探究命题中条件与结论间的变化规律

1、探究命题中条件与结论间的变化规律江西省丰城市第三中学 黄荣华内容摘要：几何命题和其他的学科命题一样，千变万化，但它们的一切性质却都是从已知条件出发而推得的。分析条件与结论间的关系，研究它们变化时某些不变的性质，发现和掌握它们之间的一些内在联系，探究其变化规律是学习几何的基本方法之一。利用这种探究方法，对教学来说，则可达到事半功倍的实效。本人在多年的教学中，通过积极探索、研究，掌握了一些行之有效的东西。下面就通过二个实例来探究命题条件与结论间的变化规律。实例1：在ABC的BC和AB边上分别向形外作正方形BCDE与ABMN，连AE、MC，求证：AEMC且AE=MC（新旧教材均有此题）。分析：因为图

2、形中出现了两个相应的正方形，具备了边等和角等（90）的条件，所以可以采用旋转变换的方法 来证明。证明：将BCM绕点B点以顺时针方向转90，则BCM与BAE重合，由于BM=BA，所以点M旋转90后与点A重合；由于BC=BE，所以点C旋转90后与点E重合，这就是说MC旋转90后与AE重合，MCAE且MC = AE。为了对这个命题作深入研究，探索其变化规律，不妨改变其原来的一些条件，看看结论会不会发生相应改变。探究1：将例1的题设中“向形外”改为“向形内”，其余的已知条件都不变，看结果如何？分析：正方形的条件没有变，只是改变了两个正方形的位置，所以仍可以应用旋转变换的方法来证。证明：将BCM绕B点以

3、逆时针方向（不再是顺时针方向，它 们的方向变了)旋转90与BAE重合，结果可以得到同样的结论：即MCAE且MC = AE。从这里说明了题设中将“向形外”改为“向形内”，仅只是形式上的变化，由于正方形BCDE、ABMN与原题设中的正方形BCDE、ABMN顺序刚刚相反，即旋转方向刚刚相反，所以证明时，除了相应改变旋转90的方向外，其余都没有变化，说明它们的证题规律没有变化，因此得到的结论不变。探究2：若将原题设中的“向形外”改为“一个向形外，另一个向形内”，则又将如何呢？ 此时，比较BCM与BAE，可以从图中看出，它们之间的位置关系已经与上述的情况有了不同的变化，若将BCM绕点B以顺时针方向（顺逆

4、均可）旋转90后处于BEM的位置。由于旋转90，且AB = BM = BM 故ABM为一直线，且B为AM的中点 这时具有：SABE =SBEM =SBCM，即产生了面积相等的结论。但两个三角形面积相等，并不一定重合（全等），在这样条件变化下，AE与ME不再存在垂直与相等的关系了，它已经改变了原命题的结论，而出现了一种新的结论。经过对本题的探究，它就提供我们一种思考方法，在证明时，懂得如何去推导、论证其同一类型的命题。探究3：若在例1中的原题设中再加补充，设AC的中点为P，两个正方形ABMN、BCDE的中心分别为O及O，连结PO、PO，试探究在上述三种情况下，PO与PO之间的关系如何？（请读者思

5、考）实例2：有一个平行四边形ACBC，对角线交于O点，若把平行四边形ACBC的一条对角线看作一个轴，ABC与ABC分居在AB的异侧，另一组对应顶点C、C的连线必为AB所平分，即OC=OC。若将ABC以AB为轴反射至ABC的同侧，得到ABC如图4，这时，连结CC，那么CC不再被AB所平分，而是与AB平行，即CCAB。事实上： ACBC SABC =SABC 而SABC =SABC 故SABC =SABC连结CC，利用同底等高，CC必与AB平行，即CCAB。从例2可以看出，CC被AB所平分，而CC却与AB平行，产生差异的原因是由“反射”变换而引起，因为一个三角形的方向改变了，结论也随之改变。探究：

6、将例2中的条件SABC =SABC保持不变，而变更ABCABC这个特殊条件，再来看一看其结论会不会引起变化。设SABC =SABC且ABC与ABC分别在AB的异侧，如图5连结CC，同样作CHAB交AB于H，作CHAB交AB于HSABC =SABCCH = CH 又CHO = CHO = 90 HOC = HOC COHCOH OC = CO即两个三角形对应顶点CC的连线仍被AB所平分。同样，若ABC 位于ABC同侧的情况 ， 如ABC ，连结CC 则可以得到 CCAB。这里改变了例2的特殊条件ABCABC，而保持SABC =SABC和其余条件，其结论不变，于是我们得到了比例2更为一般的性质，即

7、定理：两个等积三角形ABC与ABC，同以AB为底而位于AB异侧，连结两个顶点C、C，则CC被AB平分。很明显，这个定理的逆命题也是成立的，即逆定理：连结同底而于底的异侧之两个三角形的顶点的直线，交于底边而被底边平分，则此两三角形必等积。根据例2，我们不难推得下面的定理：两个等积的三角形ABC、ABC，同以AB为底而位于AB的同侧，凡作与AB平行之直线，割于两三角形内之线段必相等。设：SABC =SABC，直线lAB 分别交AC、BC、AC、BC于E、F、G、H（如图6）求证：EF = GH （新旧教材均有此题型）证明：由例2知CCAB 又 l AB 很明显，ABCC是一个梯形，若它的对角线交于

8、O点，且直线l是通过O点的平行底边AB的直线，则夹于两腰间的线段必相等，这是一个常见的定理：过梯形的两对角线交点，作底的平行线交于两腰，则这线段被对角线的交点所平分。当一个命题的题设条件作了一些变化后，对它原有结论起了一些什么影响，其中有些什么规律，这就是一个探索创新的问题。我们在学习几何的时候，若能经常探究一些命题的条件与结论间的变化规律，这将能把几何学活，在各种变化中判断出是非和规律。思考题：以ABC的AB、AC为一边向三角形外侧各作正三角形ABD、ACE，再以BC为一边向三角形内侧作正三角形BCF，则四边形ADFE为平行四边形。探究：1、改变AB、AC为一边所作正三角形的方向（即向三角形之内侧作正三角形）而不改变BCF的方向，其结论是否有改变？2、三个正三角形的方向都 改变，则又将