经典高等数学D4-2[1] 第一类换元积分_第1页
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文档简介

1、1,1.不定积分定义,复习,或,若在I内，,2.不定积分的性质,3.微分与积分的关系,4.直接积分法：,通过恒等变形,利用线性性把所给积分,变成公式中有的形式，,求出积分的方法.,2,5.基本积分公式,Kx+C,3,4,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第四章,5,第一类换元法,基本思路 ：,6,一、第一类换元法,定理1.,(也称凑微分法),即,说明：,说明被积表达式,可看成 的微分,2.公式说明了积分形式的不变性，即,这是积分符号的优点.,7,令,回代,关键：,将,化为：,dx,d,若好求,解:,dx,d(2x),令,回代,du,3.如何用公式？,8,注意换回原变量,解

2、:,令,回代,例2.,求,dx,d(x-a),du,例3.,求,令,回代,解:,du,9,说明：,d,2.对变量代换较熟练后，就可以不写出中间变量 ，可直接凑微分 ，所以第一类换元法又叫“凑微分法”.,解:,例4.,d,解:,原式=,例5.,10,1.一般地：,说明：,2. 这一部分的题型变化多端,最好能把用过的方法记下来,起码有“似曾相识”的感觉.这一部分需要灵活的、有经验的头脑.经验来自于不断地积累;经验来自于实践.故需要多做题多积累.,3.记住几个重要微分公式：,4.记住微分法则:,11,解:,原式=,d,例7.,求,dx.,解:,原式=,d,1-,( ),12,例8. 求,解: 原式

3、=,例9. 求,解:,类似,13,原式=,即,解：,例10.,例如. 求,14,原式=,即,解：,例11.,15,解：,例12. 求,dx,即,例如.,16,解：,例13.,求,解：,例14.,求,经验：对于,拆开奇次幂凑微分，,若m,n均为偶数,则用降幂公式,降为一次.,17,解:,例15. 求,变形方法：积化和差,18,解法1:,例16. 求,d,所以,19,20,解法2:,类似地,21,例17. 求,解:,公式：,22,解法1：,解法2：,原式,原式=,例18. 求,d,经验：对于,m为奇数时,化为,n为偶数时,化为,注意：积分方法不同,结果的形式不同.,23,例19. 求,解法1:,解

4、法2:,解法3:,24,基本积分表 (2),小结:第一类换元法(凑微分法),P205,25,常用的凑微分公式：,26,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项(通分的逆运算);,利用倍角公式 , 如,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配方等方法.,(4) 巧妙换元或配元,化分母为单项式等.,27,如： 求,提示:,法1.,法2.,法3.,上面所举的例子,可以使我们认识到第一类换元积分法所起的作用,像复合函数的求导法则在微分学中一样,第一类换元法经常使用,但此法求积分要比复合函数求导困难,因为这其中需要一定的技巧,而且适当选择变量代换 没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除了熟悉一些典型的

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