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文档简介

1、,定积分习题课,1,定积分的性质,性质1,性质2,性质3,2,性质5,性质4,3,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,4,直角坐标系下平面图形面积的计算,一、平面图形的面积,5,6,7,例,解: 画图，求得交点(-1,1)及(3,9),8,例,解,9,若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性.,说明：,例,解,10,先用换元积分法求不定积分,取一个原函数,由牛顿莱布尼兹公式，得,在本例求原函数时用到了不定积分的换元积分法。需消去新变量 t，还原为原积分变量 x，而后用牛顿莱布尼兹公式。,解,注意：,例,11,依据NL公式,求定积分是先

2、求被积函数的一个原函数，再求原函数在上、下限处的函数值之差。这种方法遇到用换元积分法求原函数时，需将新变量还原为原来的积分变量，才能求原函数值之差。定积分的换元积分法是省略还原为原积分变量的步骤,而直接用新限来计算定积分的方法。,下面用新方法来计算上例 ：,定积分的换元积分法,12,求,例8,解,13,设函数 u (x) 和 v (x) 在区间 a, b 上存在连续导数，则由,两端从 a 到 b 对 x 求定积分,便得定积分的分部积分公式：,定积分的分部积分法,14,求,与求不定积分类似，在求定积分时也会遇到换元积分法和分部积分法综合应用的情况，要灵活掌握。,例10,说明：,解,15,1、牛顿

3、莱布尼兹公式,2、定积分的换元积分法,应用定积分的换元积分法计算定积分时省略了将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意换元同时要换积分限.,小结,3、定积分的分部积分法,定积分的分部积分法用于计算被积函数是两类不同类型函数乘积的定积分。并注意先积出来的先代值，可使后面的计算简便。,16,例 1求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积,解由上述公式得,17,例 2求 y = sinx， y = cos x，,解由上述公式知,所围成的平面图形的面积.,18,也可以先作出该平面图形的草图，,如图，,就不必用公式了.,则直接可得,19,20,21,例1,解,所围成的图形如图所示：,平面图形的面积。,例2,解,所围成的图形如图所示:,则,22,先解联立方程组,则图形的面积为,23,解,先求两曲线的交点。,例3,注意： 此题选取纵坐标 为积分变量，而没有选取 横坐标 为积分变量，请思考这时为什么

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