北京大学量子力学课件_第15讲.ppt

1、,第 十 五 讲 .力学量的完全集 力学量完全集：设力学量 彼此 对易；它们的共同本征函数 是不简并的， 也就是说，本征值a,b,c仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。 力学量完全集 的本征值完全确定了相 应的本征函数组,. 力学量平均值随时间的演化，运动常 数）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）。 (1) 力学量的平均值随时间演化，运动常 数 若 不显含t，则,我们称与体系 对易的不显含时间的力学量算 符为体系的运动常数。 运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它 们都与 对易，但它们之间可能不对易。 (2) virial Theorem 维里定理 不

2、显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无关。,若 是x，y，z的n次齐次函数，则,例：谐振子势是x，y，z的 2 次齐次函数 例：库仑势是x，y，z的 -1 次齐次函数 (3) 能量-时间测不准关系 由算符的“涨落”关系，有,若 是不显含时间的算符，则有 取 则有 这即为能量和时间的测不准关系。,（4）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） 以 , 表示 的平均值。 体系的坐标平均值的时间导数等于其速度 算符的平均值 。, 动量算符平均值的时间导数等于作用力的 平均值。,称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看 起来非常相似。,但决不能无条件地认为 如果这样，即

3、得 但事实上，一般而言,在 V(x) 随 x 的变化很缓慢，以及 比较小的条件下，上式近似相等 . 以一维运动来讨论,当场随空间变化非常缓慢，且 很小 时，我们有不等式,这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。 当然，根据测不准关系，,因此，当 较小时， 比较大。 所以要有,要有两个条件： 位势随空间作缓慢变化： 动能很大：,. 有心势 能量本征方程可写为 显然,因此， 是两两对易。当共同本征 函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集 （球对称势的体系都有这一特点）。,以 的本征值（即量子数）对能 量本征方程的解进行标识。 于是归结到解具有不同位势 的径向方程,（1）

4、若 时，仅当 0m2 时才有束缚态。 （2）在 时，径向波函数应满足 （3）三维自由粒子运动,所以自由粒子的本征函数为,对于自由粒子，亦可选 作 为力学量完全集，其共同本征函数为,（4）球方势阱：考虑位势为 令,A. 则有,当 , 波函数在无穷远处应为0，,要求两区域的波函数及其导数在 处连 续， 即 从而确定 E 的可能值，即本征值。,当 ，则有 令 ， ，则由连续条件,以及 显然， 在二，四象限。 讨论：1）由图可知， ，则无 解； 2）当 ，则仅有一 个解。这时 , 即 。,所以, 在区间 无节点。 3）当 ， 有二个解 : 一个解 ，无零点； 另一个解 。所以， , 有一个零点。,正交

5、归一，可经由方程给出 当 ， ，这时 区域的波函数为 0 。由连续条件， ，即有根 （ ）。,B当 令,得解 无妨设 则由,所以,对于自由粒子 所以，力场的性质反映在 上 。 由 的连续条件,如令 （微商对宗量） 则有 当 （即 k ）给定，则由方程给 出一系列 ）。,所以，当 时，有一连续谱。 这时 有渐近解 而自由粒子为,（4） 氢原子：氢原子是一个典型的两体问题 A. 两体问题的质心运动的分离 质量为 m1 和 m2 的两个物体，若相互作用 仅与它们的位置差有关。 这时，,引入质心运动和相对运动 于是有,于是有，,这样，一个体系可看作二部分运动合成， 一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对 运动, 是一个质量为 的粒子在势 场 中运动。 令 为一特解，得,直接得 而相对运动部分为,所以，处于位势为 的体系，最普遍的波函数为 B. 氢原子：相互作用只与质子和电子的距 离 r 有关,于是有 变量分离 （要求，当 ， ） 代入得,要求为束缚态，则E0。令 于是,当 ，方程近似为 ，所以,当 ，方程近似为 ，所以 。 取 令 (并要求 )，,代入方程得 这是一合流超比方程 它有解 和 称为合流超比函数,当 P 大时，其相近两项系数之比：,相邻系数比与幂级数系数之比相同。 所以， 级数必须被截断成多项式。 而由 当 为负整数时，则 项的系数都为0