2014《步步高》高考数学第一轮复习12 正态分布

1、12.7正态分布2014高考会这样考1.考查根据正态密度曲线的对称性计算概率；2.考查3原则的实际应用复习备考要这样做1.了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态分布的对称性；2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率1 正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和 (0)为参数，我们称，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为_1_；当一定时，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，_越

2、小_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_越大_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示2 正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(32)_.答案0.1解析P(02)P(20)0.4，P(2)(120.4)0.1.2 若XN(0,1)，且P(X1.54)0.938 2，则P(|X|1.54)_.答案0.876 4解析由正态曲线的对称性知P(X1.54)P(X1.54)又P(

3、X1.54)1P(X1.54)10.938 20.061 8P(X1.54)0.061 8，P(|X|1.54)P(1.54X1.54)P(Xc1)P(Xc1)，则c等于()A1 B2 C3 D4答案B解析2，由正态分布的定义知其函数图象关于x2对称，于是2，c2.5 (2011湖北)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于()A0.6 B0.4C0.3 D0.2答案C解析P(4)0.2，由题意知图象的对称轴为直线x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6.P(02)P(04)0.3.题型一正态曲线的性质例1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函

4、数的最大值为.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(4,4的概率思维启迪：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数，的值，其中决定曲线的对称轴的位置，则与曲线的形状和最大值有关解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)e，x(，)(2)P(4X4)P(04X04)P(0)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12 B12C12，12，12答案A解析根据正态分布N(，2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值

5、的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.题型二服从正态分布的概率计算例2某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示(1)求总体随机变量的期望和方差；(2)求成绩X位于区间(52,68的概率思维启迪：根据正态分布图象的特征进行求解解(1)从给出的密度曲线图可知，该正态曲线关于x60对称，最大值为，60，解得4.，(x)e，x0,100，总体随机变量的期望是60，方差是216.(2)成绩X位于区间(52,68的概率为P(20)若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(2，)上取值的概率为_(2)若XN，则X落在(，1(1，)内的概

6、率为_答案(1)0.1(2)0.002 6解析(1)由正态分布的特征易得P(2)12P(01)1P(1X1)1P(3X3)10.997 40.002 6.题型三正态分布的应用例3已知电灯泡的使用寿命XN(1 500,1002)(单位：h)(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.13%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？思维启迪：(1)先求P(X1 400)，再求P(X1 400)；(2)设使用寿命最长的灯泡寿命至少为x0小时，重点分析P(X1 500x01 500)如何求解(1)P(X1 400)1P(X1 500，则P(Xx0)0

7、.13%.P(X1 500x01 500)0.13%，P(|X1 500|x01 500)10.26%0.997 4，所以x01 500300，x01 800(小时)探究提高解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x，只有在标准正态分布下对称轴才为x0.在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(100,100)，已知满分为150分(1)试求考试成绩位于区间(80,120内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数解(1)由N(100,100)知100，10.P(80120)P(

8、1002010020)0.954 4，即考试成绩位于区间(80,120内的概率为0.954 4.(2)P(90110)P(10010110)(10.682 6)0.158 7，P(90)0.682 60.158 70.841 3.及格人数为2 0000.841 31 683(人)正态分布中概率计算错误典例：(5分)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为 ()A0.3% B0.23% C1.5% D0.13%易错分析解本题易出现的错误主要有以下两个方面：一是对正态分布的理解不深刻，不能正确地得出该正态分布的两个重要参数和，导致计算无从下手；

9、二是对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不扎实，导致计算出错解析依题意，116，8，所以392，3140，而服从正态分布的随机变量在(3，3)内取值的概率约为0.997 4，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.74%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为0.13%.答案D温馨提醒在正态分布中，数值计算问题是高考考查的一个热点，往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误若随机变量服从正态分布N(，2)，那么随机变量在区间(，(2，2，(3，3内取值的概率分别约为0.682 6,0.954 4，0.997 4，应牢记这几个概率值，在解决正态分布

10、问题时，经常用到这类数值的计算.方法与技巧1 熟练地掌握正态曲线的解析式，(x)e，xR.注意结构特点，特别是参数的一致性2 理解正态曲线的形状特征，如对称轴、顶点变化趋势等3 若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.失误与防范在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数，求出，然后确定三个区间(范围)：(，(2，2，(3，3与已知概率值进行联系求解A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 已知三个正态分布密度函数i(x)e(xR，i1,2,3)的图象如图所示，则()A1

11、3B123，123C123，123D123，123答案D解析正态分布密度函数2(x)和3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故23，又2(x)的对称轴的横坐标值比1(x)的对称轴的横坐标值大，故有123.又越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数1(x)和2(x)的图象一样“瘦高”，3(x)明显“矮胖”，从而可知124)等于()A0.158 8 B0.158 7C0.158 6 D0.158 5答案B解析由于X服从正态分布N(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x3.所以P(X4)P(X4)0.158 7.4 已知随机变量N(3,22)，若23，

12、则D()等于()A0 B1 C2 D4答案B解析由23，得D()4D()，而D()24，D()1.二、填空题(每小题5分，共15分)5 某中学2 000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N(120,100)，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为_(注：正态总体N(，2)在区间(2，2内取值的概率约为0.954)答案46解析因为标准差是10，故在区间(12020,12020之外的概率是10.954，数学成绩在140分以上的概率是0.023，故数学成绩在140分以上的人数为2 0000.02346.6 随机变量服从正态分布N(1，2)，已知P(0)0.3，则P(2)_.答案0.7解析由题意

13、可知，正态分布的图象关于直线x1对称，所以P(2)P(0)P(01)P(12)，又P(01)P(12)0.2，所以P(2)0.7.7 商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布XN(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.810.2 kg的概率是_答案0.954 4解析P(9.8X10.2)P(100.25)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)10.997 40.002 60.003.1 0000.0033(个)，即不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有3个9 (12分)某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50

14、分钟到达目的地的概率解由30，10，P(X)0.682 6知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P(2X2)0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 40.682 60.271 8，由正态曲线关于直线x30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是 ()A曲线C2仍是正态曲线B曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C以曲线C2

15、为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2答案C解析正态密度函数为f(x)e，正态曲线的对称轴为x，曲线最高点的纵坐标为f().所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f()没变，从而没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值增大了2.2 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其概率密度函数为，(x)e (xR)，则下列命题不正确的是 ()A该市这次考试的数学平均成绩为80分B分数在120

16、分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为10答案B解析由密度函数知，均值(期望)80，标准差10，又曲线关于直线x80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的3 设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是，则等于 ()A1 B2C4 D不能确定答案C解析根据题意，函数f(x)x24x没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点的概率是时，4.二、填空题(每小题5分，共15分)4 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(

17、1，2)(0)若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_答案0.8解析服从正态分布N(1，2)，在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.在(0,2)内取值的概率为0.40.40.8.5 2010年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量服从正态分布N(8，2)，已知耗油量7,9的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有_辆答案180解析由题意可知N(8，2)，故正态曲线以8为对称轴，又因为P(79)0.7，故P(79)2P(89)0.7，所以P(89)0.35，而P(8)0.5，所以P(9)0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 2000.15180(辆)6 设随机变量服从正态分布N(0,1)，记(x)P(x)，给出下列结论：(0)0.5；(x)1(x)；P(|2)2(2)1.则正确结论的序号是_答案解析根据正态分布的性质可以判定均正确三、解答题7 (13分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(6