2.同余的性质.ppt

1、巩义一高 数学组 王伟华,知识回顾,165,5 16,3,15,3 1,除数,商,余数,被除数,中国剩余定理（孙子定理）,公元5世纪，孙子算经首次提出了这样一个问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。这类问题是什么样的问题？,导入新课,今天是星期四，再过15天就是中秋节了，问中秋节是星期几？,因为，一个星期有7天，而157=21，即15=721，所以中秋节是星期五.,解析：,2018年的国庆是星期一，2019年的国庆是星期几？,因为，2019年有365天，而365=7521，所以，2020年的元旦应该是星期

2、二.,解析：,在月历表中位于同一列的整数被7除后的余数有什么规律？在其他的月历中是否也有同样的规律？,本节我们将学习利用余数来解决生活中的问题.,以上问题的实质是求用7去除总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.,巩义市第一高级中学 王伟华,高中数学 选修4-6 人教A版,同 余,学习目标,1.通过举例，引出同余的概念和符号. 能利用同余的概念和符号解决相关习题，说出同余符号代表的含义.,2.观察同余与整除的联系，通过实例记住同余的判定定理，并应用同余的判定定理解决具体问题.,3.通过对本节课的学习和规律总结，能够结合以前所学知识，推导出新

3、的知识或性质，培养勇于探究的精神.,学习重难点,1.准确理解同余的概念，正确的使用同余的符号.,2.探究证明同余的一些重要结论.,灵活运用同余的概念和定理解决实际问题.,125=22,175=32,225=42,275=52,325=62,375=72,观察上表有什么规律,通过观察，我们发现这些数被5整除后，得到的余数是相同的，这种情况我们成为模5同余.,同余概念:,定义 : 一般地，设n为正整数，a和b为整数.如果a和b被n除后余数相同，那么称a和b模n同余，记作,如果余数不同，则称a与b模n不同余，记作,mod符号的由来？,小知识,同余的概念和符号是高斯（Gauss）在1800年左右给出的

4、。,例1、下列式子是否成立？,试一试,1）26和-14同时被4除判断他们的同余性，并用符号表示. 2）-14和22同时被4除判断他们的同余性，并用符号表示. 3）26和22同时被4除判断他们的同余性，并用符号表示. 4）26减去-14能否被4整除？,264=42,解析：,1),-144=-42,由定义知26和-14同余，故可写成,26 -14 (mod 4),-144=-42,2),224=52,由定义知-14和22同余，故可写成,-14 22 (mod 4),-14 -26 (mod 4),或,22 -14 (mod 4),或,264=-42,3),224=52,由定义知26和4同余，故可写

5、成,26 22 (mod 4),26 22 (mod 4),或,解析：,4),26-(-14) =40,440,有什么简便方法判断,同余判定:,证明：由带余除法，可设 anq1+r1,(0r1n), bnq2+r2 , (0r2n), 若 a b (modn) ，则r1r2 , a b n(q1q2)，即n | (ab).,因此n | (r1 r2 ), 而 -nr1r2n 所以只有r1r2 0，r1r2 ,即 a b (modn) .,例2、判断下列数对模是否同余,1、3与25对于模2 2、649与747对于模59 3、136与158对于模11 4、7与38对于模12 5、571与629对于

6、模29,同余性质:,1 反身性： a a (mod n). 2 对称性：若 a b (mod n)，则 b a (mod n). 3 传递性：若 a b (mod n), b c (mod n), 则 a c (mod n).,问题：,那么下列式子成立吗？,用a和b代替22和15，c和d代替8和1，k代替5，m代替10，同学们写出一般性的结论并证明.,(1,1),(2,4),(-2,4),(-1,1),同余性质:,4.若a b (mod n)，c d (mod n) ， 则 （1）a + c b + d (mod n) , ac bd (mod n). （2）ac bd (mod n) （3）ka kb (mod n), k 为任意整数； （4） ，m为正整数.,5.若ab ac (mod n)，且(a,n)=1 ，则b c (mod n) .,5.若ab ac (mod n)，且(a,n)=1 ，则b c (mod n) .,证明：,【例2】,【例3】,1.2006年“五一节”是星期一，同年“国庆节”是星期（ ）,课堂