高中数学人教选修12同课异构教学课件321复数代数形式的加减运算及其几何意义探究导学课型

1、3.2复数代数形式的四则运算 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义,主题一：复数的加法 【自主认知】 1.设向量 分别表示复数z1，z2，那么向量 表示的复数应该是什么？ 提示： 表示的复数是z1+z2.,2.设复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)对应的向量分别为 那么向量 的坐标分别是什么？ 提示： (a，b)， (c，d)， (ac，bd).,根据以上探究过程，总结出复数加法的运算法则、运算律及其 几何意义： 1.复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=_(a，b，c， dR). 2.复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3C， 交换律：z1+ z2= z2+ z1，

2、 结合律：(z1+z2)+z3=_.,(a+c)+(b+d)i,z1+(z2+z3),3.复数加法的几何意义：复数z1+z2是以 为邻边的平行四边 形的_所对应的复数.,【合作探究】 1.两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 提示：仍然是个复数，且是一个确定的复数. 2.复数的加法可以按照向量的加法来进行吗？ 提示：可以，这是复数加法的几何意义.,【过关小练】 1.复数z1=2- i，z2= -2i，则z1+z2等于( ) 【解析】选C.z1+z2=,2.在复平面内，向量 对应的复数为3-4i，点B对应的复数为 -2+2i，则向量 对应的复数为( ) A.5-6i B.1-2i C.-5

3、+6i D.5-2i 【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知， 对应的复数 即为(3-4i)+(-2+2i)，即1-2i.,主题二：复数的减法 【自主认知】 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z=z1-z2，则复数z1等于什么？ 提示：z1=z+z2.,2.设复数z1=a+bi(a，bR)，z2=c+di(c，dR)，z=x+yi(x，yR)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？ 提示：x=a-c，y=b-d. 3.根据上述分析，设复数z1=a+bi(a，bR)，z2=c+di(c，dR)，则z1-z2等于什么？ 提示：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.

4、,根据以上探究过程，总结出复数减法的运算法则及其几何意义： 1.复数的减法法则：(a+bi)-(c+di)=_(a，b，c， dR). 2.复数减法的几何意义：复数z1-z2是连接向量 的_， 并指向_的向量 所对应的复数.,(a-c)+(b-d)i,终点,被减向量,【合作探究】 1.设复数z1=a+bi，z2=c+di对应的向量分别为 则 复数z1-z2对应的向量是什么？|z1-z2|的几何意义是什么？ 提示： |z1-z2|表示复数z1，z2对应复平面内的两点Z1，Z2之间的距离.,2.设z1，z2均为复数，则当z1-z20时，是否一定有z1z2？ 提示：不一定.z1-z20只能说明z1-

5、z2的结果是一个实数.而z1，z2 本身可能是虚数，不能比较大小.例如：z1=3+i，z2=1+i，虽有 z1-z2=20，但不能推出3+i1+i.,【拓展延伸】复数模的不等式、恒等式 若z1，z2C，则有 (1)|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|，当z1，z2所对应的向量 同向时，右端等号成立；当z1，z2所对应的向量 反向时，左端等号成立. (2)|z1|-|z2|z1-z2|z1|+|z2|，当z1，z2所对应的向量 同向时，左端等号成立；当z1，z2所对应的向量 反向时，右端等号成立. (3)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.,【过关小练】 1

6、.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为() A.5-3i B.3+5i C.7-8i D.7-2i 【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i) =(6-1)+(-3-3)i+(2-2i) =5+(-6)i+(2-2i)=(5+2)+(-6-2)i =7-8i.,2.在复平面内，复数z=(1+2i)-(3-5i)所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.z=(1+2i)-(3-5i)=(1-3)+(2+5)i=-2+7i，故z所对应的点为(-2，7)，在第二象限.,【归纳总结】 1.对复数加法的三点说明 (1)复数的加法运算

7、法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致. (2)两个复数的和仍是一个复数.两个复数的和是以这两个复数的实部之和为实部，两个复数的虚部之和为虚部的复数. (3)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.,2.对复数减法的三点说明 (1)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，两个复数的差仍是一个复数.两个复数的差是以这两个复数的实部之差为实部，两个复数的虚部之差为虚部的复数. (2)设复数z1=a+bi，z2=c+di，则z1z2=(ac)+(bd)i，类似于把i看成未知数的多项式加减法中的合并同类项. (3)两个复数的和差仍然是个确定的复数，

8、实数中加法运算的交换律和结合律在复数中仍然适用.,类型一：复数代数形式的加、减运算 【典例1】(1)计算(3+i)-(2+i)的结果为() A.1 B.-i C.5+2i D.1-i (2)计算： (2+2i)+(1-4i)-(5+7i). -i-(3-4i)-(-1-3i). (x+yi)-(3x-2yi)-4i(x，yR).,【解题指南】(1)把括号去掉，实部与虚部分别计算. (2)两个复数相加(减)，将这两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)，所得的结果分别作为和(差)的实部和虚部.,【解析】(1)选A.(3+i)-(2+i)=1. (2)(2+2i)+(1-4i)-(5+

9、7i) =(2+1-5)+(2-4-7)i=-2-9i. -i-(3-4i)-(-1-3i)=-i-(4-i)=-4. (x+yi)-(3x-2yi)-4i =(x-3x)+(y+2y-4)i =-2x+(3y-4)i(x，yR).,【规律总结】复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部. (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，

10、可以从左到右依次进行计算.,【巩固训练】计算：(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i). (2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i). (3)5i-(3+4i)-(-1+3i). (4)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a，bR). 【解析】(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i. (2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i. (3)原式=5i-(4+i)=-4+4i. (4)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.,【补偿训练】1.若复数z满足z+2-3i=-1+5i，则复数z=() A.3-8i B.-3-8i C.3+8i D.-3+8i 【

11、解析】选D.由z+2-3i=-1+5i，得z=(-1+5i)-(2-3i)=-3+8i.,2.设z1=x+2i，z2=3-yi(x，yR)，且z1+z2=5-6i，则z1-z2=. 【解析】因为z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i， 所以(3+x)+(2-y)i=5-6i， 所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i. 答案：-1+10i,类型二：复数加减运算的几何意义 【典例2】(1)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 若向量 对应的复数分别是3+i，-1+3i，则 对应的复数 是() A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i

12、 (2)已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i，4-4i，2+6i.求第四个顶点对应的复数.,【解题指南】(1)根据复数与向量的对应关系转化为向量的减法求解. (2)根据题设条件可知，第四个顶点有3种不同情况，然后分情况利用复数加减法求解.,【解析】(1)选D.由于 所以 对应的复数为 (3+i)-(-1+3i)=4-2i. (2)如图，设这个平行四边形已知的三个顶点 分别为Z1，Z2，Z3，它们对应的复数分别是z1= 2i，z2=4-4i，z3=2+6i，第四个顶点所对应的 复数为z4，则,当这个平行四边形是以Z1Z2和Z1Z3为一组邻边时，有 所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1

13、)，z4=(z2+z3)-z1=6. 当这个平行四边形是以Z1Z2和Z2Z3为一组邻边时，有 所以z4-z2=(z1-z2)+(z3-z2). 所以z4=(z1+z3)-z2=-2+12i.,当这个平行四边形是以Z3Z1和Z3Z2为一组邻边时，有 所以z4-z3=(z1-z3)+(z2-z3). 所以z4=(z1+z2)-z3=2-8i. 综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或-2+12i或2-8i.,【延伸探究】将题(2)中条件改为“如图所示，平行四边形ABCD的顶 点A，B，D分别对应的复数为2i，4-4i，2+6i”，求(1)对角线 对应的复数.(2)对角线 对应的复数.,

14、【解析】(1)因为 ，所以对角线 对应的复数为 (4-4i)-(2+6i)=2-10i. (2)因为 所以对角线 对应的复数为(2+6i)-2i+4-4i-2i=6-2i.,【规律总结】复数加减法的几何意义在复数运算中的应用 (1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算. (2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决.,(3)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB： 为平行四边形；若|z

15、1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. 提醒：复数的加减运算可类比向量的坐标运算，这样更易理解.,【巩固训练】在复平面上，复数-1+i，0，3+2i所对应的点分别是 A，B，C，则ABCD的对角线BD的长为( ) 【解析】选B. 对应复数-1+i， 对应复数3+2i，则 对应 的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i，则 故选B.,【补偿训练】已知复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为3+2i， 向量 对应的复数为2+i，向量 对应的复数为1-i，求

16、点C对应 的复数. 【解析】因为 对应的复数为2+i，向量 对应的复数为1-i， 所以 所对应的复数为(1-i)-(2+i)=-1-2i. 又因为 所以点C对应的复数为(3+2i)+(-1-2i)=2.,类型三：复数模的最值问题 【典例3】(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小 值是() A.1 B. C.2 D. (2)若复数z满足|z+ +i|1，求|z|的最大值和最小值.,【解题指南】(1)利用复数加减法的几何意义，转化为点到直线的 距离求解. (2)明确满足条件|z+ +i|1的复数z的几何意义为：圆心为 (- ，-1)，半径为1的圆内区域，包括边界，

17、|z|则表示圆面上一点到原点的距离.,【解析】(1)选A.设复数-i，i，-1-i在复平面 内对应的点分别为Z1，Z2，Z3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2， 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动， 求|ZZ3|的最小值， 因为|Z1Z3|=1.故选A.,(2)如图所示： 所以|z|max=2+1=3，|z|min=2-1=1.,【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)若本例题(2)条件改为已知|z|=1且zC，求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.,【解析】因为|z|=1且zC，作图如图： 所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的

18、点M到复平面上的点P(2，2) 的距离，所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2 -1.,2.(变换条件)若题(2)中条件不变，求|z- |2+|z-2i|2的最大值和最小值.,【解析】如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA= ，zB=2i对应 点A，B相连，得向量 为邻边作平行四边形.,P为圆面上任一点，zP=z， 则2| |2+2| |2=| |2+(2| |)2 =7+4| |2(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)， 所以|z- |2+|z-2i|2= 所以|z- |2+|z-2i|2的最大值为27+ ，最小值为27-,【规律总结】复数模的最值问题解法 (1)|z-z0

19、|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. (2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. (3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.,【补偿训练】1.(2015天津高二检测)已知|z|=2，则|z+3-4i|的最大值为() A.2B.3C.5D.7 【解析】选D.由|z|=2知复数z对应的点在圆x2+y2=4上，圆心为 O(0，0)，半径r=2.而|z+3-4i|=|z-(-3+4i)|表示复数z对应的 点与M(-3，4)之间的距离，由于|OM|=5，所以|z+3-4i|的最

20、大 值为|OM|+r=5+2=7.,2.已知复数z=x+yi(x，yR)，且|z-2|= ，则 的最大值为，最小值为.,【解析】|z-2|= 所以(x-2)2+y2=3. 即复数z的对应点在以(2，0)为圆心，以 为半径的圆上，而 表示圆上的点与原点连线的斜率， 由图可知 答案：,3.已知z1=cos+isin，z2=cos+isin(，R)， 求|z1+z2|的取值范围. 【解析】因为z1+z2=cos+isin+cos+isin =(cos+cos)+i(sin+sin)， 所以|z1+z2|2=(cos+cos)2+(sin+sin)2 =2+2(coscos+sinsin)=2+2cos(-)0，4， 所以|z1+z2|0，2.,拓展类型：复数中的轨迹问题及简单应用 【典例】1.设z=bi(bR)，若使|z-2+i|+|z-2+3i|的值最小，则b= 2