专题十三 三角形动点问题汇总

1、 中国领先的中小学教育品牌聚智堂教育学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目： 学科教师： 学员姓名：课 题专题十三 三角形的动点问题教学目的1，能对动点转化为静点进行处理问题，2，能利用分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想解决问题。重难点分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想的应用教学内容 一、概念引入所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想2 随堂练习1. 如图，在矩形A

2、BCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则ABC的面积是（A ） A、10 B、16 C、18 D、202, 如图在Rt中，AB2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E设，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是( B )【答案】B【思路分析】由于D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），所以0x2，通过画图进行分析，画出的图形如图，在点D由A向B移动过程中，AE的长首先在减小如图1-图2所示，当运动到AB的中点时CE的长度达到最小值，当点D再向B移

3、动过程中，CE的值开始增大，离点B越近CE的值越大，DE与AC越接近平行状态。所以此函数图象函数y先随x的增大而减小，然后y先随x的增大而增大，此题选B。3,平面直角坐标系中，已知点O（0,0）、A（0,2）、B（1,0.），点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为点Q，若以点O、P、Q为顶点的三角形与OAB相似，则相应的点P共有（D)A.1个 B.2个C. 3个 D.4个【答案】D【思路分析】在OPQ和OAB中，PQO=AOB=90，如果POQ=ABO或POQ=BAO时，两个三角形相似，此时直线PQ分别有2个交点，共有4个交点，即相应的点P共有4个.4，（2013河北）如图

4、，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止设运动时间为t秒，y=SEPF，则y与t的函数图象大致是（A）A BCD解：在RtADE中，AD=，在RtCFB中，BC=， 点P在AD上运动：过点P作PMAB于点M，则PM=APsinA=t，此时y=EFPM=t，为一次函数；点P在DC上运动，y=EFDE=30；点P在BC上运动，过点P作PNAB于点N，则PN=BPsinB=（AD+CD+BC-t）=，则y=EFPN=，为一次函数综上可得选项A的图象符合故选A5，（2013荆门）如右图

5、所示，已知等腰梯形ABCD，ADBC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（A）A BC D解：当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合故选A6，（2013永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（A）A B

6、C D7， 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（A）ABCD8，（2013衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（A）ABCD,9，如图，RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着ABA的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0t6），连接DE

7、，当BDE是直角三角形时，t的值为（D）A2B2.5或3.5C3.5或4.5D2或3.5或4.51D10图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（D）A当x=3时，ECEMB当y=9时，ECEMC当x增大时，ECCF的值增大D当y增大时，BEDF的值不变11，如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的RtGEF的一边GF重合正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与RtG

8、EF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（B）ABCD12，如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（B）A2B3C4D513,如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是ADCBA，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ B ）第8题图14,如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D设直线被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（

9、A ）AOytBOytCOytDOyt（第14题）15，,如图（1），在RtABC中，ACB=90，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿BCA运动，设SDPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图像如图（2）所示，则ABC的面积为（ B ）A. 4 B. 6 C. 12 D. 14【思路分析】通过图（2）可以看出，当点P运动到点C时，点P运动的路程为4，即BC=4；当点P运动到点A时，点P运动的路程为7，即AC=3，则SABC=ACBC=616,如图，在ABC中，AB=20，AC=12，点P从点B出发以每秒3的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2的速度向点C运动，其中一个动点

10、到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ是等腰三角形时，运动的时间是 （ D ）A 2.5B3秒C3.5秒D4秒17（2013丽水）如图1，在RtABC中，ACB=90，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线ACCB运动，到点B停止，过点P作PDAB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（B）A1.5cmB1.2cmC1.8cmD2cm分析：根据图2可判断AC=3，BC=4，则可确定t=5时BP的值，利用sinB的值，可求出PD解答：解：由图2可得，AC=3，BC=4，当t=5时，如图所示：，此时AC+CP=5，故BP=

11、AC+BCACCP=2，sinB=，PD=BPsinB=2=1.2cm故选B18（2013莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿ABC的方向运动，到达点C时停止设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（B）ABCD考点：动点问题的函数图象4184544专题：压轴题分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决解答：解：等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，AN=1当点M位于点A处时，x=0，y=1当动点M从A点出发到AM=0.5的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；当动点M到达C点时，x

12、=6，y=4，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等故排除A、C故选B点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况19，如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是_（2011，2）_【答案】（2011，2）【思路分析】从点的坐标可以看出横坐标正好是运动的次数，所以第2011次运动后点的横坐标就是2011，纵坐标的数是1，0，2，0，1，02，0，四个一循环，所以20114=

13、5023，因此第2011次点的纵坐标是2，故点的坐标为（2011，2）20，如图，在四边形ABCD中，A90，AD4，连接BD，BDCD，ADBC若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 4 。 【答案】4 【思路分析】当DPBC时，DP的值最小，此时可根据角平分线上一点到角的两边距离相等，得DPAD421,如图4，在梯形ABCD中，ADBC，AD6，BC16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t 2或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行

14、四边形.图4【答案】2或【思路分析】由题意可知，.ADBC，当PDEQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.当2t8即t4时，点Q在C，E之间，如下图（左）.此时，PDADAP6t，EQCECQ82t，由6t82t得t2.当2t8即t4时，点Q在B，E之间，如上图（右）.此时，PDADAP6t，EQCQCE2t8，由6t2t 8得t.21（2013武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 -1解答题22,如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点M，

15、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5）（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由9解：如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm根据勾股定理，得=5cm（1）以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似，分两种情况：当AMPABC时，即，解得t=；当APMABC时，即，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=时，以

16、A、P、M为顶点的三角形与ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值如图，过点P作PHBC于点H则PHAC，即，PH=t，S=SABC-SBPH，=34-（3-t）t，=（t-）2+（0t2.5）0，S有最小值当t=时，S最小值=答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是23、如图，在梯形中，动 从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长（2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形ADCBMN2

17、4,如图，在中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为秒（1）当t=2.5秒时，求的面积；求的面积（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当为等腰三角形时，求出t的值；【答案】解：在RtABC中，AB=6米，BC=8米 AC=10米由题意得：AP=2t，CQ=t 则PC=10-2t（1）过点P作PDBC于D，t=2.5秒时，AP=22.5=5米，QC=2.5米PD=AB=3米，S=3.75平方米；过点Q作QEPC于点E，易

18、知RtRt ，S=(10-2t)=；（2）当秒（此时PC=QC）,秒（此是PQ=QC）,或秒（此时PQ=PC）时，为等腰三角形；25,如图，在RtABC中，B90，BC5，C30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）求证：AEDF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.【中考权威答案】（1

19、）在DFC中，DFC90，C30，DC2t，DFt.又AEt，AEDF（2）能.理由如下：ABBC，DFBC，AEDF.又AEDF，四边形AEFD为平行四边形.ABBCtan30ADACDC102t若使AEFD为菱形，则需AEAD，t102t，即t即当时，四边形AEFD为菱形（3）EDF90时，四边形EBFD为矩形. 在RtAED中，ADEC30，AD2AE.即102t2t，.DEF90时，由（2）知EFAD，ADEDEF90.A90C60，ADAEcos60.即EFD90时，此种情况不存在.综上所述，当或4时，DEF为直角三角形【思路分析】（2）由于AE与DF平行且相等，因此四边形AEFD是

20、平行四边形，要保证是菱形，只需保证一组邻边相等即可，可令ADAE；（3）DEF为直角三角形，则共有三种三种情况，即DEF90，EDF90和DFE9026,如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3

21、时，正方形EFGH的边长是 ；(2)当0t2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？【答案】(1)2；4；(2) 当0t时（如图），求S与t的函数关系式是：S=(2t)2=4t2； 当t时（如图），求S与t的函数关系式是：S=-SHMN=4t2-2t-(2-t) 2 =t2+t-；当t2时（如图），求S与t的函数关系式是：S= SARF -SAQE =(2+t) 2 -(2-t) 2=3t.(3) 当t=时，S最大，最大值为 【思路分析】（1）按照运动方向和速度，当t=1时，EP=FP=2，所以EF=2；当t=3时，E运动到A后返回，此

22、时EP=1，FP=3，所以EF=4；（2）通过分析可以知道，在0t2的过程中，刚开始正方形在三角形内部，而当t=2时，正方形的边长为4，此时点G在ABC的外部，因此在这个运动过程中应分三种情况：正方形在三角形内部；正方形的一个顶点H跑出三角形；正方形的两个顶点跑出三角形当在ABC的边AC上时，AE=2-t，HE=2t，因为AEHACB，所以，解得；当G在ABC的边AC上时，AF=2+t，GF=2t，且AFGACB,所以，解得，当0t时，S=（2t）2=4t2；当t时，S= S=-SHMN=4t2-2t-(2-t) 2 =t2+t-；当t2时，S= SARF -SAQE =(2+t) 2 -(2

23、-t) 2=3t（3）当t2时，E反向运动，此时EF的长固定不变，保持为4，t在开始之前重重叠部分的面积显然是在增加的，当时，重叠部分是六边形的时侯是先增后开始减少，此时可以求出图形为六边形时的关系式，即正方形的面积减去这两个小三角形的面积，而，而S=S正方形-S1-S2=16-=从而得当t=时，S最大，最大值为27,如图，在矩形ABCD中，AB12cm，BC8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S（cm2）（1）当t1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由【答案】（1）如图甲，当t1秒时，AE2，EB10，BF4，FC4，CG2，由SS梯形EG