八年级数学下册-第一章.ppt

1、证明（二）,八年级数学下册 第一章,彩虹教育 主讲 郎瑞,怎么证明几何命题,证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.,要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counter example).,证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE/AB，则

2、 1（两直线平行，内错角相等） 2（两直线平行，同位角相等） 1+2+180 +180,辅助线,关于辅助线：,辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线） 它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. 添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.,反证法,在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity),用反证法证明

3、的一般步骤: 1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,“原名” 知多少,定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition) . 命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement). 每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 正确的命题

4、称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statement).,公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推论可以当作定理使用.,1.全等三角形,教学目标： 知识与技能： 1，了解全等形及全等三角形 的概念 2，理解全等三角形的性质 3，掌握寻找对应边与对应角 的方法，能运用全等三角形的 性质解决简单的问题。,同一张底片洗出的同大小照片

5、是 能够完全重合的;,回忆：举出现实生活中能够完全重合的图形的例子?,能够完全重合的两个图形叫做全等图形.,全等图形的特征,全等图形的形状和大小都相同,全等三角形的性质： 全等三角形对应边相等，对应角相等。,概念,能够完全重合的两个三角形,叫,全等三角形.,注：对应顶点要在对应的位置,互相重合的边叫对应边.,互相重合的角叫对应角.,问题 观察图中的全等三角形应怎样表示？, ABC DEF,注：记全等三角形时,通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上.,在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？,有公共边的，公共边是对应边.,在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？,有公共角的，公共角是对应

6、角.,有对顶角的，对顶角是对应角.,在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？,一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.,一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.,有公共边的，公共边是对应边. 有公共角的，公共角是对应角. 有对顶角的，对顶角是对应角. 一对最长的边是对应边， 一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角， 一对最小的角是对应角.,规律总结,直角三角形全等的判定方法,直角三角形全等的判定方法: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.

7、 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!,随堂测试,1、判断 （1）、两个全等形一定能够重合（ ） （2）、两个图形全等，所有对应元素都相等（） （3）、三个角对应相等的两个三角形全等（） （4）、两个三角形全等，对应顶点所在的角一定是 对应角，对应边所夹的角一定是对应角， 对应角所对的边也是对

8、应边。 （）,2、如图所示，ABCDCB，则观察图形一定有下 列关系成立：, AB = _，AC = _； A = _，ABC = _， ACB =_,3、如图 ABD CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC= ，CD= 。,A,B,D,C,达标测试,1、能够 的两个图形叫做全等形. 两个三角形重合时，互相 _的顶点 叫做对应顶点.记两个全等三角形时， 通常把表示 _顶点的字母写在_ 的位置上.,2、如图ABC ADE 若D=B， C= AED， 则DAE= ； DAB= 。,重合,重合,重合,相对应,BAC,EAC,4、如图ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长,达标

9、测试,解： ABD EBC AB=EB、BD=BC BD=DE+EB DE=BD-EB =BC-AB =5-3=2cm,小结,1、什么是全等形、全等三角形、全等三角形的 对应顶点、对应边、对应角?,2、表示三角形全等时应注意什么？,3、识别全等三角形的对应边、对应角的关键是正 确识别它们的对应顶点。,2.等腰三角形,生活中你能遇到的等腰三角形？,底角,底角,底边,顶角,腰和底边的夹角叫做底角。,有两边相等的三角形叫等腰三角形.,什么是等腰三角形？,等腰三角形中，相等的两边叫做腰，,另一边叫做底边。,两腰的夹角叫做顶角。,知识回顾：,推理论证：,已知：在ABC中，AB=AC,求证B=C,D,证明

10、：作底边BC的中线AD, ADBADC, B=C,在ADB和ADC中,BD=CD,已知：在ABC中，AB=AC,求证B=C,D,证明：过点A作ADBC交BC于点D, RtADB RtADC, B=C,在Rt BAD与Rt CAD中, BDA = CDA = 90,已知：在ABC中，AB=AC,求证B=C,AB = AC AD = AD,D,证明：作AD平分BAC, ADBADC, B=C,在ADB和ADC中, BAD = CAD,已知：在ABC中，AB=AC,求证B=C,AB = AC BAD = CAD AD = AD,概括结论:,1 .等腰三角形的两个底角相等.,等边对等角：,A,B,C,

11、AB=AC, B=C,概括结论:,2.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合.,（等腰三角形的三线合一）,3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是顶角的平分线（底边上的中线,底边上的高）所在的直线。,(1)AB=AC,AD是边BC上的高， _ = _，_= _.,(2) AB=AC,AD是中线，_ ，_ =_.,(3) AB=AC,AD是角平分线， _ _ ，_ =_.,ABD,CAD,ACD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,D,利用等腰三角形的性质填空：,1.在ABC中，AB = AC，A = 50， 则B = .,2.在ABC中，AB = AC，B=

12、 50， 则A= .,65,80,小试牛刀：,3.等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_,70,40或55,55,30,30,4.等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_,2、在ABC中，已知：AB=AC,、AB=2，BC=3，则ABC的周长为 ；,、若有两边长为2、4，则ABC的周长为 ；,、若有两边长为2、3，则ABC的周长为 ；,7,10,7或8,分类思想,既快又准,例1、如图，在ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.,（1）图中共有哪些等腰三角形. （2）求ABC各内角的度数。,解: (1) ABC、BDC、ABD,(2)设A=x,例2、如图，在ABC中，

13、AB=AC，BD=CD，AD的延长线交BC于E.求证：AEBC., ADBADC, BAD=CAD,证明：在ADB和ADC中, AEBC,又 AB=AC,练习：如图在ABC中，AB=AC, 点D、E在BC上，且AD=AE,求证：BD=CE,证明：作BC边上的高AF也是DE边上的高 AB=AC BF=CF （三线合一） AD=AE DF=EF（三线合一） BF-CF=CF-EF BD=CE,1、如图，ABC是等腰直角三角形，（AB=AC, BAC=90）,AD是底边BC上的高， 求出B 、C 、BAD 、DAC的度数，图中有哪些相等的线段？ 2、如图在ABC中，AB=AD=DC, BAD=26,

14、 求B和C,答案：1、B=C=BAD=DAC=45 AB=AC BD=CD=AD 2、B=77 C=38.5,小结,总结,性质： 1)等腰三角形是轴对称图形， 2)等腰三角形的两底角相等（等边对等角） 3)等腰三角形的底边上的中线,底边上的高和顶角平分线、互相重合（三线合一）,实验操作得到图形 实验探究发现结论 推理论证证明结论,转化 分类,3.直角三角形,如图，在高为米，坡角为30的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？,米,看谁算的快？,对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,勾 股 定 理,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角

15、形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理,美国第十七任总统的证法, (a+b)2 = c2 + 4ab/2,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,(a+b)2,c2 +4ab/2, c2= 4ab/2 +(b-a)2,c2 =2ab+b2-2ab+a2,c2 =a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,c2,4ab/2+(b- a)2,四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形

16、.,你了解吗?,勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。,命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。,分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.,例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角 三角形?若是,请指出哪一条边所对的角是直角. (1) a=25，b=7，c=24; (2) a=13，b=15，c=14,解:(1)最大边为25,252-242=(25+24)(25-24)=49,72 =49,252-242 =72,以24, 7, 25为边长的三角形是直角三

17、角形且a所对的角A=90,(2)最大边为15,132+142=169+196=365,152 =225,132+ 142 152,以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形,像7,24,25,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.,242+72=252 b2+c2=a2,（也可用最大边与另一条边的平方差是否等于第三边的平方。),例2.在ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm ， 求证：AB=AC,定理: 直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方。,命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三形是直角三角形。,两个

18、命题的条件和结论有什么 样的关系？,在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.,你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?,它们都是真命题吗?,命题与逆命题,如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角;,如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;,三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等.,想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?,定理与逆定理,一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.,你

19、还能举出一些例子吗?,想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?,如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.,1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）.四边形是多边形； （2）.两直线平行，同旁内角互补； （3）.如果ab=0，那么a=0，b=0；,2.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?,已知：ABC中， C=600，AB=14，AC=10，AD是BC边上的高，求BC

20、的长,解后反思： 在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用，在有直角三角形时，可直接应用，在没有直角三角形时，常作垂线构造直角三角形，为能应用勾股定理创造条件。,已知：在ABC中， C=900， AD是BC边上的中线，DEAB，垂足为E， 求证：AC2=AE2-BE2,解后反思,证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形，以便运用勾股定理。,4.线段的垂直平分线,P,B,A,C,M,N,二、教学目标：,1、掌握线段垂直平分线的性质定理，能够运用它们进行有关论证； 2、进一步了解有关点的集合的概念； 3、培养类比学习的方法；,

21、三、定理：,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。,A,P,B,C,M,N,1、内容：,几何语言：,PCAB AC=BC（已知）,PA=PB（定理）,2、证明：,M,N,A,B,P,C,如图：讨论后完成下列问题。,（1）请根据定理写出已知和求证。,2、证明：,M,N,A,B,P,C,MNAB于C，AC=BC，点P在MN上。,已知：,求证：,PA=PB,证明：,MNAB（已知） PCA=PCB（垂直定义）,在PCA和PCB中：,AC=CB（已知） PCA=PCB（已证） PC=PC（公共边）,PCAPCB（SAS）,PA=PB（全等三角形的对应边相等）,四、例题：,已知：ABC中，边

22、AB、BC的垂直平分线交于点P。 求证：PA=PB=PC,B,A,C,P,证明：点P在线段AB的垂直平分线上（已知） PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等） 同理：PB=PC PA=PB=PC。,想一想：P点也在AC的垂直平分线上吗？为什么？,练习1：,1、求一点P，使它到ABC的三个顶点的距离相等。,A,B,C,2、如图：在直线L上求作一点P，使PA=PB,l,A,B,P,练习2：,如图： 已知：AB=AC，A=120度，EF是AB的垂直平分线 求证：BF=1/2FC,A,B,C,E,F,证明：连结AF。 AB=AC（已知） B=C（等边对等角） 又BAC=120度（已知）

23、 B=C=30度（三角形内角和定理） EF是AB的中垂线（已知）,FA=FB（？） BAF=B=30度（等角对等边） FAC=90度 又 C=30度（已证） AF=1/2FC（？ ） FB=1/2FC,济宁市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。,A,B,C,实际问题1,线段的垂直平分线,1、求作一点P，使它和ABC的三个顶点距离相等.,104 国 道,A,B,L,实际问题2,在104国道L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见

24、，问医院的院址应选在何处？,线段的垂直平分线,2、如图，在直线L上求作一点P，使PA=PB.,定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合,线段的垂直平分线,定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。,逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合,A,B,M,N,P,点的集合是一条射线,点的集合是一条直线,六、小结：,1、定理： 2、逆定理： 3、集合观念：,应用,角的平分线,1.

25、5,什么叫角平分线？ 怎么画角平分线？ 角平分线上的点有什么性质？,思考题,尺规作角的平分线,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于N,作射线,射线即为所求,分别以，为圆心，大于 的长为半径作弧两弧在的内部交于,例 已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. 由此题能得出什么结论？,C,证明:PDOA，PEOB（已知） PDOPEO90o（垂直的定义）,PDOPEO (A.A.S),PD=PE,命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等,你能写出这个定理的逆命题

26、吗？它是真命题吗？如果是请证明它。,逆命题：在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,由此你能得出角平分线怎样的性质？,角平分线的性质,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE.,交换定理的题设和结论得到的命题为：,逆命题：在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,已知：PD OA ，PE OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证： 点P在AOB的平分线上。,角平分线的判定,P,用符号语言表示为：,PD=PE PD OA ，PE OB 1= 2 .,由上面两个定理可知：到角的两边的

27、距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.,思考 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?,练一练,1，填空： (1). 1= 2 DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),1= 2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2，判断：如图，ABC中，AB=AC,AD是BAC的平分线，DEAB,DFAC,垂足分别为E,F。G,H分