的极小值为1，试确定

6、a，b的值，并求f(x)的单调区间解由已知f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0.又f(1)13a2b1，由解得a，b，f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1(3x1)(x1)，令f(x)0，得x或x1；令f(x)0，得x1，f(x)在x1的左侧f(x)0，右侧f(x)0，即f(x)在x1处取得极小值，故a，b，且f(x)x3x2x.它的单调递增区间是和(1，)；单调递减区间是.类题通法已知函数极值，确定函数的解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法

7、求解后必须验证充分性活学活用已知函数f(x)x3ax2bxc，且当x1时取得极大值7，当x3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a，b，c的值解：f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb.x1时函数取得极大值，x3时函数取得极小值，1,3是方程f(x)0的根，即为方程3x22axb0的两根故解得f(x)x33x29xc.x1时取得极大值7，(1)33(1)29(1)c7.c2.函数f(x)的极小值为f(3)3333293225.函数极值的综合应用例3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两

8、个实数根？解(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，求函数的单调区间与极值解：f(x)x22xm21.令f(x)0，得到x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的单调递减区间为(，1m)和(1m，)，单调递增区间为(1m,1m)函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)m3m2；函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)m3m2.随堂即时演练

9、1下列四个函数中，能在x0处取得极值的是()yx3；yx21；ycos x1；y2xABC D解析：选B为单调函数，不存在极值2已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A1B2 C3D4解析：选B由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个3函数y3x39x5的极大值为_解析：y9x29.令y0，得x1.当x变化时，y，y的

10、变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y单调递增极大值单调递减极小值单调递增从上表可以看出，当x1时，函数y有极大值3(1)39(1)511.答案：114已知函数f(x)x3ax23x9，若f(x)在x3时取得极值，则a_.解析：f(x)3x22ax3，由题意知3是3x22ax30的根，解3(3)22a(3)30，得a5，经检验a5时符合题意答案：55求下列函数的极值：(1)f(x)x312x；(2)f(x)sin xx，x(0,2)解：(1)函数的定义域为R，f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(

11、，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增16单调递减16单调递增从表中可以看出，当x2时，函数有极大值f(2)16；当x2时，函数有极小值f(2)16.(2)f(x)cos x，令f(x)cos x0，得cos x.又x(0,2)，x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增当x时，f(x)取极大值；当x时，f(x)取极小值.课时达标检测一、选择题1函数f(x)2x2x3的极值情况是()A有极大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C既无极大值也无极小值D既有极大值又有极小值解析：选Df(x)2x3x2，令f(x)0有x0

12、或x.当x时，f(x)0；当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.从而在x0时，f(x)取得极大值，在x时，f(x)取得极小值2函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为()A1，3B1,3C1,3 D1，3解析：选Af(x)3ax2b，由题意知f(1)0，f(1)2，a1，b3.3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1.易知x1是函数f(x)的极小值点4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A(1,2)B(3,6)C(，1)(2，)D(，3)(6，)解析：选Df(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a3.5对于函数f(x)x33x2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的单调递增区间为(，0)，