人教A高中数学选修11同课异构课件34生活中的优化问题举例精讲优练课型

1、3.4 生活中的优化问题举例,【自主预习】 类型一平面几何中的最值问题 【典例】1.如图所示,半径为2的M切直线AB于O,射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB,旋转过程中,OC交M于P,记PMO为x,弓形PnO的面积为S=f(x),那么f(x)的图象是下图中的(),2.(2016临沂高二检测)如图所示,要设计一张矩形广 告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即 图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空 白的宽度为10cm,两栏之间 的中缝空白的宽度为5cm. 怎样确定广告牌的高与宽 (单位:cm),才能使矩形广告牌面积最小?,【解题探究】1.典例1的解题思路是怎

2、样的? 提示:写出函数解析式及函数定义域,然后对函数求导,讨论函数的单调性,求出最值.,2.典例2中若设出广告牌的高,如何求出广告牌的宽? 提示:根据矩形面积列出方程求宽.,【解析】1.选A.由所给的图示可得,当x时,弓形PnO的面积为S=f(x)=S扇形PnO-SMPO=2x-2sinx,其导数为f(x)=2-2cosx,由余弦函数的性质知,此值越来越大,即f(x)的图象上升得越来越快,由此可以排除B,C;再由所给图示的对称性知,弓形PnO的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增加率为0,由此可以排除D.,2.设广告牌的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽 分别为(x-2

3、0)cm, cm,其中x20,y25. 两栏面积之和为2(x-20) =18000(cm2), 由此得y= +25. 广告牌的面积S=xy=x = +25x(cm2),所以S= 令S0,得x140,令S0,得20x140. 所以函数在(140,+)上单调递增,在(20,140)上单调递减, 所以当x=140时,S取得最小值.,当x=140时,y=175. 即当x=140,y=175时,S取得最小值24500, 故当广告牌的高为140cm,宽为175cm时,可使矩形广告牌的面积最小.,【方法技巧】 1.利用导数解决优化问题的基本思路,2.关于平面图形中的最值问题 平面图形中的最值问题一般涉及线段

4、、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值.,【变式训练】1.(2016青岛高二检测)如图,有一块半 椭圆形钢板,其长半轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢 板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上 底CD的端点在椭圆上,记|CD|=2x,梯形的面积为S.,(1)求面积S以x为自变量的函数解析式,并写出其定义域. (2)求面积S的最大值.,【解题指南】(1)建立恰当的平面直角坐标系,列出面积S关于x的函数解析式.(2)利用导数的知识,确定函数的单调性,从而求得函数的最值.,【解析】(1)依题意,以AB的中点O为原点,AB所

5、在的直线 为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则点C(x,y) 满足方程x2+ =1,且x0,y0, 所以y=2 (0x1). 所以S= =2(x+1) (0x1).,(2)令f(x)=S2=4(x+1)2(1-x2)(00,f(x)为增函数; 当 x1时,f(x)0,f(x)为减函数.,所以f 是f(x)在区间(0,1)上的极大值,也是最大值, 且 此时S= .故当x= 时,S取得最大 值 .,2.(2016郑州高二检测)如图所示,设铁路AB=50,B,C之间距离为10,现将货物从A运往C,已知单位距离铁路费用为2,公路费用为4,问在AB上何处修建公路至C,可使运费由A至C最省.,【解析】

6、设M为AB上的一点,且MB=x,于是AM上的运费为 2(50-x),MC上的运费为4 ,则由A到C的总运费为 p(x)=2(50-x)+4 (0 x50). p(x)= , 令p(x)=0,解得x1= ,x2=- (舍去).,当x 时,p(x)0, 故当x= 时,取得最小值. 即当在离点B距离为 的点M处修筑公路至C时,可 使运费由A到C最省.,3.如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16m,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).,(1)

7、试写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域. (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.,【解析】(1)因为污水处理池的长为x米,则宽为 米. 据题意 解得 x16,(2)令y=800- =0,解得x=18或x=-18(舍去). 当x(0,18)时,函数y为减函数; 当x(18,+)时,函数y为增函数. 又因为 x16,所以当x=16时,ymin=45000. 所以当且仅当长为16米、宽为12.5米时,总造价最低,为45000元.,类型二立体几何中的最值问题 【典例】1.(2016东营高二检测)若底面为等边三角 形的直棱柱的体积为

8、V,则其表面积最小时底面边长为 (),2.(2016重庆高二检测)某企业拟建造如图所示的容 器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体, 左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已 知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分 每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y 千元.,(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域. (2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.,【解题指南】1.典例1中的表面积包括哪几部分? 提示:包括两个底的面积和三个侧面积.,2.(1)该组合体是哪些简单几何体构成的?

9、 提示:该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的.,(2)怎样表示该容器的建造费? 提示:两个半球合成一个球的表面积乘以造价+圆柱的侧面积乘以造价.,【解析】1.选C.设底面边长为x,直棱柱的高为h, 则V= x2h,所以h= , 所以S表= 所以S表= 令S表=0,得x= . 当0 时,S表0, 因此当底面边长为 时,其表面积最小.,2.(1)因为容器的体积为 立方米, 所以 +r2l= ,解得 所以圆柱的侧面积为2rl= 两端两个半球的表面积之和为4r2, 所以y= 又 所以定义域为,(2)因为y=- +16r= 所以令y0得2r ;令y0得0r2, 所以当r=2时,该容器的建造费用最小为9

10、6千元, 此时l= .,【延伸探究】 1.典例2中问题改为试求该容器表面积的最小值. 【解析】因为容器的体积为 立方米, 所以 解得 所以圆柱的侧面积为2rl=,两端两个半球的表面积之和为4r2, 故该容器的表面积y= 则y= 令y=0,解得r= 易知当r= 时,表面积取得最小值,ymin=16,2.典例2中若由于场地的限制,该容器的半径要限制在 范围内,求容器建造费用的最小值. 【解析】因为y= 所以令y0得2r ;令y0得0r2, 故当r 时,函数单调递减, 故当r= 时,ymin= .,【方法技巧】关于立体几何中的最值问题 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基

11、础上解决与实际相关的问题.,(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.,【补偿训练】在边长为60cm的正方形铁片的四个角上 截去四个相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长是多少时,箱子的容积 最大?,【解题指南】根据所给几何体的体积公式建模,利用导数求最值.,【解析】设箱高为xcm,则箱底边长为(60-2x)cm,则得箱子的容积V是x的函数, V(x)=(60-2x)2x=4x3-240 x2+3600 x(00,当10x30时,V(x)0.,所以当x=

12、10时,V(x)取极大值,这个极大值就是V(x)的最大值,此时箱底边长为40cm. 答:当箱底边长为40cm时,箱子的容积最大.,类型三实际生活中的最值问题 角度1:实际生活中的最大值问题 【典例】(2016厦门高二检测)某工厂生产某种产品, 已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨) 之间的关系为p=24200- x2,且生产x吨产品的成本为 (50000+200 x)元.问每月生产多少吨产品才能使利润达 到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本).,【解题探究】本题中的月收入是什么? 提示:月收入=月产量单价=px.,【解析】设每月生产x吨产品时的利润为,由f(x)=- x2

13、+24000=0, 解得x1=200,x2=-200(舍去).,因f(x)在0,+)内只有一个点x=200使f(x)=0,故它 就是最大值点,且最大值为f(200)=- 2003+24000 200-50000=3150000. 答:每月生产200吨产品时,利润达到最大,最大利润为 315万元.,角度2:实际应用中的最小值问题 【典例】(2016潍坊高二检测)为了在夏季降温和冬 季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔 热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米 厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消 耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关,系:C(

14、x)= (0 x10),若不建隔热层,每年能源消 耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能 源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的函数解析式. (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最 小值.,【解题探究】1.不建隔热层时,厚度x的取值是多少? 提示:不建隔热层时,厚度x=0.,2.总费用包含哪些费用? 提示:总费用包含每年能源消耗费用总和+建造费用.,【解析】(1)设隔热层厚度为xcm, 由题设可知,每年能源消耗费用为C(x)= , 再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)= , 而建造费用为C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之

15、和为,(2)f(x)=6- ,令f(x)=0即 =6. 解得x=5,x=- (舍去), 当00,故x=5时,为f(x)的最小值点, 对应的最小值为f(5)=65+ =70. 当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.,【方法技巧】解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数解析式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.,(2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.,【变式训练】甲方是一农场,乙方是一工厂,由

16、于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)之间的关系为x=2000 .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).,(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量. (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额为0.002t2元,在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?,【解析】(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际 年利润为 令w=0,得t0= . 当t0;当tt0

17、时,w0, 所以当t=t0时,w取得极大值,也是最大值. 因此乙方获得最大利润的年产量为 吨.,(2)设甲方每年的净收入为v元,则v=st-0.002t2. 将t= 代入上式,得到甲方净收入v元与赔付价格s元/吨之间的函数关系式,令v=0,得s=20. 当s0;当s20时,v0, 所以当s=20时,v取得极大值,也是最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格为20元/吨时,获得最大净收入.,自我纠错用导数解决生活中的优化问题 【典例】已知A,B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8vv0)(v0为船在静水中的最大速度).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比.当v=12千米/时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船在静水中的速度v应为多少?,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.