二次函数和圆练习

1、二次函数和圆 一解答题（共15小题）1（2012宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（xm）2+n经过点EM与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1）a（1）求点A的坐标和ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切？考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，

2、能得到B点坐标；在RtOAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到ABO的读数（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即RtMEP入手，首先CED=60，而MEP=MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE

3、及点C、E的坐标然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解解答：解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=，OA=1，OB=，=A的坐标是（0，1）ABO=30（2）CDE为等边，点A（0，1），tan30=，D的坐标是（，0），E的坐标是（，0），把点A（0，1），D（，0），E（，0）代入 y=a（xm）2+n，解得：a=3（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CHx轴，H为垂足，过A作AFCH，F为垂足CDE是等边三角形，ABO=30BCE=90，ECN=90CE，AB分别与M相切，MPC=CNM=90，四边形MPCN为矩形，MP=

4、MN四边形MPCN为正方形MP=MN=CP=CN=3（1）a（a0）EC和x轴都与M相切，EP=EQNBQ+NMQ=180，PMQ=60EMQ=30，在RtMEP中，tan30=，PE=（3）aCE=CP+PE=3（1）a+（3）a=2aDH=HE=a，CH=3a，BH=3a，OH=3a，OE=4aE（4a，0）C（3a，3a）设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）23aE在该抛物线上a（4a+3a+）23a=0得：a2=1，解之得a1=1，a2=1a0，a=1AF=2，CF=2，AC=4点C移动到4秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切点评：这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定

5、系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键2（2012盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t0）的变化规律为y1=+2t现以线段OP为直径作C当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由若

6、在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与C相交？此时，若直线l被C所截得的弦长为a，试求a2的最大值考点：二次函数综合题专题：压轴题；动点型分析：（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解（2）由于OP是C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与C的位置关系该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C

7、到直线l的表达方式）在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解解答：解：（1）将点A（2，0）和点B（1，）分别代入y=x2+mx+n中，得：，解得：，抛物线的解析式：y=x21；（2）将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：x21=+2t，x=，P（，+2t），圆心C（，+t），点C到直线l的距离：+t（1）=t+；而OP2=8t+1+（+2t）2，得OP=2t+，半径OC=t+；直线l与C始终保持相切、当圆心C在直线l上时，+t=1+3t，t=；此时直线l与C相交； 当0t时，C到直线l的距离：+t（1+3t）=2tt+，直

8、线l与C相交； 当t时，C到直线l的距离：1+3t（+t）=2t，若直线l与C相交，则：2tt+，t； 综上，当0t时，直线l与C相交；、若a2最大，则a为C的直径，此时点C在直线l上，由知：此时t=，半径OC=t+=，直径a=，0t时，圆心C到直线l的距离为d=|2t|，又半径为r=t+，a2=4（r2d2）=4（t+）2|2t|2=12t2+15t，t=时，a的平方取得最大值为点评：该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解3（2012南充）如图，C的内接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=，抛物线y=a

9、x2+bx经过点A（4，0）与点（2，6）（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与C相切于点A，交y轴于点D动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度当PQAD时，过点O作OFAD于点F，此时四边形OFQP

10、、OFAE均为矩形则在RtODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；（3）因为OB为定值，欲使ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可按照这个思路解决本题如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而ROB的面积最大联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（2，6），解得抛物线的解析式为：y=x22x（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得ACOBAD为切线，ACAD，ADOB过O点作OFAD于F，四边形OFAE是矩形，tanAOB=，sinA

11、OB=，AE=OAsinAOB=4=2.4，OD=OAtanOAD=OAtanAOB=4=3当PQAD时，OP=t，DQ=2t过O点作OFAD于F，则在RtODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQFQ=DQOP=2tt=t，由勾股定理得：DF=1.8，t=1.8秒；（3）如答图2，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时ROB中OB边上的高最大，所以此时ROB面积最大tanAOB=，直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b点R既在直线l上，又在抛物线上，x22x=x+b，化简得：2x211x4b=0直线l与抛物线有唯一交点R（相切），

12、判别式=0，即112+32b=0，解得b=，此时原方程的解为x=，即xR=，而yR=xR22xR=点R的坐标为R（，）点评：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点难点在于第（3）问，判定何时ROB的面积最大是解决问题的关键本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨4（2012荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连

13、接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t3）时，AOE与ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题；压轴题；分类讨论分析：（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标（2）过B作BMy轴于M，由A

14、、B、E三点坐标，可判断出BME、AOE都为等腰直角三角形，易证得BEA=90，即ABE是直角三角形，而AB是ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可BE、AE长易得，能求出tanBAE的值，结合tanCBE的值，可得到CBE=BAE，由此证得CBA=CBE+ABE=BAE+ABE=90，此题得证（3）ABE中，AEB=90，tanBAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：有一个角是直角、两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可（4）过E作EFx轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，AOE与ABE重叠部分是个四边形；

15、当E点运动到F点右侧时，AOE与ABE重叠部分是个三角形按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解解答：（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x3）（x+1）将E（0，3）代入上式，解得：a=1y=x2+2x+3则点B（1，4）（2）证明：如图1，过点B作BMy于点M，则M（0，4）在RtAOE中，OA=OE=3，1=2=45，AE=3在RtEMB中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45，BE=BEA=1801MEB=90AB是ABE外接圆的直径在RtABE中，tanBAE=tanCBE，BAE=CBE在RtABE中，BAE+3=90，CBE+3=90CBA=90，即CBABCB

16、是ABE外接圆的切线（3）解：RtABE中，AEB=90，tanBAE=，sinBAE=，cosBAE=；若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则DEP必为直角三角形；DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tanDEO=tanBAE，即DEO=BAE满足DEOBAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则DEP2=AEB=90，sinDP2E=sinBAE=；而DE=，则DP2=DEsinDP2E=10，OP2=DP2OD=9即：P2（9，

17、0）；DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则EDP3=AEB=90，cosDEP3=cosBAE=；则EP3=DEcosDEP3=，OP3=EP3OE=；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得y=2x+6过点E作射线EFx轴交AB于点F，当y=3时，得x=，F（，3）情况一：如图2，当0t时，设AOE平移到GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S则ON=AG=t，过点H作LKx轴于点K，交EF于点L由AHGFHM，得，即解得HK=2tS阴=SMNG

18、SSNASHAG=33（3t）2t2t=t2+3t情况二：如图3，当t3时，设AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V由IQAIPF，得即，解得IQ=2（3t）S阴=IVAQ=（3t）2=t23t+综上所述：s=点评：该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围5（2012济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交

19、于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由AOC为等腰直角三角形，确定CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP

20、、BC、PC的长度；然后利用BMNBPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），解得a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令x=0，得y=3，C（0，3），OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形，CAB=45，cosCAB=在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90，BO1C为等腰直角三角形，O1的半径O1B=BC

21、=（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）21，顶点P坐标为（2，1），对称轴为x=2又A（3，0），B（1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，D（4，3）又点M为BD中点，B（1，0），M（，），BM=；在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，点N的坐标为（，）或（，）点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公

22、式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标6（2011遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F

23、，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90与当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OEAB时，FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，解得：，y=x2x+3；点C的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90，如图1，过点B作BMx轴于点M，A（3

24、，0），B（4，1），AM=BM=1，BAM=45，DAO=45，AO=DO，A点坐标为（3，0），D点的坐标为：（0，3），直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=x+3，y=x2x+3=x+3，x 23x=0，解得：x=0或3，y=3，y=0（不合题意舍去），P点坐标为（0，3），点P、C、D重合，当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90，如图2，过点B作BFy轴于点F，由（1）得，FB=4，FBA=45，DBF=45，DF=4，D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：1=

25、4k+b，b=5，k=1，y=x+5，y=x2x+3=x+5，x23x4=0，解得：x1=1，x2=4（舍），y=6，P点坐标为（1，6），点P的坐标为：（1，6），（0，3）；（3）如图3：作EMAO于M，直线AB的解析式为：y=x3，tanOAC=1，OAC=45，OAC=OAF=45，ACAF，SFEO=OEOF，OE最小时SFEO最小，OEAC时OE最小，ACAFOEAFEOM=45，MO=EM，E在直线CA上，E点坐标为（x，x+3），x=x+3，解得：x=，E点坐标为（，）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注

26、意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握7（2011襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是O的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）连接OC，由CD是O的切线，可得OCCD，则可证得OCAD，又由OA

27、=OC，则可证得CAD=CAB；（2）首先证得CAOBCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得FOCFAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PABC与PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）解：AB是O的直径，ACB=90

28、，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（102CO），CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（8，0），B（2，0），C（0，4），抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，c=4，由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2x+4；设直线DC交x轴于点F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，8（BF+5）=5（BF+10），BF=，F（，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则，解得：，直线DC的解析式为y=x+4，由y=x2x+4=（x+3）2+得顶点E的坐标为（3，

29、），将E（3，）代入直线DC的解析式y=x+4中，右边=（3）+4=左边，抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（10，6），P2（10，36）A（8，0），C（0，4），过A、C两点的直线解析式为y=x+4，设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=x+b，把B（2，0）代入得b=1，直线PB的解析式为y=x1，解得，（舍去），P1（10，6）求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求P1同法，可求出x1=8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=36P2的坐标（10，36）点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与

30、性质，点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用8（2011潍坊）如图，y关于x的二次函数y=（x+m）（x3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点以AB为直径作圆，圆心为C定点E的坐标为（3，0），连接ED（m0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；

31、（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当0m3时，当m3时两种情况讨论求得关于m的函数解答：解：（1）令y=0，则（x+m）（x3m）=0，解得x1=m，x2=3m；令x=0，则y=（0+m）（03m）=m故A（m，0），B（3m，0），D（0，m）（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（3，0），D（0，m）代入得：解得，k=，b=m直线ED的解析式为y=mx+m将y=（x+m）（x3m）化为顶点式：y=（xm）2+m顶点M的坐标为（m，m）代入y=mx+m得：m2=mm0，m=1所以，当m=1时，M点在直线DE上连接CD，C为AB中点

32、，C点坐标为C（m，0）OD=，OC=1，CD=2，D点在圆上又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2EDC=90直线ED与C相切（3）当0m3时，SAED=AEOD=m（3m）S=m2+m当m3时，SAED=AEOD=m（m3）即S=m2_ mS关于m的函数图象的示意图如右：点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法注意分析题意分情况讨论结果9（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的

33、右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C（1）求ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到ACB的度数（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标解答：解：（1）以AB为直径的圆恰好经过 点C，ACB=90（2）AOCCOB，OC2=AOOB，A（，0），点C（0，3），OC=

34、3，又CO2=AOOB，OB=4，B（4，0）把 A、B、C三点坐标代入得（3）OD=DB，如图：D在OB 的中垂线上，过D作DHOB，垂足是H，则H是OB中点DH=，D，BD=BO，如图：过D作DGOB，垂足是G，=，OB=4，CB=5，CD=BCBD=BCOB=54=1，=，=，=，OG=，DG=，D（，）点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数（2）用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标10（2011泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的Q与直线y=mx、x轴分别相

35、切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点（1）当点A的坐标为（，p）时，填空：p=1，m=，AOE=60如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（2）在图1中，连接EQ并延长交Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化请说明理由考点：二次函数综合题；一次函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰梯形的判定；切线的性质；解直角三角形专题：综合题分析：（1）由点A（，p）在直线l上，得到p=1；点A在直线y=mx上，得到

36、m=；在RtOBA中，OB=1，AB=，OA=，得到AOE=60；（2）连接TM，ME，EN，ON，根据切线的性质得到QEx轴，QTOT，由QEMN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，则四边形QNEM为平行四边形，即QNME；同时有QEN为等边三角形，则NQE=60，QNF=30；在四边形OEQT中，QTO=QEO=90，TOE=60，可求出TQE=120，于是有TQE+NQE=120+60=180，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到TMN=90，得到TNME，所以MTN=60=TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（3）连DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到

37、DME=90，DM垂直平分MN，所以RtMFDRtEFM，得到MF2=EFFD，设D（h，k），（h0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（xh）2+k，令y=1，得到x1=h，x2=h+，则MF=MN=，得到（）2=1（k1），解得a=1解答：解：（1）点A的坐标为（，p），点A在直线l上，p=1，即点A坐标为（，1）；而点A在直线y=mx上，1=m，解得m=；在RtOBA中，OB=1，AB=，OA=，AOB=30，AOE=60故答案为1，60；（2）连接TM，ME，EN，如图，OE和OT是Q的切线，QEx轴，QTOT，即QTA=90，而lx轴，QEMN，MF=NF，又

38、当r=2，EF=1，QF=21=1，四边形QNEM为平行四边形，即QNME，NQ=NE，即QEN为等边三角形，NQE=60，QNF=30，在四边形OEQT中，QTO=QEO=90，TOE=60，TQE=360909060=120，TQE+NQE=120+60=180，T、Q、N三点共线，即TN为直径，TMN=90，TNME，MTN=60=TNE，以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化理由如下：连DM，ME，如图，DE为直径，DME=90，而DE垂直平分MN，RtMFDRtEFM，MF2=EFFD，设D（

39、h，k），（h0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（xh）2+k，又M、N的纵坐标都为1，当y=1，a（xh）2+k=1，解得x1=h，x2=h+，MN=2，MF=MN=，（）2=1（k1），k1，=k1，a=1点评：本题考查了抛物线的顶点式：y=a（xh）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；也考查了等腰梯形的判定和三角形相似的判定与性质以及垂径定理11（2011黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），以点A为圆心的圆交x轴于O、B两点，直线y=x3交x轴于点C，交y轴于点D，过A、C、D三点作一条抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线CD与A的

40、位置关系，并说明理由；（3）若点M以每秒4个单位长度的速度由点B沿x轴向点C运动，点N以每秒1个单位长度的速度由点C沿直线y=x3向点D运动设运动时间为t（t4），试问t为何值时CMN与CDB相似；（4）在抛物线上是否存在点P，使APC的面积是BCD面积的倍？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（1）根据直线CD的解析式求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式解答；（2）过圆心A作AECD于点E，利用勾股定理求出CD的长度，再根据DCO的正弦值求出AE的长度，与A的半径相比较，根据直线与圆的位置关系即

41、可得出CD和A的位置关系；（3）根据圆的对称性求出点B的坐标，并求出BC的长度，然后用t表示出CM、CN，再分CM与CB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；CM与CD是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解（注意求出的t值要在t的取值范围内）；（4）首先求出BCD的面积，通过三角形的面积公式，易求得P点纵坐标的绝对值，然后分点P在x轴下方，点P的纵坐标是负数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解，点P在x轴上方，点P的纵坐标是正数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解解答：解：（1）当y=0时，x3=0，解得x=4，当x=0时，

42、y=3，所以，点C（4，0），D（0，3），设过A、C、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线解析式为y=x2+x3；（2）如图，过圆心A作AECD于点E，C（4，0），D（0，3），CD=5，A（6，0），AC=4（6）=10，sinDCO=，即=，解得AE=6，A的圆心为（6，0）且经过点O，A的半径为6，直线CD与A相切；（3）根据圆的对称性，圆心为A（6，0）的A经过点O（0，0）与B，点B的坐标为（12，0），CB=4（12）=4+12=16，根据题意，CM=CB4t=16=4t，CN=t，CM与CB是对应边时，CMNCBD，=，即=，解得t=秒；CM与C

43、D是对应边时，CMNCDB，=，即=，解得t=秒；与都小于4，t=或秒时，CMN与CDB相似；（4）存在理由如下：BC=16，点D到BC的距离为3，SBCD=163=24，设点P到AC的距离为h，AC=10（已求），10h=24，解得h=3，点P在x轴下方，点P的纵坐标是3，所以，x2+x3=3，整理得，x2+2x=0，解得x1=0，x2=2，所以，点P的坐标为（0，3）或（2，3），点P在x轴上方，点P的纵坐标是3，所以，x2+x3=3，整理得，x2+2x48=0，解得x1=8，x2=6，所以，点P的坐标为（8，3）或（6，3），综上所述，存在点P（0，3）或（2，3）或（8，3）或（6，3

44、），使APC的面积是BCD面积的倍点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及到待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，直线与圆的位置关系的判定，以及相似三角形的对应边成比例的性质，（3）题要注意根据对应边的不同分两两种情况讨论，（4）要分点P在x轴下方与上方两种情况讨论，本题难度不是很大，但运算较为复杂，希望同学们计算时要认真仔细12（2012宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相

45、切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题；分类讨论分析：（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+1）（x2），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CMx轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是2，代入抛物线解析式计算即可；（i

46、i）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；在x轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，可以证明AED和AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DMAC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标解答：解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2），将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x

47、2；（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=；（3）CHMAOC，MCH=CAO，（i）如图1，当H在点C下方时，MCH=CAO，CMx轴，yM=2，x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1，M（1，2），（ii）如图1，当H在点C上方时，MCH=CAO，PA=PC，由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx2，把P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=，y=x2，由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=，此时y=2=，M（，），在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DEA

48、C于点E，使DE=，在RtAOC中，AC=，COA=DEA=90，OAC=EAD，AEDAOC，=，即=，解得AD=2，D（1，0）或D（3，0）过点D作DMAC，交抛物线于M，如图（备用图）则直线DM的解析式为：y=2x+2或y=2x6，当2x6=x2x2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2时，即x2+x4=0，解得x1=，x2=，点M的坐标为（，3+）或（，3）点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解13（2012长沙）如图半径分别为m，n（

49、0mn）的两圆O1和O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，O2与x轴，y轴分别切于点R，点H（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）根据直线过点O1（m，m），O2（n，n），利用待定系数法求出其解析式；（2）本问有一定难度可分以下步骤解决：第1步：首先根

50、据P、Q关于连心线对称，求出Q点的坐标；第2步：求出m、n利用两点间的距离公式，求出O1Q，而O1Q=m，从而得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的大小；同理求得n；第3步：利用两点间距离公式求d（3）本问有一定难度可分以下步骤解决：第1步：假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a0；第2步：求出S1、S2，再代入计算得：=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1；第3步：根据抛物线过点P（4，1），Q（1，4），用待定系数法求得其解析式为：y=ax2（5a+1）x+5+4a；第4步：由抛物线在x轴上截得的线段长为1，即|x1x2|=1，得到关于a的一元二次方程，此方程的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（a0）相矛盾，所以得出结论：这样的抛物线不存在解答：解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则