全国100所名校高考数学冲刺试卷(理科)(二)解析版

1、2016年全国100所名校高考数学冲刺试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数z=，则z2等于（）A1+iB1iC2iD2i2（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S5=25，则a3的值为（）A2B5C10D153（5分）已知=（2，1），=（3，m），若（），则|+|等于（）A3B4C5D94（5分）下列关于函数y=ln|x|的叙述正确的是（）A是奇函数，且在（0，+）上是增函数B是奇函数，且在（0，+）上是减函数C是偶函数，且在（0，+）上是减函数D是偶函数，且在（0，+）上是增函数

2、5（5分）已知命题p：xR，2x3x；命题q：x0（0，），x0=，则下列命题中，真命题为（）A（p）qBpqCp（q）D（p）（q）6（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的两条渐近线与直线y=1所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（）ABCD7（5分）执行如图所示的程序框图，当输出i的值是4时，输入的整数n的最大值是（）A22B23C24D258（5分）已知实数x，y满足，则z=4x+6y+3的取值范围为（）A17，48B17，49C19，48D19，499（5分）某校8名同学参加学校组织的社会实践活动，在某一活动中，要派出3名同学先后参与，并且完成任务，已知该活动中A，B，C

3、三人至多一人参与，若A参加，则D也会参加，且A必须最先完成任务，则不同的安排方案有（）A70B168C188D22810（5分）已知函数f（x）=2cos（x）（0，0，）的部分图象如图所示，若A（，），B（，）则下列说法错误的是（）A=B函数f（x）的一条对称轴为x=C为了得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位D函数f（x）的一个单调减区间为，11（5分）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A12+4+2B12+8+2C12+4+2D12+8+212（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为k的直线

4、l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a（a0），n=|MF|+|NF|，则2an等于（）A2B3C4D5二、填空题：本大题共4小题。每小题5分,共20分。13（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1）等于14（5分）观察下列等式：1=+；1=+；1=+；以此类推，1=+，其中nN*，则n=15（5分）（2016春安徽校级月考）已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径R=5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为16（5分）已知数列an满足a1=，若3nan+2an，则a2017=三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤17（1

5、2分）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=（1）若a+b=5，求ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长18（12分）甲、乙两家快餐店对某日7个时段光顺的客人人数进行统计并绘制茎叶图如图所示（下面简称甲数据、乙数据），且乙数据的众数为17，甲数据的平均数比乙数据平均数少2（1）求a，b的值并计算乙数据的方差；（2）现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为m，n并进行对比分析，有放回的选取2次，记mn的次数为X求X的数学期望E（X）19（12分）已知三棱柱柱ABCA1B1C1，如图所示，其中CA平面ABB1A1，四边

6、形ABB1A1为菱形，AA1B1=60，且AB=2AC，E为BB1的中点，F为CB1的中点（1）证明：平面AEF平面CAA1C1；（2）求二面角E一AFB1的余弦值20（12分）已知椭圆E：+=1（ab0）的焦距为2，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，0），B（3，2），AC1AC2（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）点P的坐标为（m，n）（m3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由21（12分）已知x（1，+），函数f（x）=ex+2ax（aR

7、），函数g（x）=|lnx|+lnx，其中e为自然对数的底数（1）若a=，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a（2，+）时，f（x1）g（x）+a请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图所示，AB是圆O的直径，BC与圆O相切于B，D为圆O上一点，ADC+DCO=180（1）证明：BCO=DCO；（2）证明：ADOC=ABOD选修4-4：坐标系与参数方程23（2016春库尔勒市校级期末）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知A（2，），B（2，），圆C的极坐标方程为26cos+8sin+21=0F为圆C

8、上的任意一点（1）写出圆C的参数方程；（2）求ABF的面积的最大值选修4-5：不等式选讲24（2016春库尔勒市校级期末）已知函数f（x）=|x2|x+1|（）解不等式：f（x）2；（）若xR，f（x）t2t恒成立，求实数t的取值范围2016年全国100所名校高考数学冲刺试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数z=，则z2等于（）A1+iB1iC2iD2i【分析】根据复数的运算法则，进行化简计算即可【解答】解：复数z=1+i，z2=（1+i）2=2i故选：C【点评】本题考查了

9、复数的化简与运算问题，是基础题目2（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S5=25，则a3的值为（）A2B5C10D15【分析】利用等差数列an的前n项和公式及其性质即可得出【解答】解：由等差数列an的前n项和公式及其性质：S5=25，=25，a3=5故选：B【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）已知=（2，1），=（3，m），若（），则|+|等于（）A3B4C5D9【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m，再根据向量模的定义即可求出【解答】解：=（2，1），=（3，m），=（1，1m），（）

10、，（）=2+1m=0，解得，m=1，+=（5，0），|+|=5故选：C【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题4（5分）下列关于函数y=ln|x|的叙述正确的是（）A是奇函数，且在（0，+）上是增函数B是奇函数，且在（0，+）上是减函数C是偶函数，且在（0，+）上是减函数D是偶函数，且在（0，+）上是增函数【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，f（x）=ln|x|=ln|x|=f（x），函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=lnx为增函数，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性

11、的定义以及对数函数的大小的性质是解决本题的关键比较基础5（5分）已知命题p：xR，2x3x；命题q：x0（0，），x0=，则下列命题中，真命题为（）A（p）qBpqCp（q）D（p）（q）【分析】命题p：取x=1，2x3x，不成立，即可判断出真假命题q：取x0=1即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论【解答】解：命题p：xR，2x3x，是假命题，取x=1不成立，因此是假命题命题q：x0=1（0，），使得x0=成立，是真命题则下列命题中，真命题为（p）q故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）已知双曲线C：=

12、1（a0，b0）的两条渐近线与直线y=1所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】求出双曲线的渐近线方程，令y=1可得两交点的横坐标，再由三角形的面积公式可得b=4a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线C：=1的两条渐近线方程为y=x，令y=1可得x=，由渐近线与直线y=1所围成的三角形的面积为4，可得1=4，即有b=4a，则c=a，即有e=故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，同时考查三角形的面积的计算，属于基础题7（5分）执行如图所示的程序框图，当输出i的值是4时，输入的整数n的最大值是（）A22B23C2

13、4D25【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，T=1，i=1S=1n，T=2，S=3，i=2S=5n，T=4，S=9，i=3S=12n，T=8，S=n，i=4S=24n，输出i=4，故输入的整数n的最大值是23故选：B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数

14、学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模8（5分）已知实数x，y满足，则z=4x+6y+3的取值范围为（）A17，48B17，49C19，48D19，49【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可【解答】解：由z=4x+6y+3得y=x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=x+，由图象知当直线y=x+经过B点时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，当直线y=x+经过A点时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即B（4，5），此时z=44+65+3=49，由得，即A（2，1），此时z=42+61+3=17，即17z49，即z=4x+6y

15、+3的取值范围为17，49，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用平移法确定直线截距的大小关系是解决本题的关键9（5分）某校8名同学参加学校组织的社会实践活动，在某一活动中，要派出3名同学先后参与，并且完成任务，已知该活动中A，B，C三人至多一人参与，若A参加，则D也会参加，且A必须最先完成任务，则不同的安排方案有（）A70B168C188D228【分析】由题意可以分三类，第一类，A，B，C三人没有一人参加，第二类，A参加，并且A先做，则D参加，第三类，B，C二人其中一人参加，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，A，B，C三人没有一人参加，故有A53=60

16、种，第二类，A参加，并且A先做，则D参加，再从剩下的4人选1人和D完成任务，故有C41A22=8种，第三类，B，C二人其中一人参加，再从剩下的5人选2人一起完成任务，故有A21C52A33=120种，根据分类计数原理，共有60+8+120=188，故选：C【点评】本题考查了分类计数原理，正确分类是关键，属于中档题10（5分）已知函数f（x）=2cos（x）（0，0，）的部分图象如图所示，若A（，），B（，）则下列说法错误的是（）A=B函数f（x）的一条对称轴为x=C为了得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位D函数f（x）的一个单调减区间为，【分析】观察函数图

17、形，求得周期T=，=2，将点A代入，求得，求出函数的解析式，再求函数的对称轴和单调递减区间【解答】解：对于A：由函数图形T=丨丨=，=2，将A点（，）代入f（x）=2cos（2x），=2cos（），cos=，0，），=，故A正确；f（x）=2cos（2x），对于：B，由f（x）=2cos（2x），将x=，求得2=3，故B正确；C选项，将y=2sin2x向右平移个单位，得y=2sin（2x）=cos（2x）=2cos（2x）=f（x）故C正确；对于D，f（x）=2cos（2x），2x2k，2k+kZ，xk+，k+kZ，选项D错误，故答案选：D【点评】本题考查求正弦函数解析式，对称轴、单调区间及函

18、数图象变换，属于中档题11（5分）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A12+4+2B12+8+2C12+4+2D12+8+2【分析】由已知中的三视图，可得对应的几何体在正方体中的直观图，分别求出三角形的面积，可得该几何体的表面积【解答】解：由已知中的三视图，可得对应的几何体在正方体中的直观图，SABD=SBCD=6，SABC=8，SADC=2故该几何体的表面积S=62+8+2=12+8+2，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状12（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为k的直线

19、l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a（a0），n=|MF|+|NF|，则2an等于（）A2B3C4D5【分析】确定抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=1，利用n=|MF|+|NF|，由抛物线的定义可得n=xM+1+xN+1=2x0+2，求出线段MN的垂直平分线方程，确定线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标a，即可得出结论【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=1设MN的中点坐标为（x0，y0），则n=|MF|+|NF|，由抛物线的定义可得n=xM+1+xN+1=2x0+2线段MN的垂直平分线方程为yy0=（x

20、x0），令y=0，x=ky0+x0=a又由点差法可得y0=，ky0=2，a=2+x0，2an=2故选：A【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题。每小题5分,共20分。13（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1）等于【分析】利用分段函数的性质先求出f（1）的值，再计算f（f（1）【解答】解：函数f（x）=，f（1）=log2（1+1）=1，f（f（1）=f（1）=13+4=2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用14（5分）观察下列等式：1=+；1=+

21、；1=+；以此类推，1=+，其中nN*，则n=【分析】裂项相消，求出n，即可得出结论【解答】解：由题意，1=+=+（）+（）+（）+（）+（）+n=12故答案为：12【点评】本题考查类比推理，考查裂项相消方法的运用，正确运用裂项相消是关键15（5分）（2016春安徽校级月考）已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径R=5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为【分析】设圆锥的底面半径为r，用r表示出由球心O，圆锥底面中心O和圆锥底面圆周上一点组成的直角三角形的三边，使用勾股定理列方程解出r【解答】解：设圆锥的底面半径OB=r，则SO=2r，球的半径为OS=OB=5

22、，OO=2r5，由勾股定理得：（2r5）2+r2=25，解得r=4圆锥的高为8，圆锥的体积V=故答案为【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥与外接球的关系，属于中档题16（5分）已知数列an满足a1=，若3nan+2an，则a2017=【分析】利用叠加法，结合条件得出an+6an=913n，an+2an=3n，进一步可得数列an3n的奇数项是各项均为0的常数数列，即可得出结论【解答】解：3nan+2an，3n+2an+4an+2，3n+4an+6an+4，+：an+6an3n+3n+2+3n+4=（1+32+34）3n=913n，又3n，因此只有an+6an=913n，an+2an=3n，an

23、+23n+2=an3n，a1=，a13=0数列an3n的奇数项是各项均为0的常数数列n为奇数时，an=3n，a2017=32017故答案为：32017【点评】本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤17（12分）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=（1）若a+b=5，求ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长【分析】（1）利用基本不等式得出ab的最大值，得出面积的最大值；（2）利用正弦定理得出a，c的关系，列方程解出c，使用正弦定理解得sinA，

24、利用余弦定理解出b【解答】解：（1）a+b=5，ab（）2=SABC=sinC=（2）2sin2A+sinAsinC=sin2C，2a2+ac=c2即8+2c=c2，解得c=4由正弦定理得，即，解得sinA=cosA=由余弦定理得cosA=即解得b=【点评】本题考查了基本不等式，正余弦定理，属于中档题18（12分）甲、乙两家快餐店对某日7个时段光顺的客人人数进行统计并绘制茎叶图如图所示（下面简称甲数据、乙数据），且乙数据的众数为17，甲数据的平均数比乙数据平均数少2（1）求a，b的值并计算乙数据的方差；（2）现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为m，n并进行对比分析，有放回的选取2次，记m

25、n的次数为X求X的数学期望E（X）【分析】（1）由乙数据的众数为17，求出a；再求出甲数据的平均数，从而得到乙数据平均数，由此能求出b（2）现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为m，n，有放回的选取2次，记mn的次数为X则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望E（X）【解答】解：（1）乙数据的众数为17，a=7甲数据的平均数=（6+7+8+13+15+15+20）=12，甲数据的平均数比乙数据平均数少2，乙数据平均数=（8+9+10+15+17+17+20+b）=12+2，解得b=2乙数据的方差S2乙=（814）2+（914）2+（1014）2+（1514）2

26、+2（1714）2+（2214）2=（2）现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为m，n，有放回的选取2次，记mn的次数为X则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=1020，P（X=2）=，X的分布列为： X 0 1 2 PEX=+1+2=【点评】本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一19（12分）已知三棱柱柱ABCA1B1C1，如图所示，其中CA平面ABB1A1，四边形ABB1A1为菱形，AA1B1=60，且AB=2AC，E为BB1的中点，F为CB1的中点（1）证明：平面AEF平面CAA1C1；（2）求二面

27、角E一AFB1的余弦值【分析】（）根据面面垂直的判定定理证明AE平面ACC1A1，即可（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角E一AFB1的余弦值；【解答】证明：（1）CA平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，CAAE，四边形ABB1A1为菱形，AA1B1=60，AA1B1和ABB1是正三角形，E为BB1的中点，AEBB1，AEAA1，AA1CA=A，AE平面ACC1A1，AE平面AEF，平面AEF平面CAA1C1；（2）建立以A为坐标原点，AE，AA1，AC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：AB=2AC，E为BB1的中点，F为CB1的中点设AB=2AC=2，则AC=1，AE=，则A

28、（0，0，0），E（，0，0），C（0，0，1），B1（，1，0），F（，），则=（，），=（，0，0），=（，1，0），设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则=x+y+z=0，=x=0，即x=0，y+z=0，取=（0，1，1），平面AFB1的法向量=（x，y，z），则=x+y+z=0，=x+y=0，令x=，则y=3，z=0，即=（，3，0），则cos=，二面角E一AFB1是锐二面角，二面角E一AFB1的余弦值是【点评】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法综合性较强，运算量较大20（12分）已知椭圆E：+=1（ab0）的焦距为2，其上下顶点

29、分别为C1，C2，点A（1，0），B（3，2），AC1AC2（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）点P的坐标为（m，n）（m3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由【分析】（1）由AC1AC2，可得=1b2=0，又2c=2，a2=b2+c2，即可得出（2）m，n之间满足数量关系m=n+1下面给出证明：当取M，N时，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即可证明当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=xM（x1，y

30、1），N（x2，y2）与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2ty2=0，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明【解答】解：（1）AC1AC2，C1（0，b），C2（0，b），A（1，0），=1b2=0，b2=12c=2，解得c=，a2=b2+c2=3椭圆E的方程为=1离心率e=（2）m，n之间满足数量关系m=n+1下面给出证明：当取M，N时，kMB=，kBP=，kNB=，直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，2=+，化为：m=n+1当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=xM（x1，y1），N（x2，y2）联立，化为：（

31、t2+3）y2+2ty2=0，y1+y2=，y1y2=kMB=，kBP=，kNB=，直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，2=+，由于+=2，=1，化为：m=n+1【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知x（1，+），函数f（x）=ex+2ax（aR），函数g（x）=|lnx|+lnx，其中e为自然对数的底数（1）若a=，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a（2，+）时，f（x1）g（x）+a【分析】（1）把a=代入函数解析式，求出函数的导函数由导函数

32、的符号求得函数的单调区间；（2）求出f（x1）的表达式以及g（x）的分段函数，通过讨论1xe和 xe的范围分别证明得答案【解答】解：（1）当a=，f（x）=exe2x，x（1，+），f（x）=exe2，当x（1，2）时，f（x）0，f（x）在（1，2）上单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（2，+）上单调递增；证明：（2）x（1，+），f（x1）=ex1+2a，g（x）=|lnx|+lnx=，1xe时，证明当a（2，+）时，f（x1）g（x）+a，即证明：ex1+2a+a，a2，即aex1，只需证明h（x）=ex12在（1，e）恒成立即可，h（x）=ex10，h（x）在（1，e）

33、递减，h（x）最大值=h（1）=e12，aex1，1xe时，当a（2，+）时，f（x1）g（x）+a；xe时，证明当a（2，+）时，f（x1）g（x）+a，即证明：ex1+2a2lnx+a，a2，令m（x）=ex12lnx+a，（a0，xe），m（x）=+ex1，显然m（x）在e，+）递增，而m（e）=0，m（3）6，近似看成m（x）在e，+）递增，m（x）m（x0）m（e）=ee1+a1ee1+10，综上，当a（2，+）时，f（x1）g（x）+a【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是压轴题请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图所示，AB是圆O的直径，BC与圆O相切于B，D为圆O上一点，ADC+DCO=180（1）证明：BCO=DCO；（2）证明：ADOC=ABOD【分析】（1）证明：BDAD，ADOC，可得BDCO，且CO平分BD，即可证明BCO=DCO；（2）证明：OCDABD，即可证明ADOC=ABOD【解答】证明：（1）连接BD，则AB是圆O的直径，BDAD