分式方程及其应用

1、分式方程及其应用 课前热身课前热身 1方程 12 1xx 的解是（） A0 B1C2 D3 2请你给x选择一个合适的值，使方程 21 12xx 成立，你选择的x _ 3.解方程 2 2 233 2 1 xx xx 时，若设 2 1 x y x ，则方程可化为 4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原 计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中， 设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 （） A18 %)201 ( 400160 xx B18 %)201 ( 160400160 xx 18 %20 16040

2、0160 xx 18 %)201 ( 160400400 xx 【参考答案参考答案】 1. C 2.3 3.2 y y 3 =2 4. 考点聚焦考点聚焦 知识点: 分式方程及其应用来源:21 世纪教育网 大纲要求: 1了解分式方程的概念。 2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。来源:21世纪教育网 3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查换元法解分式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中，另一部分 习题考查完整的解题能力，习题出现在解答题中。 备考兵法备考兵法 （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项. （2） 解分式

3、方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为 0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：将原方程化为整式方程；将增根代入变形后的整式方 程，求出参数的值. 考点链接考点链接 1 1分式方程分式方程: :分母中含有 的方程叫分式方程. 2 2解分式方程的一般步骤：解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根 是原方程的增根，必须舍去. 3.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：用换元法解分式

4、方程的一般步骤： 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解所得 到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 把辅助未知数的值代入原设 中，求出原未知数的值； 检验作答. 4 4分式方程的应用：分式方程的应用： 来源来源:21:21 世纪教育网世纪教育网 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .来源:21 世纪教 育网 典例精析典例精析 来源来源:21:21 世纪教育网世纪教育网 例例 1 1（20092009 年湖北孝感）年湖北孝感）关于x的方程 2 1 1 xa x 的解是正数

5、，则a的取值范围是（ ） Aa1Ba1 且a0 Ca1 Da1 且a2 【分析分析】把分式方程化为整式方程，得21xax，解得1xa ，因关于x的方程 2 1 1 xa x 的解是正数，所以0 x ，即10a ，1a ，但2a 时， 22 21 1 x x ，所以2a . 【答案答案】D 例例 2(20092(2009 年陕西省年陕西省) )解方程： 4 3 1 2 2 2 xx x 【分析分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是 去分母法，并且在解此方程时必须验根 解：去分母得：(x2)2(x24)=3 4x5 x 4 5 经检验，x 4 5 是原方程的解

6、【点评点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简 公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程注意去分母时， 不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法 例例 3 3（20092009 年广西桂林）年广西桂林）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标经 测算：甲队单独完成这项工程需要 60 天；若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完成 （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元若该工程计 划在 70 天内完成，在不超过

7、计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还 是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 解：（1）设乙队单独完成需x天 根据题意，得 111 20() 241 6060 x 解这个方程，得x=90 经检验，x=90 是原方程的解来源:21 世纪教育网 乙队单独完成需 90 天 （2）设甲、乙合作完成需y天，则有 11 ()1 6090 y 解得36y （天） 甲单独完成需付工程款为 603.5=210（万元） 乙单独完成超过计划天数不符题意 甲、乙合作完成需付工程款为 36（3.5+2）=198（万元）21 世纪教育网 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱 【点评】分式方

8、程的应用，解题时要检验，先检验所求 x的值是否是方程的解，再检验是 否符合题意 迎考精炼迎考精炼 一、选择题一、选择题 1.（20092009 年湖北襄樊）年湖北襄樊）分式方程 1 31 xx xx 的解为（ ） A1 B1 C2 D3 2.(2009(2009 年上海年上海) )用换元法解分式方程 13 10 1 xx xx 时，如果设 1x y x ，将原方程 化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A 2 30yy B 2 310yy C 2 310yy D 2 310yy 来源:21 世纪教育网 3.(2009(2009 年浙江嘉兴）年浙江嘉兴）解方程 x x 2 2 4 8

9、2 的结果是（） A2xB2x C4x D无解 4.（20092009 年安徽）年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起， 乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲志愿者计 划完成此项工作的天数是（） A8B.7C6D5 5.（20092009 年广西柳州）年广西柳州）分式方程 3 2 2 1 xx 的解是（ ） A0 x B1x C2x D3x 二、填空题二、填空题 1.（20092009 年四川宜宾）年四川宜宾）方程 xx 5 2 7 的解是 . 2.（20092009 年浙江杭州）年浙江杭州）已知关于x的方程3 2 2 x

10、mx 的解是正数，则 m 的取值范围为 _来源:21 世纪教育网 3.（20092009 年浙江台州）年浙江台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了 90 下，小群跳了 120 下已知小群每分钟比小林多跳 20 下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为 4.（20092009 年山西太原）年山西太原）方程 25 12xx 的解是 5（20092009 年黑龙江牡丹江）年黑龙江牡丹江）若关于x的分式方程 3 1 1 xa xx 无解，则a 三、解答题 1.（20092009 年广东清远）年广东清远）解分式方程： 13 2xx 来源:21 世纪教育网 2.（20092009 年北京）年北京）

11、解分式方程： 6 1 22 x xx 3（20092009 年广东省）年广东省）解方程 2 21 11xx 4.（20092009 年湖北十堰）年湖北十堰）某工厂准备加工 600 个零件，在加工了 100 个零件后，采取了新技 术，使每天的工作效率是原来的 2 倍，结果共用 7 天完成了任务，求该厂原来每天加工多 少个零件？ 来源:21 世纪教育网 5（20092009 年山东青岛市）年山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅 销，就用 32000 元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用 68000 元购进第二 批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的 2

12、倍，但每套进价多了 10 元 （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每套售 价至少是多少元？（利润率100% 利润 成本 ） 【参考答案参考答案】 一、选择题一、选择题 1. D 分析：方程两边同乘31xx，得 113x xxx，解得3x ，经检 验3x 是原分式方程的解，故选 D。 2. A 3.D 4.B 5.B 二、填空题二、填空题 1.5 2.46mm或 3. xx 90 20 120 4.5x 解析：本题考查分式方程的解法，方程两边同乘21x x ，得455xx，解 得5x 5.1 或2 三、解答题三、解答题 1.解：去分母，得36xx 解得：3x 检验：把3x 代入原方程得：左边=右边 所以3x 是原方程的解 2.解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x xxxx 解得1x 经检验1x 是原方程的解 所以原方程的解是1x . 3.方程两边同时乘以11xx， 2=1x， 3x ， 经检验：3x 是方程的解 4.解：设该厂原来每天加工x个零件， 由题意得：7 2 500100 xx 解得 x=50 经检验：x=50 是原分式方程的解 答：该厂原来每天加工 50 个零件。 5.解：（1）设商