人教A高中数学选修11同课异构课件222双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用探究导学课型

1、第2课时 双曲线方程及性质的应用,类型一：直线与双曲线的位置关系 【典例1】(2015孝感高二检测)已知双曲线x2-y2=4，讨论直线l：y=k(x-1)与这条双曲线的交点的个数. 【解题指南】联立直线与双曲线的方程，讨论该方程组的解的情况，确定直线与双曲线的交点个数.,【解析】由方程组： 消去y，可得： (1-k2)x2+2k2x-k2-4=0 (*) (1)当1-k2=0,即k=1时,方程(*)为：2x=5. 此时直线与双曲线仅有一个交点.,(2)当1-k20,即k1时， =(2k2)2+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2). 若 即 且k1时，直线与双曲线有两个交点 若 即 时，

2、直线与双曲线只有一个交点,若 即 时，直线与双曲线没有交点 由以上讨论可知，当 且k1时，直线与双曲线有 两个交点；当k=1或 时，直线与双曲线只有一个交点； 当 时，直线与双曲线没有交点,【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)本典例中若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k的取值范围. 【解析】联立方程组消去y所得的方程为(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0，由题意，若方程的两根为x1,x2， 则 解得-1k1.,2.(变换条件,改变问法)本典例中若直线与双曲线的右支有两个交 点，求k的取值范围. 【解析】联立方程组消去y所得的方程为(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0, 由题意，若

3、方程的两根为x1,x2,则 解得,【规律总结】直线与双曲线的位置关系及其判定方法 (1)直线与双曲线的位置关系有三种：直线与双曲线相交(包括有两个不同的公共点和当直线与双曲线的渐近线平行时有一个公共点两种情况)；直线与双曲线相切(直线与双曲线有两个重合的公共点)；直线与双曲线相离(没有公共点).,(2)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论. (3)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定. 提醒：特别注意直线与双

4、曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.,【拓展延伸】直线与双曲线的位置关系 (1)相离：直线与双曲线没有公共点. (2)相切：直线不平行于渐近线时，与双曲线只有一个公共点. (3)相交：直线与双曲线有两个公共点或与渐近线平行.,【补偿训练】1.等轴双曲线x2-y2=a2与直线y=ax(a0)没有公共点，则a的取值范围是() A.a=1 B.01 D.a1 【解析】选D.等轴双曲线x2-y2=a2的渐近线方程为y=x，若直线y=ax(a0)与等轴双曲线x2-y2=a2没有公共点，则a1.,2.若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是(

5、) 【解题指南】直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线方程与双曲线方程联立消去y得到的一元二次方程应有两正根，从而0，x1x20，x1x20，二次项系数0.,【解析】选D.由 得(1k2)x24kx100. 由题意，得 解得,3.已知双曲线方程为 过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个 公共点，则l的条数为( ) A4 B3 C2 D1 【解析】选B.数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切， 有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点,类型二：弦长与中点弦问题 【典例2】(1)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB

6、的中点为N(12，15)，则E的方程为( ),(2)(2015大连高二检测)过双曲线 的右焦点作倾斜角为45的弦AB.求： 弦AB的中点C到右焦点F2的距离； 弦AB的长,【解题指南】(1)设出双曲线方程后，利用点差法求a,b. (2)利用中点坐标公式求出点C的坐标后，代入两点间的距离公式求解. 直接利用弦长公式求解.,【解析】(1)选B.设双曲线的标准方程为 由题意知c3，a2b29， 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 则有 两式作差得,又AB的斜率是 所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25， 所以双曲线标准方程是,(2)因为双曲线的右焦点为F2(5,0)，直线AB的方程为yx

7、5. 由 消去y，并整理得7x290 x3690. 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 设AB的中点C的坐标为(x，y)， 则 所以 所以,|AB|,【规律总结】 1.直线被双曲线截得的弦长公式 设直线斜率为k，直线与双曲线两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB= 2.与弦中点有关的结论 在双曲线 中，若直线l与双曲线相交于M，N两 点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则,【巩固训练】(2015四川高考)过双曲线 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=( ) 【解析】选D.由双曲线方程知，

8、右焦点为(2,0)，直线x=2与渐近线 的交点 所以,【补偿训练】双曲线的虚轴长为4,离心率e= ,F1,F2分别为它的左、 右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF2|与 |BF2|的等差中项,则|AB|等于(),【解析】选A.因为 ,2b=4, 所以a2=8,a=2 , |AF2|-|AF1|=2a=4 , |BF2|-|BF1|=2a=4 , 两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=8 , 又因为|AF2|+|BF2|=2|AB|,|AF1|+|BF1|=|AB|, 所以|AB|=8 .,类型三：综合应用 【典例3】直线y=kx+1和曲

9、线3x2-y2=1相交，交点为A，B.当k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点. 【解题指南】利用以AB为直径的圆经过坐标原点结合根与系数的关系求解.,【解析】由 由0,所以 又设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0， 因为它过原点， 所以x1x2+y1y2=0， 即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0， 即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0，,所以 所以-2k2-2+2k2+3-k2=0, 所以k2=1, 所以k=1,符合 所以当k=1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.,【规律总结】设而不求技巧的应用 (1)直线与圆锥曲线相交后，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). (2)利用直线方程与圆锥曲线方程联立后所得的关于x的一元二次方程. (3)结合根与系数的关系可求x1+x2，x1x2，从而弦长问题、参数取值范围问题等都可以转化为x1+x2，x1x2应满足的条件解决.,【巩固训练】已知双曲线C： 的离心率为 且 (1)求双曲线C的方程. (2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值,【解析】(